1、第 21 练 常考的递推公式问题的破解方略题型分析高考展望 利用递推关系式求数列的通项公式及前 n 项和公式是高考中常考题型，掌握常见的一些变形技巧是解决此类问题的关键一般这类题目难度较大，但只要将已知条件转化为几类“模型”，然后采用相应的计算方法即可解决体验高考1(2015湖南)设 Sn 为等比数列an的前 n 项和，若 a11，且 3S1,2S2，S3 成等差数列，则 an_.答案 3n1解析 由 3S1,2S2，S3 成等差数列知，4S23S1S3，可得 a33a2，公比 q3，故等比数列通项 ana1qn13n1.2(2015课标全国)设 Sn 是数列an的前 n 项和，且 a11，a
2、n1SnSn1，则 Sn_.答案 1n解析 由题意，得 S1a11，又由 an1SnSn1，得 Sn1SnSnSn1，因为 Sn0，所以Sn1SnSnSn1 1，即 1Sn1 1Sn1，故数列1Sn 是以 1S11 为首项，1 为公差的等差数列，得1Sn1(n1)n，所以 Sn1n.3(2015江苏)设数列an满足 a11，且 an1ann1(nN*)，则数列1an 前 10 项的和为_答案 2011解析 a11，an1ann1，a2a12，a3a23，anan1n，将以上 n1个式子相加得 ana123n2nn12，即 annn12.令 bn1an，故 bn2nn121n 1n1，故 S10
3、b1b2b1021121213 110 111 2011.4(2016课标全国丙)已知数列an的前 n 项和 Sn1an，其中 0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若 S53132，求.(1)证明 由题意，得 a1S11a1，故 1，a1 11，a10.由 Sn1an，Sn11an1，得 an1an1an，即 an1(1)an，由 a10，0 得an0，所以an1an 1.因此an是首项为 11，公比为 1的等比数列，于是 an 111n1.(2)解 由(1)得 Sn11n.由 S53132，得 1153132，即15 132.解得 1.高考必会题型题型一 利用累加法解决递推问
4、题例 1(1)在数列an中，a11，anan11nn1，则 an 等于()A21nB11nC.1nD2 1n1答案 A解析 anan11nn1，a2a1 112，a3a2 123，a4a3 134，anan11nn1(n1)，以上各式左右两边分别相加得 ana1 112 123 1341nn11121213 1n11n11n，ana111n21n，又 a11 适合上式，an21n，故选 A.(2)在数列an中，已知 a12，an1ancn(nN*，常数 c0)，且 a1，a2，a3 成等比数列求 c 的值；求数列an的通项公式解 由题意知，a12，a22c，a323c，a1，a2，a3 成等比
5、数列，(2c)22(23c)，解得 c0 或 c2，又 c0，故 c2.当 n2 时，由 an1ancn，得 a2a1c，a3a22c，anan1(n1)c，以上各式相加，得 ana112(n1)cnn12c.又 a12，c2，故 ann2n2(n2)，当 n1 时，上式也成立，数列an的通项公式为 ann2n2(nN*)点评 由已知递推关系式，若能转化为 an1anf(n)，或 1an11anf(n)且 f(n)的和可求，则可采用累加法变式训练 1 在数列an中，a11，an1anln(11n)，则 an 等于()A1nln nB1nln nC1(n1)ln nD1ln n答案 D解析 a1
6、1，an1anln(11n)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1ln(1 1n1)ln(1 1n2)ln(11)1ln(nn1n1n22)11ln n.题型二 利用累乘法解决递推问题例 2(1)已知正项数列an满足 a11，(n2)a2n1(n1)a2nanan10，则它的通项公式为()Aan 1n1Ban 2n1Cann12Dann(2)已知 a11，an1an n2n，则 an_.(3)已知数列an中，a11，anan1ann(nN*)，则 a2 016_.答案(1)B(2)nn12(3)2 016解析(1)由(n2)a2n1(n1)a2nanan10，得(n2)an1(n
