1、 类型1集合及其数学思想【例1】(1)已知全集U1,2,3,4，A1,2，B2,3，则U(AB)()A1,3,4B3,4C3D4(2)已知集合Ax|3x3，Bx|2k1x2k1，且ABA，则实数k的取值范围是_(3)已知集合Ax|x24mx2m60，Bx|x0，若AB，则实数m的取值范围是_(1)D(2)1k1(3)m|m1(1)AB1,2,3，U(AB)4(2)由ABA，得AB，又B，则，解得1k1.(3)设全集Um|0m|(4m)24(2m6)0.若方程x24mx2m60的两根x1，x2均非负，则解得m，在U中的补集为m|m1实数m的取值范围是m|m11交集思想许多数学问题是求同时满足若干
2、个条件p1，p2，pn的解，如果把满足各条件的对象表示成集合A1，A2，An，则QA1A2An就是问题的解集如列方程组或不等式组解应用题等，都是运用交集思想方法解题的具体体现2并集思想有些数学问题需要分若干种情况讨论，若将问题分为n类，每类问题的解集为A1，A2，An，则QA1A2An就是问题的解集3补集思想“正难则反”策略是指当某一问题从正面解决困难时，我们可以从其反面入手解决这种“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求UA，再由U(UA)A求A.1(1)若全集U1,2,3,4,5,6)，M2,3，N1,4，则集合5,6等于()AMNBMNC(UM)(
3、UN)D(UM)(UN)(2)已知A，B均为集合U1,3,5,7,9的子集，且AB3，(UB)A9，则A()A1,3B3,7,9C3,5,9D3,9(3)已知关于x的不等式2的解集为A，且3A，则实数a的取值范围为_(1)D(2)D(3)a|a1(1)因为MN1,2,3,4，所以(UM)(UN)U(MN)5,6，故选D.(2)由Venn图可知A3,9(3)因为3A，所以3UA，即当x3时，有2，故a1. 类型2充分条件与必要条件【例2】(1) 若a、b、c是常数，则“a0且b24ac0”是“对任意xR，有ax2bxc0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(2
4、)若“x21”是“xa”的必要不充分条件，则a的最大值为_(1)A(2)1(1)若a0且b24ac0，则对任意xR，有ax2bxc0，反之，则不一定成立如a0，b0且c0时，也有对任意xR，有ax2bxc0.故选A.(2)由题意知：x|xax|x1或x1，所以a1.1充分条件、必要条件的判断方法定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假集合法：若AB，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若AB，则A是B的充要条件2判断指定条件与结论之间关系的基本步骤：确定条件是什么，结论是什么；尝试从条件推结论，从结论推条件；确定条件和结论是什么关系3利用充要条件可进行命题之间的等价转化2(1)设集合
5、A，Bx|2ax2a，则“a2”是“AB”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(2)若“x3，a”是不等式2x25x30成立的一个充分不必要条件，则实数a的取值范围是_(1)A(2)a或a3(1)Ax|1x1，当a2时，Bx|0x4，ABx|0x1；由AB推不出a2，比如a3时，ABx|1x1，故选A.(2)由2x25x30，得x或x3，所以a或a3. 类型3利用基本不等式求最值【例3】(1)设x，y为实数，若4x2y2xy1，则2xy的最大值是_(2)设ab0，则a2的最小值是()A1B2C3D4(1)(2)D(1)4x2y24xy3xy1，1(2xy)22
6、xy(2xy)22(2xy)2，2xy，故2xy的最大值为.(2)a2a2abababa(ab)224.当且仅当ab1，a(ab)1时等号成立如取a，b满足条件利用基本不等式求最值，要注意以下两点：(1)使用的范围和条件：“一正、二定、三相等”，特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等构造定值的方法，和对等号能否成立的验证；(2)若等号取不到，则应利用函数单调性求最值3(1)设x1，则函数y的最小值为_(2)若x，y为实数，且x2y4，则xy的最大值为_(1)9(2)2(1)yx15，由均值不等式可得：y259，等号成立条件为x1x1，所以最小值为9.(2)xyx(2y)22(当且仅当
7、x2y，且x2y4，即x2，y1时取“”) 类型4全称量词命题与存在量词命题【例4】(1)命题“至少有一个实数x，使x310”的否定是_；(2)若对任意x1,2，x2a0，则实数a的取值范围是_(1)任意xR，x310(2)a1(1)任意xR，x310(2)对任意x1,2，x2a0，则a(x2)min1.1不等式恒成立问题的求解方法：若ya恒成立，则aymin；若ya恒成立，则aymax.2不等式有解问题的求解方法：若ya有解，则aymax；若ya有解，则aymin.4(1)命题“存在xR，x22x20”的否定是_；(2)若存在x1,2，x2a0，则实数a的取值范围是_(1)任意xR，x22x
8、20(2)a4(1)任意xR，x22x20；(2)存在x1,2，x2a0，则a(x2)max4.1(2019全国卷理)已知集合Mx|4x2，Nx|x2x60，则MN()Ax|4x3Bx|4x2Cx|2x2Dx|2x3C由题知Nx|x2x60x|(x3)(x2)0x|2x3，MNx|2x2，选C.2(2018全国卷理)已知集合A(x，y)|x2y23，xZ，yZ，则A中元素的个数为()A9B8C5D4AA(x，y)|x2y23，xZ，yZ(1，1)，(1,0)，(1,1)，(0，1)(0,0)，(0,1)，(1，1)，(1,0)，(1,1)共9个元素，选A.3(2019全国卷文)已知集合U1,2,3,4,5,6,7，A2,3,4,5，B2,3,6,7，则BUA()A1,6B1,7C6,7D1,6,7C由题知UA1,6,7，则知BUA6,7，选C.4(2019天津高考文)设xR，则“0x5”是“|x1|1”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件B由|x1|1得0x2，故0x5推不出0x2，而0x2能推出0xb0，cdBDB由cd0，又ab0，由不等式的性质知，0，选B.