1、第二章单元质量检测时间：90分钟分值：100分 一、选择题(每小题4分，共40分)1函数y的定义域为()A(1，)B1，)C(1，2)(2，)D(1，2)3，)解析：由ln(x1)0，得x10且x11.由此解得x1且x2，即函数y的定义域是(1，2)(2，)答案：C2下列函数中，既是偶函数又在(0，)上单调递增的是()AyexBysinxCyDylnx2解析：ysinx在整个定义域上不具有单调性，排除B；y，yex为(0，)上的单调递增函数，但不是偶函数，故排除A，C；ylnx2满足题意，故选D.答案：D3若已知函数f(x)则f(f(1)f的值是()A7B2C5D3解析：f(1)log210，
2、所以f(f(1)f(0)2.因为log30，所以f9log319log32132log3213log341415，所以f(f(1)f257，故选A.答案：A4已知a0.7，b0.6，clog2.11.5，则a，b，c的大小关系是()AcabBcbaCabcDbac解析：由log2.11.510.70.6，得ca0，即f(x)在R上单调递增，因此函数f(x)只有一个零点，故选A.答案：A6函数y2|x|的单调递增区间是()A(，)B(，0)C(0，)D非奇非偶函数解析：画出y2|x|的图象如图：答案：B7函数f(x)1log2x与g(x)21x在同一直角坐标系下的图象大致是()解析：f(x)1l
3、og2x的图象可由f(x)log2x的图象上移1个单位得到，且过点，(1，1)，由指数函数性质可知g(x)21x为减函数，且过点(0，2)，故选C.答案：C8已知函数f(x)exmx1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线yx垂直的切线，则实数m的取值范围是()Am2Bm2CmDm解析：若曲线C存在与直线yx垂直的切线，即说明f(x)exm2有解，mex2，则实数m的取值范围是m2，故选B.答案：B9若a2，则函数f(x)x3ax21在区间(0，2)上恰好有()A0个零点B1个零点C2个零点D3个零点解析：f(x)x22ax，且a2，当x(0，2)时，f(x)0，f(2)4a0，f(x)在(0，2
4、)上恰好有1个零点故选B.答案：B10(2015全国卷)设函数f(x)ex(2x1)axa，其中a1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)0，则a的取值范围是()A.B.C.D.解析：根据选项，可以采取特殊值代入验证，从而甄别出正确答案当a0时，f(x)ex(2x1)，f(x)ex(2x1)，可知f(x)在递减，在递增，又f(0)10，f(1)3e10，f(1)e10，所以存在t(1，0)，使得f(t)0，则f(x)在(，t)递减，在(t，)递增，又f(0)10，f(1)e0，易判断存在唯一的整数0，使得f(0)0，故a成立，排除答案C.答案：D二、填空题(每小题4分，共16分)11设f(x)则
5、ff(1)_解析：f(1)(1)21，所以ff(1)f(1)212.答案：212不等式x22x0表示的平面区域与抛物线y24x围成的封闭区域的面积为_解析：由x22x0，得0x2，又y24x，得y2，所求面积S22dx4x.答案：13已知偶函数yf(x)满足条件f(x1)f(x1)，且当x1，0时，f(x)3x，则f(log5)的值等于_解析：由f(x1)f(x1)，知f(x2)f(x)，函数yf(x)是以2为周期的周期函数因为log5(2，1)，log52log(0，1)，又f(x)为偶函数且x1，0，f(x)3x，所以当x0，1时，f(x)3x.所以f(log5)f(log52)f3log
6、3log31.答案：114(2015北京卷)设函数f(x)(1)若a1，则f(x)的最小值为_(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是_解析：(1)当a1时，f(x)当x1时函数的值域为(1，1)当x1时，函数f(x)的最小值在对称轴x处取得，f1，则a1时f(x)的最小值为1.(2)若函数h(x)2xa在x0，且当x1时，h(1)2a0，所以0a2，函数g(x)4(xa)(x2a)与x轴有一个交点，所以2a1，a1，所以a1；若h(x)2xa在x1时与x轴无交点，则g(x)4(xa)(x2a)在x1时与x轴有两个交点，当a0时h(x)、g(x)与x轴都无交点，不符合题意当h(1)2
7、a0时，a2，g(x)与x轴两个交点为x1a，x22a都满足题意，故a的取值范围为a1或a2.答案：(1)1(2)a1或a2三、解答题(共4小题，共44分，解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤)15(10分)已知函数f(x)a.(1)求证：函数yf(x)在(0，)上是增函数(2)若f(x)2x在(1，)上恒成立，求实数a的取值范围解：(1)证明：当x(0，)时，f(x)a，设0x10，x2x10，f(x2)f(x1)0，所以f(x)在(0，)上是增函数(2)由题意a2x在(1，)上恒成立，设h(x)2x，则ah(x)在(1，)上恒成立任取x1，x2(1，)且x1x2，h(x1)h(x2
8、)(x1x2).因为1x1x2，所以x1x21，所以20，所以h(x1)0，则有(a1)t2at10.根据题意知，此方程在t0时只有一个正根，所以a1.17(12分)设函数f(x)aexlnx，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线为ye(x1)2.(1)求a，b；(2)证明：f(x)1.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)aexlnxexex1ex1.由题意可得f(1)2，f(1)e.由即所以故a1，b2.(2)证明：由(1)知f(x)exlnxex1，从而f(x)1等价于xlnxxex.设函数g(x)xlnx，则g(x)lnx1.所以当x时，g(x)0.故g(x)在区间上单
9、调递减，在区间上单调递增，从而g(x)在区间(0，)上的最小值为g.设函数h(x)xex，则h(x)ex(1x)所以当x(0，1)时，h(x)0；当x(1，)时，h(x)0时，g(x)h(x)，即f(x)1.18(12分)(2015广东卷)设a为实数，函数f(x)(xa)2|xa|a(a1)(1)若f(0)1，求a的取值范围；(2)讨论f(x)的单调性；(3)当a2时，讨论f(x)在区间(0，)内的零点个数解：(1)f(0)a2|a|a(a1)|a|a.当a0时，f(0)01对于任意的a0恒成立；当a0时，f(0)2a，令2a1，解得0a.综上，a的取值范围是.(2)函数f(x)的定义域为R.由已知得，f(x)则f(x)当xa时，f(x)2x(2a1)2(xa)1a时，f(x)2x(2a1)2(xa)10，所以f(x)在区间(a，)上单调递增(3)令h(x)f(x)，由(2)得，h(x)则h(x)当0xa时，h(x)2x(2a1)2(xa)1a时，因为a2.所以x2，即00，所以h(x)在区间(a，)上单调递增因为h(1)40，h(2a)2a0，若a2，则h(a)a2a4220，此时h(x)在(0，)上有唯一一个零点；若a2，则h(a)a2a2时，f(x)在区间(0，)内有两个零点