1、北京2013届高三理科数学最新模拟试题分类汇编9：圆锥曲线一、选择题 （2013北京东城高三二模数学理科）过抛物线焦点的直线交抛物线于,两点,若,则的中点到轴的距离等于（）ABCD【答案】D （2013北京朝阳二模数学理科试题）若双曲线的渐近线与抛物线有公共点,则此双曲线的离心率的取值范围是（）ABCD 【答案】（）A （2013届门头沟区一模理科）已知P是中心在原点，焦距为的双曲线上一点，且的取值范围为，则该双曲线方程是（）ABCD【答案】C （2013届北京大兴区一模理科）双曲线的实轴长是虚轴长的2倍,则m等于（）ABCD【答案】D （2013届北京市延庆县一模数学理）已知双曲线的离心率为
2、，一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（）ABCD【答案】D （北京市石景山区2013届高三一模数学理试题）对于直线l:y=k (x+1)与抛物线C:y2= 4x,k=1是直线l与抛物线C有唯一交点的( )条件（）A充分不必要B必要不充分C充要条件D既不充分也不必要【答案】A （2013届北京海滨一模理科）抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又点，则的最小值是（）ABCD【答案】B （2013北京海淀二模数学理科试题及答案）双曲线的左右焦点分别为,且恰为抛物线的焦点,设双曲线与该抛物线的一个交点为,若是以为底边的等腰三角形,则双曲线的离心率为（）ABCD【答案】B （2013北
3、京西城高三二模数学理科）已知正六边形的边长是,一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点,则抛物线的焦点到准线的距离是（）ABCD 【答案】 B; （2013届东城区一模理科）已知，分别是双曲线：的两个焦点，双曲线和圆：的一个交点为，且，那么双曲线的离心率为（）ABCD【答案】D（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）抛物线()的焦点为,已知点,为抛物线上的两个动点,且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线,垂足为,则的最大值为（）AB1CD2【答案】A 二、填空题（2013北京昌平二模数学理科试题及答案）曲线是平面内到直线和直线的距离之积等于常数的点的轨迹.给出下列四个结论:曲线过点;曲线
4、关于点对称;若点在曲线上,点分别在直线上,则不小于设为曲线上任意一点,则点关于直线、点及直线对称的点分别为、,则四边形的面积为定值.其中,所有正确结论的序号是_. 【答案】 （2013北京房山二模数学理科试题及答案）抛物线的焦点坐标为,则抛物线的方程为_,若点在抛物线上运动,点在直线上运动,则的最小值等于_.【答案】 （2013北京昌平二模数学理科试题及答案）双曲线的一条渐近线方程为,则_.【答案】; （2013届房山区一模理科数学）已知双曲线的焦距为，且过点，则它的渐近线方程为 . 【答案】 （2013北京顺义二模数学理科试题及答案）已知双曲线的离心率为,顶点与椭圆的焦点相同,那么该双曲线的
5、焦点坐标为_,渐近线方程为_.【答案】 （2013北京丰台二模数学理科试题及答案）若双曲线C: 的离心率为,则抛物线的焦点到C的渐近线距离是_.【答案】 ; （北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析）在平面直角坐标系中,设抛物线的焦点为,准线为为抛物线上一点,为垂足.如果直线的倾斜角为,那么_.【答案】答案4抛物线的焦点坐标为,准线方程为.因为直线的倾斜角为,所以,又,所以.因为,所以,代入,得,所以. （2013届北京西城区一模理科）在直角坐标系中，点与点关于原点对称点在抛物线上，且直线与的斜率之积等于，则_【答案】； 三、解答题（2013届北京丰台区一模理科）已知以原点为对
6、称中心、F(2,0)为右焦点的椭圆C过P(2，)，直线：y=kx+m(k0)交椭圆C于不同的两点A，B。（）求椭圆C的方程；（）是否存在实数k，使线段AB的垂直平分线经过点Q（0,3）？若存在求出 k的取值范围；若不存在，请说明理由。【答案】解：（）设椭圆C的方程为，由题意，解得，所以椭圆C的方程为. 5分（）假设存在斜率为k的直线，其垂直平分线经过点Q（0,3），设A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中点为N(x0,y0),由得, 6分，所以,7分, ，, 8分线段AB的垂直平分线过点Q（0,3），即，10分 ，整理得，显然矛盾不存在满足题意的k的值。13分方程化为标准方程,则圆的圆心
