1、2.2.2 函数的奇偶性2.2.2 函数的奇偶性 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU目标导航 预习引导 学习目标1.知道函数奇偶性的定义,并能说出奇、偶函数的图象特征.2.会判断函数的奇偶性,会用函数的奇偶性解决简单的问题.重点难点重点:函数奇偶性的定义及图象特征.难点:判断函数的奇偶性,以及函数奇偶性的运用.2.2.2 函数的奇偶性 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU目标导航 预习引导 1.奇函数和偶函数(1)一般地,设 y=f(x)的定义域为 A,如果对于
2、任意的 xA,都有f(-x)=f(x),那么称函数 y=f(x)是偶函数.(2)如果对于任意的 xA,都有 f(-x)=-f(x),那么称函数 y=f(x)是奇函数.预习交流 1既是奇函数又是偶函数的函数存在吗?为什么?提示:存在.因为如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,f(-x)=f(x)与 f(-x)=-f(x)同时成立,则这样的函数 f(x)既是奇函数又是偶函数,表达式是 f(x)=0,定义域是关于原点对称的非空数集.2.2.2 函数的奇偶性 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU目标导航 预习引导 2.奇偶性(1
3、)如果函数 f(x)是奇函数或偶函数,我们说函数 f(x)具有奇偶性.(2)偶函数的图象关于 y 轴对称,奇函数的图象关于原点对称.预习交流 2(1)有下列函数:y=2x;y=3+1;y=x2;y=x3+x;y=x2-x;y=-3;y=2x2-1;y=2|x|+2.其中奇函数有 ,偶函数有 .(2)下列说法中,正确的序号是 .图象关于原点成中心对称的函数一定是奇函数;奇函数的图象一定经过原点;偶函数的图象若不经过原点,则它与 x 轴交点的个数一定是偶数;图象关于 y 轴成轴对称的函数一定是偶函数.提示:(1)(2)2.2.2 函数的奇偶性 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂
4、合作探究 KETANG HEZUO TANJIU目标导航 预习引导 预习交流 3若奇函数 f(x)在 x=0 处有定义,则在 x=0 处的函数值是什么?若 g(x)是偶函数且在 x=0 处有定义,能确定 g(0)的值吗?提示:根据奇函数的定义,有 f(-0)=-f(0),f(0)=0,即在 x=0 处的函数值为 0.若偶函数 g(x)在 x=0 处有定义,则 g(0)的值不确定,如 g(x)=x2+a是偶函数,而 g(0)=a 是任意实数,不能确定是哪一个数.2.2.2 函数的奇偶性 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学
5、 当堂检测 一二三一、函数奇偶性的判断活动与探究判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=22+2x+1;(2)f(x)=x3-2x;(3)f(x)=a(xR);(4)f(x)=(1-),0,(1+),0 时,-x0,此时 f(-x)=-x1+(-x)=-x(1-x)=-f(x);当 x0,此时 f(-x)=-x1-(-x)=-x(1+x)=-f(x);当 x=0 时,-x=0,此时 f(-x)=0,f(x)=0,即 f(-x)=-f(x).综上,f(-x)=-f(x)在定义域 R 内都成立,所以 f(x)为奇函数.2.2.2 函数的奇偶性 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合
6、作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 一二三迁移与应用判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=x+1;(2)f(x)=2-|x|;(3)f(x)=2-1+1-2;(4)f(x)=-1.2.2.2 函数的奇偶性 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 一二三解:(1)函数 f(x)的定义域是x|x0,关于原点对称,又 f(-x)=-x+1-=-+1=-f(x),f(x)为奇函数.(2)函数 f(x)的定义域为 R,关于原点对称,又 f(-x)=2-|-x|=2-|x|=f(x),f(x)为
7、偶函数.(3)函数 f(x)的定义域为-1,1,关于原点对称,且 f(x)=0,又f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),f(x)既是奇函数又是偶函数.(4)显然函数 f(x)的定义域为x|x1,不关于原点对称,f(x)是非奇非偶函数.2.2.2 函数的奇偶性 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 一二三判断函数奇偶性一般有以下方法:定义法.图象法,看函数图象关于原点(或 y 轴)是否对称.性质法,偶函数的和、差、积、商(分母不为 0)仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数的积、商(分母
