1、二项式定理考试要求会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题1二项式定理(1)二项式定理：(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN*)；(2)通项公式：Tr1Canrbr，它表示第r1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，C.2二项式系数的性质(1)0rn时，C与C的关系是CC.(2)二项式系数先增后减中间项最大当n为偶数时，第1项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，第项和项的二项式系数最大，最大值为C .3各二项式系数和(1)(ab)n展开式的各二项式系数和：CCCC2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即CCCCCC2n1.(1)C1
2、；(2)C1；(3)CC；(4)CCC.一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)Canrbr是(ab)n的展开式中的第r项()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项()(3)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关()(4)通项Tr1Canrbr中的a和b不能互换()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1(12x)4展开式中第3项的二项式系数为()A6B6C24D24A(12x)4展开式中第3项的二项式系数为C6.故选A2二项式的展开式中x3y2的系数是()A5 B20 C20 D5A二项式的通项为Tr1C (2y)r.根据题意，得解得r2.所以x3
3、y2的系数是C(2)25.故选A3的值为()A1 B2C2 019 D2 0192 020A原式1.故选A4若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a2a4的值为 8令x1，则a0a1a2a3a40；令x1，则a0a1a2a3a416，两式相加得a0a2a48. 考点一二项式展开式的通项公式的应用 形如(ab)n的展开式问题二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n项、常数项、有理项等，求解二项展开式中的特定项的关键点如下：求通项，利用(ab)n的展开式的通项公式Tr1Canrbr(r0,1,2，n)求通项列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列
4、出方程(组)或不等式(组)求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项典例11(1)的展开式中x4的系数为()A10B20C40D80(2)若的展开式中x5的系数是80，则实数a .(3)(2019浙江高考)在二项式(x)9的展开式中，常数项是 ；系数为有理数的项的个数是 (1)C(2)2(3)165(1)Tr1C(x2)5rC2rx103r，由103r4，得r2，所以x4的系数为C2240.(2)的展开式的通项Tr1C(ax2)5rxCa5r x，令10r5，得r2，所以Ca380，解得a2. (3)由题意，(x)9的通项为Tr1C()9rxr(r0,1,2，9)
5、，当r0时，可得常数项为T1C()916；若展开式的系数为有理数，则r1,3,5,7,9，有T2, T4, T6, T8, T10共5个项点评：已知展开式的某项或其系数求参数，可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k1项，由特定项得出k值，最后求出其参数形如(ab)n(cd)m的展开式问题求解形如(ab)n(cd)m的展开式问题的思路(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(ab)2(cd)m(a22abb2)(cd)m，然后展开分别求解(2)观察(ab)(cd)是否可以合并，如(1x)5(1x)7(1x)(1x)5(1x)2(1x2)5(1x)2.(3)分别得到(ab)n，(c
6、d)m的通项公式，综合考虑典例12(1)(2020全国卷)(xy)5的展开式中x3y3的系数为()A5 B10 C15 D20(2)(x22)的展开式的常数项是()A3 B2 C2 D3(3)若(x2a)的展开式中x6的系数为30，则a等于()A B C1 D2(1)C(2)D(3)D(1)因为(xy)5的展开式的第r1项Tr1Cx5ryr，所以(xy)5的展开式中x3y3的系数为CC15.故选C(2)能够使其展开式中出现常数项，由多项式乘法的定义可知需满足：第一个因式取x2项，第二个因式取项得x2C(1)45；第一个因式取2，第二个因式取(1)5得2(1)5C2，故展开式的常数项是5(2)3
7、，故选D(3)由题意得的展开式的通项公式是Tk1Cx10kCx102k，的展开式中含x4(当k3时)，x6(当k2时)项的系数分别为C，C，因此由题意得CaC12045a30，由此解得a2，故选D点评：求几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题，可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可形如(abc)n的展开式问题求三项展开式中某些特定项的系数的方法(1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解(2)两次利用二项式定理的通项公式求解(3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，
