1、高难拉分攻坚特训(三)6套高难拉分攻坚特训1若函数 f(x)axx2ln x 存在极值，且这些极值的和不小于 4ln 2，则 a 的取值范围为()A2，)B2 2，)C2 3，)D4，)答案 C解析 f(x)a2x1x2x2ax1x，因为 f(x)存在极值，所以 f(x)0 在(0，)上有根，即 2x2ax10 在(0，)上有根，所以 a280，显然当 0 时，f(x)无极值，不符合题意，所以 a280，即 a2 2或 a0，则 f(x1)，f(x2)为 f(x)的极值，所以 f(x1)f(x2)(ax1x21ln x1)(ax2x22ln x2)a(x1x2)(x21x22)(ln x1ln
2、 x2)a22 a24 1ln 24ln 2，所以 a2 3.综上，a 的取值范围为2 3，)，选 C.2A，B 为单位圆(圆心为 O)上的点，O 到弦 AB 的距离为 32，C 是劣弧AB(包含端点)上一动点，若OC OA OB(，R)，则 的取值范围为_答案 1，2 33解析 如图，以圆心 O 为坐标原点建立直角坐标系，设 A，B 两点在 x轴上方且线段 AB 与 y 轴垂直，A，B 为单位圆(圆心为 O)上的点，O 到弦AB 的距离为 32，点 A12，32，点 B12，32，OA 12，32，OB 12，32，即 OA 2，32，OB 2，32，OC OA OB 2，32，又C 是劣弧
3、AB(包含端点)上一动点，设点 C 坐标为(x，y)，则12x12，32 y1，OC 2，32(x，y)，32 y 321，解得 12 33，故 的取值范围为1，2 33.3已知圆 C：x2y22x0，圆 P 在 y 轴的右侧且与 y 轴相切，与圆 C外切(1)求圆心 P 的轨迹 的方程；(2)过点 M(2,0)，且斜率为 k(k0)的直线 l 与 交于 A，B 两点，点 N 与点 M 关于 y 轴对称，记直线 AN，BN 的斜率分别为 k1，k2，是否存在常数 m，使得1k211k22mk2为定值？若存在，求出该常数 m 与定值；若不存在，请说明理由解(1)圆 C 的方程可化为(x1)2y2
4、1，则圆心 C(1,0)，半径 r1.设圆心 P 的坐标为(x，y)(x0)，圆 P 的半径为 R，由题意可得Rx，R1|PC|，所以|PC|x1，即 x12y2x1，整理得 y24x.所以圆心 P 的轨迹 的方程为 y24x(x0)(2)由已知，直线 l 的方程为 yk(x2)，不妨设 t1k，则直线 l 的方程为 y1t(x2)，即 xty2.联立，得y24x，xty2，消去 x，得 y24ty80.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y28.因为点 M(2,0)与点 N 关于 y 轴对称，所以 N(2,0)，故 k1 y1x12，所以1k1x12y1 ty122y
5、1t4y1，同理，得1k2t4y2，所以1k211k22mk2t4y12t4y22mk22t28t1y11y2 161y211y22 mt22t28ty1y2y1y2 16y1y222y1y2y1y22mt22t28t 4t8164t22882mt22t24mt2(2m)t24，要使该式为定值，则需 2m0，即 m2，此时定值为 4.所以存在常数 m2，使得1k211k22mk2为定值，且定值为 4.4已知函数 f(x)xa(ln x)2，aR.(1)当 a1，x1 时，试比较 f(x)与 1 的大小，并说明理由；(2)若 f(x)有极大值，求实数 a 的取值范围；(3)若 f(x)在 xx0
6、 处有极大值，证明：1f(x0)1 时，f(x)x(ln x)2，x1.f(x)12(ln x)1xx2ln xx.令 g(x)x2ln x，x1，则 g(x)12xx2x，当 x(1,2)时，g(x)0，g(x)单调递增g(x)g(2)22ln 20，即 f(x)0，f(x)在(1，)上单调递增f(x)f(1)1.故当 a1，x1 时，f(x)1.(2)f(x)12aln xxx2aln xx(x0)，令 h(x)x2aln x(x0)，则 h(x)12ax x2ax，当 a0 时，f(x)x 无极大值 当 x(0，x1)时，f(x)0，f(x)单调递增，f(x)在 xx1 处有极小值，f(x)无极大值当 a0 时，h(x)在(0,2a)上单调递减，h(x)在(2a，)上单调递增，f(x)有极大值，h(2a)2a2aln(2a)2a1ln(2a)e2，又 h(1)10，h(e)e2a0，f(x)单调递增；当 x(x0，e)时，f(x)e2.(3)证明：由(2)可知 aln x0 x02，f(x0)x0a(ln x0)2x0 x0ln x02(1x0e)，设 p(x)xxln x2(1x0，p(x)在(1，e)上单调递增，p(1)p(x)p(e)，即 1p(x)e2，故 1f(x0)e2.本课结束
