1、2021年中考数学压轴题专项训练圆的综合1如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AC为直径，DEBC，垂足为E（1）求证：CD平分ACE；（2）若AC8，CE3，求CD的长（1）证明：四边形ABCD是O内接四边形，BAD+BCD180，BCD+DCE180，DCEBAD，BADACD，DCEACD，CD平分ACE；（2）解：AC为直径，ADC90，DEBC，DEC90，DECADC，DCEACD，DCEACD，即，2如图，AB为O的直径，C、F为O上两点，且点C为的中点，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D（1）求证：DE是O的切线；（2）当BD2，sinD时，求AE
2、的长（1）证明：连接OC，如图，点C为弧BF的中点，弧BC弧CFBACFAC，OAOC，OCAOACOCAFAC，OCAE，AEDE，OCDEDE是O的切线；（2）sinD，设OC3x，OD5x，则5x3x+2，x1，OC3，OD5，AD8，sinD，AE3如图，已知直线l切O于点A，B为O上一点，过点B作BCl，垂足为点C，连接AB、OB（1）求证：ABCABO；（2）若AB，AC1，求O的半径（1）证明：连接OA，OBOA，OBAOAB，AC切O于A，OAAC，BCAC，OABC，OBAABC，ABCABO；（2）解：过O作ODBC于D，ODBC，BCAC，OAAC，ODCDCAOAC90
3、，ODAC1，在RtACB中，AB，AC1，由勾股定理得：BC3，ODBC，OD过O，BDDCBC1.5，在RtODB中，由勾股定理得：OB，即O的半径是4如图，AB为O的直径，C为O上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E，ADEC交EC的延长线于点D，连接AC（1）求证：AC平分DAE；（2）若cosDAE，BE2，求O的半径（1）证明：连接OC，DE是O的切线，OCDE，ADDE，OCAD，OCADAC，OAOC，OCAOAC，DACOAC，AC平分DAE；（2）解：设O的半径为r，OCAD，DAECOE，cosDAEcosCOE，BE2，解得：r4，即O的半径为45如图a，AB为O直
4、径，AC为O的为弦，PA为O的切线，APC21（1）求证：PC是O的切线（2）当130，AB4时，其他条件不变，求图b中阴影部分的面积（1）证明：连结OC，在圆O中，OAOC，BOC21APC，BOC+AOC180，APC+AOC180，PA为O的切线，OAP90 又四边形内角和为360，OCP90，OC为O的半径，PC为O的切线；（2）解：PA为O的切线，PC为O的切线PAPC，130，APC21，APC60，APC为等边三角形，连结OP，OC，S四边形AOCP2224，S扇形AOC4，S阴影部分的面积4 6如图，线段AB经过O的圆心，交O于A，C两点，BC1，AD为O的弦，连接BD，BAD
5、ABD30，连接DO并延长交O于点E，连接BE交O于点M（1）求证：直线BD是O的切线；（2）求切线BD的长；（3）求线段BM的长（1）证明：BADABD30，DOB2BAD60，ODB180306090，即ODBD，OD过O，直线BD是O的切线；（2）解：设ODOCr，在RtBDO中，sin30，解得：r1，即OD1，OB1+12，由勾股定理得：BD；（3）解：连接DM，DE是O的直径，DME90，即DMBBDE90，DBMDBE，BMDBDE，解得：BM7如图，四边形ABCD为O的内接四边形，且AC为O的直径，延长BC到E，使得BEAB，连接DE（1）求证：ADDE；（2）若DE为O的切线