8、要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量典例13(1)将展开后，常数项是 (2)的展开式中，x3y3的系数是 (用数字作答)(1)160(2)120(1)展开式的通项是C()6k(2)kCx3k.令3k0，得k3.所以常数项是C(2)3160.(2)表示6个因式x2y的乘积，在这6个因式中，有3个因式选y，其余的3个因式中有2个选x2，剩下一个选，即可得到x3y3的系数，即x3y3的系数是CC(2)203(2)120.点评：二项式定理研究两项和的展开式，对于三项式问题，一般是通过合并、拆分或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解1若的展开式中常数项为，则实数a的值为()A2 B
9、 C2 DA的展开式的通项为Tk1C(x2)6kCx 123k，令123k0，得k4.故C，即，解得a2，故选A2(1)6(1)4的展开式中x的系数是()A4 B3 C3 D4B(1)6(1)4(1)(1)4(1)2(1x)4(12x)于是(1)6(1)4的展开式中x的系数为C1C(1)113.3.的展开式中含xy的项的系数为()A30 B60 C90 D120B展开式中含xy的项来自C(y)1，展开式通项为Tr1(1)rCx，令5r1r3，展开式中x的系数为(1)3C，所以的展开式中含xy的项的系数为C(1)C(1)360，故选B 考点二二项式系数的和与各项的系数和问题 (1)系数和问题常用
10、“赋值法”求解赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项系数和的方法求解有关系数和题的关键点如下：赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有：1,0,1等求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值求值，根据题意，得出指定项的系数和(2)二项式系数和：(ab)n的展开式中二项式系数的和为CCC2n.典例2(1)在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为321，则x2的系数为()A50 B70 C90 D120(2)若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，且(a0a2a8)2(a1a3a9)239，则实数m的值为 (1)C
11、(2)3或1(1)令x1，则4n，所以的展开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以2n32，解得n5.二项展开式的通项Tr1Cx5rC3rx，令5r2，得r2，所以x2的系数为C3290，故选C(2)令x0，则(2m)9a0a1a2a9，令x2，则m9a0a1a2a3a9，又(a0a2a8)2(a1a3a9)2(a0a1a2a9)(a0a1a2a3a8a9)39，(2m)9m939，m(2m)3，m3或m1.点评： (1)利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值(包括符号)(2)在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，然后将绝对值去掉，再进行赋值1
12、在二项式(12x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为()A960 B960 C1 120 D1 680C因为偶数项的二项式系数之和为2n1128，所以n17，n8，则展开式共有9项，中间项为第5项，因为(12x)8的展开式的通项Tr1C(2x)rC(2)rxr，所以T5C(2)4x4，其系数为C(2)41 120.2(ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a .3设(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，令x1，得16(a1)a0a1a2a3a4a5，令x1，得0a0a1a2a3a4a5.，得16(a1)2(a1a
13、3a5)，即展开式中x的奇数次幂项的系数之和为a1a3a58(a1)，所以8(a1)32，解得a3. 考点三二项式系数的性质 二项展开式系数最大项的求法如求(abx)n(a，bR)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，An1，且第k项系数最大，应用 从而解出k来，即得二项式系数的最值问题典例31设m为正整数，2m展开式的二项式系数的最大值为a，2m1展开式的二项式系数的最大值为b，若15a8b，则m .72m展开式中二项式系数的最大值为aC，2m1展开式中二项式系数的最大值为bC，因为15a8b，所以15C8C，即158，解得m7.项的系数的最值问题典例
14、32已知(x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x1)n的展开式的二项式系数和大992，则在2n的展开式中，二项式系数最大的项为 ，系数的绝对值最大的项为 8 06415 360x4由题意知，22n2n992，即(2n32)(2n31)0，故2n32，解得n5.由二项式系数的性质知，的展开式中第6项的二项式系数最大，故二项式系数最大的项为T6C(2x)58 064.设第k1项的系数的绝对值最大，则Tk1C(2x)10k(1)kC210kx102k，令 得 即 解得k.kZ，k3.故系数的绝对值最大的项是第4项，T4C27x415 360x4.点评：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念二项式
15、系数是指C，C，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关1二项式的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为()A3 B5 C6 D7D根据的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n20，的展开式的通项为Tr1C(x)20r()20rCx，要使x的指数是整数，需r是3的倍数且0r20，r0,3,6,9,12,15,18，x的指数是整数的项共有7项2已知(13x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为 C(3x)7和C(3x)8由已知得CCC121，则n(n1)n1121，即n2n2400，解得n15(舍去负值)，所以展开式中二项式系数最大的项为T8C(3x)7和T9C(3x)8.