7、1)an(an1an)0，又 an0，所以(n2)an1(n1)an，即an1an n1n2，an1n1n2an，所以 an nn1n1n 23a1 2n1a1(n2)，所以 an 2n1(n1 适合)，于是所求通项公式为 an 2n1.(2)an1an n2n，a2a1a3a2a4a3 anan13142536475 nn2n1n1nn12.即ana1nn12，又a11，annn12，而 a11 也适合上式，an的通项公式为 annn12.(3)由anan1ann(nN*)，得an1an n1n，a2a121，a3a232，a4a343，anan1 nn1，各式相乘得ana1n，ann(n1
8、 适合)，a2 0162 016.点评 若由已知递推关系能转化成an1an f(n)的形式，且 f(n)的前 n 项积能求，则可采用累乘法注意验证首项是否符合通项公式变式训练 2 数列an的前 n 项和 Snn2an(n2)，且 a11，a22，则an的通项公式 an_.答案 1，n1，2n1，n2解析 Sn1n12 an1(n3)，SnSn1n2ann12 an1，ann2ann12 an1，anan1n1n2.当 n3 时，a3a2a4a3 anan123243n1n2，ana2n1，an(n1)a22(n1)(n3)a22 满足 an2(n1)，an1，n1，2n1，n2.题型三 构造法
9、求通项公式例 3(1)数列an中，a112，an1nann1nan2(nN*)，则数列an的通项公式 an_.(2)已知数列an，a12，an an11an1(n2)，则 an_.(3)已知 a11，an1 anan1，则 an_.答案(1)1n32n11(2)22n1(3)1n解析(1)由已知可得(n1)an1 nannan2，设 nanbn，则 bn1 bnbn2，所以 1bn1 2bn1，两边都加 1 可得 1bn112bn22(1bn1)，即 1bn1是公比为 2，首项为 3 的等比数列故 1bn132n1，所以 1bn32n11 1nan，所以 an1n32n11(n1 适合)，于是
10、所求通项公式为 an1n32n11.(2)由 an an11an1两边取倒数得1an 1an11，数列1an 是首项为1a112，公差为 1 的等差数列，1an12(n1)n122n12.an22n1.(3)由 an1 anan1，得 1an11an1(常数)，又 1a11，1an为以 1 为首项，1 为公差的等差数列，1ann，从而 an1n，即所求通项公式为 an1n.点评 构造法就是利用数列的递推关系灵活变形，构造出等差、等比的新数列，然后利用公式求出通项此类问题关键在于条件变形：在“ancan1b”的条件下，可构造“anxc(an1x)”在“an man1kan1m”的条件下，可构造“
11、1an 1an1km”变式训练 3 已知数列an中，a12，当 n2 时，an7an133an11，求数列an的通项公式解 因为当 n2 时，an14an143an11，两边取倒数，得1an11an1134.即1an11an1134，故数列1an1 是首项为1a111，公差为34的等差数列所以1an11a1134(n1)3n14.所以 an3n53n1.又当 n1 时，上式也成立，故数列an的通项公式是 an3n53n1(nN*)高考题型精练1数列an满足 a11，a223，且 1an1 1an1 2an(n2)，则 an 等于()A.1n1B(23)n1C(23)nD.2n1答案 D解析 由
12、题意知1an是等差数列，又 1a11，1a232，公差为 d1a2 1a112，1an1a1(n1)12n12，an 2n1，故选 D.2已知数列an中，a11，且 1an1 1an3(nN*)，则 a10 等于()A28B33C.133D.128答案 D解析 由已知 1an1 1an3(nN*)，所以数列1an是以 1 为首项，3 为公差的等差数列，即 1an1(n1)33n2，解得 an13n2，a10 128，故选 D.3已知数列an中，a112，an1an1n23n2(nN*)，则数列an的通项为()Aan 1n1Ban nn1Can12n1n2n2Dann1n2答案 B解析 由 an