6、，且DE2，求的长度（1）证明：连接BD，ABDDBE，ABBE，BDBD，ABDEBD（SAS），ADDE；（2）解：连接OD，ADCD，ADDE，CDDE，AC为O的直径，BADC90，ADCD，O为AC的中点，ODEADC45，DE为O的切线，ODE90，CDE45，ADE90+45135，CDDE，DCEDEC67.5，BAD67.5，ADCD，ADC90，DAC45，BAC22.5，ADCD2，AC4，OC2，的长度是8如图，O是ABC的外接圆，AB是直径，ODAC，垂足为D点，直线OD与O相交于E，F两点，P是O外一点，P在直线OD上，连接PA，PB，PC，且满足PCAABC（1）
7、求证：PAPC；（2）求证：PA是O的切线；（3）若BC8，求DE的长（1）证明ODAC，ADCD，PD是AC的垂直平分线，PAPC，（2）证明：由（1）知：PAPC，PACPCAAB是O的直径，ACB90，CAB+CBA90又PCAABC，PCA+CAB90，CAB+PAC90，即ABPA，PA是O的切线；（3）解：ADCD，OAOB，ODBC，ODBC4，设AB3a，DF2a，ABEF，DE3a2aa，OD4a，a8，DE89如图，C是上的一定点，D是弦AB上的一定点，P是弦CB上的一动点，连接DP，将线段PD绕点P顺时针旋转90得到线段PD，射线PD与交于点Q已知BC6cm，设P，C两点
8、间的距离为xcm，P，D两点间的距离为y1cm，P，Q两点间的距离为y2cm小石根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0123456y1/cm4.293.331.651.221.502.24y2/cm0.882.843.574.044.173.200.98（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数据所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：连接DQ，当DP
9、Q为等腰三角形时，PC的长度约为1.3或5.7cm（结果保留一位小数）解：（1）观察图象发现规律可知：表格数据为：2.44；（2）如图所示：即为两个函数y1，y2的图象；（3）观察图象可知：两个图象的交点的横坐标即为DPQ为等腰三角形时，PC的长度，两个交点的横坐标为1.3和5.7故答案为：1.3或5.710如图（1），某数学活动小组经探究发现：在O中，直径AB与弦CD相交于点P，此时PAPBPCPD（1）如图（2），若AB与CD相交于圆外一点P，上面的结论是否成立？请说明理由（2）如图（3），将PD绕点P逆时针旋转至与O相切于点C，直接写出PA、PB、PC之间的数量关系（3）如图（3），直接
10、利用（2）的结论，求当PC，PA1时，阴影部分的面积解：（1）成立理由如下：如图（2），连接AD、BC，则BDPPPADPCBPAPBPCPD；（2）PC2PAPB理由如下：如图（3），连接BC，OC，PC与O相切于点C，PCO90，AB是直径，ACB90PCAOCBOCOBOCBOBCPCAOBCPPPCAPBCPC：PBPA：PCPC2PAPB（3）如图（3），连接OC，PC2PAPB，PC，PA1PB3，AOCO1PO2PC与O相切于点C，PCO是直角三角形sinCPOCPO30，COP60AOC为等边三角形SAOCS扇形AOCS阴影S扇形AOCSAOC11在平面直角坐标系xOy中，已知
11、点A（0，2），点B在x轴上，以AB为直径作C，点P在y轴上，且在点A上方，过点P作C的切线PQ，Q为切点，如果点Q在第一象限，则称Q为点P的离点例如，图1中的Q为点P的一个离点（1）已知点P（0，3），Q为P的离点如图2，若B（0，0），则圆心C的坐标为（0，1），线段PQ的长为；若B（2，0），求线段PQ的长；（2）已知1PA2，直线l： ykx+k+3（k0）当k1时，若直线l上存在P的离点Q，则点Q纵坐标t的最大值为6；记直线l：ykx+k+3（k0）在1x1的部分为图形G，如果图形G上存在P的离点，直接写出k的取值范围解：（1）如图可知：C（0，1），在RtPQC中，CQ1，PC2，