8、不为 0)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数,对填空题可直接使用.2.2.2 函数的奇偶性 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 一二三二、利用函数奇偶性求解析式活动与探究已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x0 时,f(x)=x(1+x).(1)试求当 x0 时的解析式;(2)写出 f(x)在 R 上的解析式,并画出函数的图象.思路分析:解答这类问题时,求哪个区间上的解析式,就在哪个区间上设 x,变号后代入已知解析式,借助函数奇偶性求解.2.2.2 函数的奇偶性 课前预习导学 KEQI
9、AN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 一二三解:(1)设 x0,x0 时,f(x)=x(1+x),f(-x)=-x(1-x).又 f(x)是奇函数,f(x)=-f(-x)=x(1-x).x0 时,f(x)=x(1-x).(2)由已知和(1)得f(x)=(1+),0,(1-),0,其图象为:2.2.2 函数的奇偶性 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 一二三迁移与应用设 f(x)是定义在(-,+)上的奇函数,且当 x0,则-x0.当 x0 时,f(x
10、)=-x2+2x+1.当 x=0 时,f(0)=-f(-0),即 f(0)=0.f(x)=2+2x-1,x 0.2.2.2 函数的奇偶性 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 一二三利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇、偶函数的关系式f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x),但要注意求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为 x,然后把 x 转化为-x(另一个已知区间上的解析式中的变量),通过适当推导,求得所求区间上的解析式.2.2.2 函数的奇偶性 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXU
11、E课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 一二三三、奇偶性与单调性的综合应用活动与探究设定义在-2,2上的奇函数 f(x)在区间0,2上是减函数,若f(m)+f(m-1)0,求实数 m 的取值范围.思路分析:欲求 m 的取值范围,应列出关于 m 的不等式(组),要充分利用已知条件及单调性与奇偶性,将抽象不等关系转化为不等式(组).2.2.2 函数的奇偶性 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 一二三解:由 f(m)+f(m-1)0,得 f(m)-f(m-1),f(x)为奇函数,f
12、(1-m)=-f(m-1).f(m)f(1-m).又 f(x)在0,2上为单调减函数,且 f(x)在-2,2上为奇函数,f(x)在-2,2上为单调减函数.-2 1-2,-2 2,1-.即-1 3,-2 2,12.解得-1m12.2.2.2 函数的奇偶性 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 一二三迁移与应用设函数 f(x)在 R 上是偶函数,在区间(-,0)上为增函数,且f(2a2+a+1)0,2a2-2a+3=2-12 2+520,且f(2a2+a+1)2a2-2a+3,即 3a-20,解得 a23.2.2.
13、2 函数的奇偶性 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 一二三(1)涉及奇偶函数的不等式问题,关键是去掉函数符号,将不等式转化为 f(x1)f(x2)或 f(x1)0 时,f(x)=x3+x+1,则当 x0时,f(x)=.答案:-x3-x+1解析:设 x0,所以 f(-x)=-x3-x+1,所以 f(x)=f(-x)=-x3-x+1.2.2.2 函数的奇偶性 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 1 2 3 4 55.已知函数 f(x)=ax2+3a 为偶函数,其定义域是a-1,2a,求 f(x)的最大值、最小值.解:函数 f(x)=ax2+3a 为偶函数,其定义域是a-1,2a,定义区间关于原点对称.a-1=-2a.a=13.f(x)=13x2+1,x-23,23.当 x=0 时,f(x)有最小值 1;当 x=23时,f(x)有最大值3127.