13、1an1n23n2可得，an1an1n23n21n1n2 1n1 1n2，所以 a2a11213，a3a21314，a4a31415，anan11n 1n1，累加可得 ana112 1n1，又 a112，所以 an nn1，故选 B.4已知 f(x)log2x1x1，anf(1n)f(2n)f(n1n)，n 为正整数，则 a2 016 等于()A2 015B2 009C1 005D1 006答案 A解析 因为 f(x)log2x1x1，所以 f(x)f(1x)log2x1x1log21xx 12.所以 f(1n)f(n1n)2，f(2n)f(n2n)2，f(n1n)f(1n)2，由倒序相加，得
14、 2an2(n1)，ann1，所以 a2 0162 01612 015，故选 A.5已知数列an，bn满足 a1b11，an1anbn1bn 2，nN*，则nab_，数列nab的前 4 项和 S4_.答案 4n1 85解析 根据题意可知，数列an为等差数列，数列bn为等比数列，所以 an2n1，bn2n1，所以nab12 na22n24n1，所以 S414414 13(441)85.6已知数列an中，a12，当 n2 时，an2an132n1(nN*)则数列an2n的通项公式为_，数列an的通项公式为_答案 an2n3n12 an(3n1)2n1解析 当 n2 时，an2nan12n132.令
15、 bnan2n，则数列bn是以 b11 为首项，32为公差的等差数列，所以 bn3n12，即an2n3n12，所以 an(3n1)2n1.7数列an中，a11，an23n1an1(n2)，则 an_.答案 3n2解析 因为 an23n1an1(n2)，所以 anan123n1(n2)，由叠加原理知 ana12(332333n1)(n2)，所以 ana12313n11313n33n2(n2)，因为 a11 也符合上式，故 an3n2.8若数列an满足 an3an 12(n2，nN*)，a11，则数列an的通项公式 an_.答案 23n11解析 设 an3(an1)，化简得 an3an12，an3
16、an12，1，an13(an11)a11，a112，数列an1是以 2 为首项，3 为公比的等比数列，an123n1，an23n11.9若数列an满足 a11，且 an14an2n，则通项 an_.答案 22n12n1解析 an14an2n，an12n12an2n 12，设 bnan2n，则 bn12bn12，bn1122(bn12)，即bn112bn122，又 b1121，bn12是等比数列，其中首项为 1，公比为 2，bn122n1，即 bn2n112，即an2n2n112，an2n(2n112)22n12n1.10设an是首项为 1 的正项数列，且(n1)a2n1na2nan1an0(n
17、N*)，则它的通项公式an_.答案 1n解析 对原关系式进行等价变形可得(n1)a2n1na2nan1an0(nN*)(n1)an1nan(an1an)0，因为an是正项数列，所以(n1)an1nan0，从而n1an1nan1，即数列nan是首项为 1，公比为 1 的等比数列，所以 nan1，即 an1n.11数列an满足 a11，a22，an22an1an2.(1)设 bnan1an，证明bn是等差数列；(2)求an的通项公式(1)证明 由 an22an1an2，得 bn1bnan22an1an2an1an22an1an2，又 b1a2a11，bn是首项为 1，公差为 2 的等差数列(2)解
18、 由(1)得 bn2n1，于是 an1an2n1，an(a2a1)(a3a2)(anan1)a113(2n3)1(n1)21，而 a11 也符合，an的通项公式 an(n1)21.12已知数列an的首项 a11，前 n 项和为 Sn，且 Sn12Snn1(nN*)(1)证明数列an1是等比数列，并求数列an的通项公式；(2)求数列nann的前 n 项和 Tn.解(1)由已知，Sn12Snn1(nN*),当 n2 时，Sn2Sn1n，两式相减得，an12an1，于是 an112(an1)(n2)当 n1 时，S22S111，即 a1a22a111，所以 a23，此时 a212(a11)，且 a1120，所以数列an1是首项为 a112，公比为 2 的等比数列所以 an122n1，即 an2n1(nN*)(2)令 cnnann，则 cnn2n，于是 Tn121222n2n，2Tn122(n1)2nn2n1，两式相减得，Tn2222nn2n122n121 n2n1(1n)2n12，所以 Tn(n1)2n12.