7、,半径.由得直线的方程为. 由直线与圆相切,得, 所以或(舍去). 当时, 故椭圆的方程为 (II)由题意可知,直线的斜率存在,设直线的斜率为, 则直线的方程为. 因为点在椭圆内, 所以对任意,直线都与椭圆交于不同的两点. 由得. 设点的坐标分别为,则 , 所以 . 又因为点到直线的距离, 所以的面积为 设,则且, . 因为, 所以当时,的面积达到最大, 此时,即. 故当的面积达到最大时,直线的方程为 （2013北京东城高三二模数学理科）已知椭圆:的离心率,原点到过点,的直线的距离是. ()求椭圆的方程;()若椭圆上一动点关于直线的对称点为,求的取值范围.()如果直线交椭圆于不同的两点,且,都
8、在以为圆心的圆上,求的值.【答案】(共13分)解: ()因为,所以 . 因为原点到直线:的距离,解得,. 故所求椭圆的方程为. ()因为点关于直线的对称点为, 所以 解得 ,. 所以. 因为点在椭圆:上,所以. 因为, 所以.所以的取值范围为. ()由题意消去 ,整理得.可知. 设,的中点是, 则,. 所以. 所以. 即 . 又因为, 所以.所以 （2013北京房山二模数学理科试题及答案）已知椭圆:的离心率为,且过点.直线交椭圆于,(不与点重合)两点.()求椭圆的方程;()ABD的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.【答案】(), , ()设 , ,由 , , 设
9、为点到直线BD:的距离, 当且仅当时等号成立 当时,的面积最大,最大值为 （2013北京丰台二模数学理科试题及答案）已知椭圆C:的短轴的端点分别为A,B,直线AM,BM分别与椭圆C交于E,F两点,其中点M (m,) 满足,且.()求椭圆C的离心率e;()用m表示点E,F的坐标;()若BME面积是AMF面积的5倍,求m的值. 【答案】解:()依题意知,; (),M (m,),且, 直线AM的斜率为k1=,直线BM斜率为k2=, 直线AM的方程为y= ,直线BM的方程为y= , 由得, 由得,; (), , ,整理方程得,即, 又, ,为所求 （北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）已
10、知中心在原点,焦点在轴上的椭圆过点,离心率为,点为其右顶点.过点作直线与椭圆相交于两点,直线,与直线分别交于点,.()求椭圆的方程;()求的取值范围.【答案】解:()设椭圆的方程为, 依题意得解得,. 所以椭圆的方程为 ()显然点. (1)当直线的斜率不存在时,不妨设点在轴上方,易得,所以 (2)当直线的斜率存在时,由题意可设直线的方程为,显然时,不符合题意. 由得. 设,则. 直线,的方程分别为:, 令,则. 所以, 所以 因为,所以,所以,即. 综上所述,的取值范围是 （2013届北京大兴区一模理科）已知动点P到点A（-2,0）与点B（2,0）的斜率之积为，点P的轨迹为曲线C。()求曲线C
11、的方程；()若点Q为曲线C上的一点，直线AQ，BQ与直线x=4分别交于M、N两点，直线BM与椭圆的交点为D。求证，A、D、N三点共线。【答案】解：（I）设P点坐标，则（），（），由已知，化简得：.所求曲线C的方程为（）。（II）由已知直线AQ的斜率存在，且不等于0，设方程为，由，消去得：（1）.因为，是方程（1）的两个根，所以，得，又，所以。当，得，即。又直线BQ的斜率为，方程为，当时，得，即。直线BM的斜率为，方程为。由，消去得：（2）.因为2，是方程（2）的两个根，所以， 得，又，即。由上述计算：，。因为，所以。所以A、D、N三点共线。（2013届北京海滨一模理科）已知圆：（）.若椭圆：（）的右顶点为圆的圆心，离心率为. （I）求椭圆的方程；（II）若存在直线：，使得直线与椭圆分别交于，两点，与圆分别交于，两点，点在线段上，且，求圆半径的取值范围.【答案】解：（I）设椭圆的焦距为，因为，所以，所以. 所以椭圆：4分（II）设（，），(，)由直线与椭圆交于两点，则所以 ，则，6分所以7分点（，0）到直线的距离则9分显然，若点也在线段上，则由对称性可知，直线就是轴，矛盾，所以要使，只要所以11分当时，12分当时，又显然, 所以综上，14分