12、PQ，故答案为（0，1）；如图，过C作CMy轴于点M，连接CP，CQA（0，2），B（2，0），C（1，1）M（0，1）在RtACM中，由勾股定理可得CACQP（0，3），M（0，1），PM2在RtPCM中，由勾股定理可得PC在RtPCQ中，由勾股定理可得PQ（2）如图1：当k1时，yx+4，Q（t2，t），CQ，当t2时，CQ最大，在RtCDQ中，CD，CQ最大则DQ最大，Q（2，6），故答案为6；1x1，Q点的在端点（1，3）和（1，2k+4）之间运动，当Q在（1，2k+4），P（0，4）时，直线PQ的解析式y（2k1）x+4，点C（1，1）到直线PQ的距离为时，可得k0或k4，0k412
13、已知AB为O的直径（1）如图a，点D为的中点，当弦BDAC时，求A（2）如图b，点D为的中点，当AB6，点E为BD的中点时，求OE的长（3）如图c，点D为上任意一点（不与A、C重合），若点C为的中点，探求BD、AD、CD之间的数量关系，直接写出你探求的结论，不要求证明解：（1）如图1，连结OC，点D为的中点，弦BDAC，即点C为的中点ACOB18030（2）如图2，连结OD，BC，OD交AC于点F，AB为O的直径，C90o点D为的中点，半径OD所在的直线为O的对称轴，则点A的对应点为C，ODAC，OD平分AC，即：AFCF，在DEF和BEC中，DEFBEC （AAS），CEEF，BCDF，AO
14、BO，AFCF，OFBCDF，又AB6，OD3OF1，BCDF2在RtABC中，AB6，BC2，AC4，点F为AC的中点，点E为FC的中点EF，在RtOFE中，EF，OF1，OE（3）BD、AD、CD之间的关系为：BDADCD，如图3，连接BC，OC，AB为O的直径，点C为的中点，ACB90，ACBC，BACBDC45，过点C作CFCD交BD 于点F，DCF是等腰直角三角形，ACDBCF90ACF，又ACBC，CDCFACDBCF（SAS），ADBF，BDBF+DF，BDAD+CD，即BDADCD13如图，在ABC中，ABAC，A30，AB10，以AB为直径的O交BC于点D，交AC于点E，连接
15、DE，过点B作BP平行于DE，交O于点P，连接CP、OP（1）求证：点D为BC的中点；（2）求AP的长度；（3）求证：CP是O的切线解：（1）BDDC理由如下：如图1，连接AD，AB是直径，ADB90，ADBC（2）如图1，连接APAD是等腰ABC底边上的中线，BADCAD，BDDEBDDEDC，DECDCE，ABC中，ABAC，A30，DCEABC（18030）75，DEC75，EDC180757530，BPDE，PBCEDC30，ABPABCPBC753045，OBOP，OBPOPB45，BOP90AOP是等腰直角三角形AOAB5APAO5；（3）解法一：设OP交AC于点G，如图1，则AO
16、GBOP90，在RtAOG中，OAG30，又，又AGOCGP，AOGCPG，GPCAOG90，OPPC，CP是O的切线；解法二：如图2，作CMAB于M，BOP90，CMOP，OPAB，在RtAME中，BAC30，可CMAC，CMAB，CMOP，四边形OPCM是矩形，CPO90，CP是圆O的切线14如图，O的半径为，AB是O的直径，F是O上一点，连接FO、FBC为劣弧的中点，过点C作CDAB，垂足为D，CD交FB于点E，CGFB，交AB的延长线于点G（1）求证：CG是O的切线；（2）连接BC，若BCOF，如图2求CE的长；图中阴影部分的面积等于2（1）证明：如图1，连接COC是的中点，BOCFOC又OFOB，OCBFCGFB，OCCGCG是O的切线（2）OFCB，AOFOBC，COFOCBOCOB，OCBOBCAOFCOFBOC60OBC是等边三角形CDOB，OCBF，点E是OBC的重心CE2EDCD又O的半径为，可求得：CDOCsin6023，DE1，CE2；故答案是：2