1、1.1利用函数性质判定方程解的存在性课后训练巩固提升一、A组1.若函数y=f(x)是R上的增函数,则函数y=f(x)的零点()A.至少有一个B.至多有一个C.有且只有一个D.可能有无数个解析:由于函数y=f(x)是R上的增函数,所以函数的图象最多与x轴有一个交点,即函数y=f(x)的零点至多有一个.故选B.答案:B2.函数y=x+1的图象与x轴的交点坐标及其零点分别是()A.-1,(-1,0)B.(-1,0),0C.(-1,0),-1D.-1,-1解析:由y=x+1=0,得x=-1,故交点坐标为(-1,0),零点是-1.答案:C3.已知函数f(x)的图象是连续不断的,且x,f(x)有如下的对应
2、值表:x123456f(x)123.5621.45-7.8211.57-53.76-126.49则函数f(x)在区间1,6上的零点有()A.两个B.3个C.至多两个D.至少3个解析:由x,f(x)的对应值表可知f(2)f(3)0,f(3)f(4)0,f(4)f(5)0,f(2)0,则f(x)在(1,2)上零点的个数为()A.至多有一个B.有一个或两个C.有且仅有一个D.一个也没有解析:若a=0,则f(x)=bx+c是一次函数,由f(1)f(2)0,与已知矛盾.故f(x)在区间(1,2)上有且仅有一个零点.答案:C5.若函数f(x)唯一的零点在区间(1,3)或区间(1,4)或区间(1,5)内,则
3、函数f(x)的零点在区间(1,2)或区间(2,3)内;函数f(x)在区间(3,5)内无零点;函数f(x)在区间(2,5)内有零点;函数f(x)在区间(2,4)内不一定有零点;函数f(x)的零点必在区间(1,5)内.以上说法错误的是.(将序号填在横线上)解析:由于三个区间是包含关系,而区间(1,5)范围最大,所以零点可能在区间(1,5)的任何一个子区间内,故错误.答案:6.函数f(x)=2x-3的零点在区间(k,k+1)内,则整数k的值为.解析:由题意得f(k)f(k+1)=(2k-3)(2k-1)0,解得12k0,且a1)有两个实数解,则实数a的取值范围是.解析:在同一平面直角坐标系中画出函数
4、y=ax与函数y=x+a的图象(图略),由图象可知,当a1时,它们有两个交点,即方程ax-x-a=0有两个实数解.当0a0,所以2x=1,得x=0,即函数y=4x+32x-4的零点是0.(2)设g(x)=x2-|x|+3,则g(x)=x2-x+3,x0,x2+x+3,x0.画出其图象如图.函数f(x)有4个零点,即方程g(x)+a=0有4个实根,即函数y=g(x)与y=-a的图象有4个交点,由图知114-a3,解得-3a0,即4+12(1-m)0,解得m43;由=0,可解得m=43;由43.故当m43时,函数f(x)无零点.(2)因为0是对应方程的根,所以有1-m=0,解得m=1.二、B组1.
5、已知a是函数f(x)=3x-log13x的零点,若0x0a,则f(x0)的值满足()A.f(x0)0C.f(x0)=0D.f(x0)的符号不确定解析:因为f(x)=3x-log13x=3x+log3x,所以f(x)在区间(0,+)上是增函数.又因为0x0a,所以f(x0)0零点的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:画出函数f(x)=x2+2x-3,x0,-2+lnx,x0的图象如图所示.由图可知,f(x)的零点个数为2.答案:B3.函数y=f(x)与函数y=2x-3的图象关于直线y=x对称,则函数y=f(x)与直线y=x的一个交点位于区间()内.A.(-2,-1)B.(2,3)C.(1,2
6、)D.(-1,0)解析:y=2x-3的反函数为y=log2(x+3)(x-3),即函数y=f(x)=log2(x+3)(x-3),在同一平面直角坐标系中,画出函数f(x)=log2(x+3)(x-3)和函数y=x的图象,如图,由图可得,两函数图象的交点分别位于区间(-3,-2与区间(2,3)内,故选B.答案:B4.已知函数f(x)=x,x0,x2-x,x0,若函数g(x)=f(x)-m有3个不同的零点,则实数m的取值范围为.解析:令g(x)=f(x)-m=0,得f(x)=m.由题意,函数f(x)与y=m的图象有3个不同的交点.在同一平面直角坐标系中,画出函数f(x)与y=m的图象,如图.由图可
7、知,当-14m0时,两函数图象有3个不同的交点,故实数m的取值范围为-14m0.答案:-14m0,0,x=0,-1,x1,0,x=1,-1-lnx,0x1.其图象如图,由图象可知,函数f(x)有3个零点.答案:36.已知y=f(x)是定义域为R的奇函数,当x0,+)时,f(x)=x2-2x.(1)写出函数y=f(x)的解析式;(2)若方程f(x)=a恰有3个不同的解,求实数a的取值范围.解:(1)当x(-,0)时,-x(0,+),因为y=f(x)是奇函数,所以当x(-,0)时,f(x)=-f(-x)=-(-x)2-2(-x)=-x2-2x,所以f(x)=x2-2x,x0,-x2-2x,x0,则
8、(*)变为(1-a)t2+at+1=0(*)只需其仅有一正根.当a=1时,t=-1不合题意;当(*)式有一正一负根时,需有=a2-4(1-a)0,11-a1.当(*)式有两相等的正根时,需有=a2-4(1-a)=0,-a1-a0,解得a=-2-22.综上所述,实数a的取值范围为a|a1,或a=-2-22.8.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.(1)若abc,且f(1)=0,试证明f(x)必有两个零点;(2)设x1,x2R,x1bc,a0,c0,即ac0.方程ax2+bx+c=0必有两个不等实根,f(x)必有两个零点.(2)令g(x)=f(x)-12f(x1)+f(x2),则g(x1)=f(x1)-12f(x1)+f(x2)=12f(x1)-f(x2),g(x2)=f(x2)-12f(x1)+f(x2)=12f(x2)-f(x1).g(x1)g(x2)=-14f(x1)-f(x2)2,且f(x1)f(x2),g(x1)g(x2)0.g(x)=0在区间(x1,x2)内必有一实根.即方程f(x)=12f(x1)+f(x2)必有一个实根属于区间(x1,x2).