1、2015年云南省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求1（5分）已知集合S=x|3x+a=0，如果1S，那么a的值为（） A 3 B 1 C 1 D 3【考点】： 元素与集合关系的判断【专题】： 集合【分析】： 根据集合S=x|3x+a=0，且1S，知道1满足等式，解此方程即可求得实数a的值【解析】： 解：S=x|3x+a=0，且1S，31+a=0，解得：a=3故选：A【点评】： 此题考查元素与集合之间的关系，以及分式不等式的求解，对题意的正确理解和转化是解决此题的关键，属基础题2（5分）已知i为虚数单位，则复数在复平
2、面上所对应的点在（） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限【考点】： 复数的代数表示法及其几何意义【专题】： 数系的扩充和复数【分析】： 根据复数的几何意义以及复数的基本运算即可得到结论【解析】： 解：=，复数对应的点的坐标为（），位于第四象限，故选：D【点评】： 本题主要考查复数的几何意义以及复数的基本运算，比较基础3（5分）下列函数，是周期函数的为（） A y=sin|x| B y=cos|x| C y=tan|x| D y=（x1）0【考点】： 三角函数的周期性及其求法【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 由条条件根据三角函数的图象特征，三角函数的周期性，可得结论【解
3、析】： 解：根据函数y=sin|x|的图象特征，可得它不是周期函数根据y=cos|x|的图象特征可得它的周期为2，根据函数y=tan|x|的图象特征，可得它不是周期函数根据函数y=（x1）0的图象特征，可得它不是周期函数故选：B【点评】： 本题主要考查三角函数的图象特征，三角函数的周期性，属于基础题4（5分）在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=4，点D在棱BB1上，若BD=3，则AD与平面AA1C1C所成角的正切值为（） A B C D 【考点】： 直线与平面所成的角【专题】： 空间角【分析】： 根据题意画出图形，过B作BFAC，过B1作B1EA1C1，连接EF，过D作DGEF，连接AG，证
4、明DG面AA1C1C，DAG=，解直角三角形ADG即可【解析】： 解：如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=4，点D在棱BB1上，若BD=3，过B作BFAC，过B1作B1EA1C1，连接EF，过D作DGEF，连接AG，在正三棱柱中，有B1E面AA1C1C，BF面AA1C1C，故DG面AA1C1C，DAG=，可求得DG=BF=，AG=，故tan=故选：B【点评】： 考查直线和平面所成的角，关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属中档题5（5分）某公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方
5、法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动，如果选出的人有6位对户外运动持“喜欢”态度，有1位对户外运动持“不喜欢“态度和3位持“一般”态度；那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的有（） A 36 B 30 C 24 D 18【考点】： 分层抽样方法【专题】： 概率与统计【分析】： 设这个公司员工中对户外运动持“不喜欢”态度的人数为x，则持“一般”态度的人数为x+12，由已知条件利用分层抽样性质得公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度的人数分别为6x，x，3x，从而x+12=3x，由此能求出这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的人数【解析】： 解：设这个
6、公司员工中对户外运动持“不喜欢”态度的人数为x，则持“一般”态度的人数为x+12，按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动，选出的人有6位对户外运动持“喜欢”态度，有1位对户外运动持“不喜欢“态度和3位持“一般”态度，公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度的人数分别为6x，x，3x，x+12=3x，解得x=6，这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的有6x=36人故选：A【点评】： 本题考查公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的人数的求法，是基础题，解题时要熟练掌握分层抽样的性质6（5分）若执行如图所示的程序框图，则输出的结果s=（） A 8 B 9
7、 C 10 D 11【考点】： 程序框图【专题】： 图表型；算法和程序框图【分析】： 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，s，a的值，当n=3时，不满足条件n3，输出s的值为9【解析】： 解：模拟执行程序框图，可得a=1，s=0，n=1s=1，a=3满足条件n3，n=2，s=4，a=5满足条件n3，n=3，s=9，a=7不满足条件n3，输出s的值为9故选：B【点评】： 本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的n，s，a的值是解题的关键，属于基本知识的考查7（5分）已知平面向量=（2cos2x，sin2x），=（cos2x，2sin2x），f（x）=，要得到y=sin2x+c
8、os2x的图象，只需要将y=f（x）的图象（） A 向左平行移动个单位 B 向右平行移动个单位 C 向左平行移动个单位 D 向右平行移动个单位【考点】： 函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】： 三角函数的图像与性质【分析】： 由条件利用诱导公式，函数y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基础题【解析】： 解：y=sin2x+cos2x=2sin（2x+）=2sin2（x+），f（x）=2cos4x2sin4x=2（cos2xsin2x）=2cos2x=sin（2x+）=2sin2（x+），=，故把y=f（x）的图象向右平行移动个单位，可得y=2sin2（x+）=2sin2（x+）的图象
9、，故选：D【点评】： 本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基础题8（5分）已知f（x）=x32x2+x+6，则f（x）在点P（1，2）处的切线与坐标轴围成的三角形面积等于（） A 4 B 5 C D 【考点】： 利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】： 导数的综合应用【分析】： 先对函数进行求导，求出在x=1处的导数值即为切线的斜率值，从而写出切线方程，然后求出切线方程与两坐标轴的交点可得三角形面积【解析】： 解：f（x）=x32x2+x+6，f（x）=3x24x+1，f（1）=8，点P（1，2）处的切线为：y=8x+10与坐标轴的交点为：（0，10），（，
10、0）S=10=，故选：C【点评】： 本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点处的导数值等于该点的切线的斜率属中档题9（5分）如图是一个空间几何体的三视图（注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图），其中正视图、侧视图都是由边长为4和6的矩形以及直径等于4的圆组成，俯视图是直径等于4的圆，该几何体的体积是（） A B C D 【考点】： 由三视图求面积、体积【专题】： 计算题【分析】： 由三视图得此几何体的几何特征：上球、下圆柱，并得到球的半径、圆柱的底面半径和高，由体积公式计算出几何体的体积【解析】： 解：由三视图知几何体是一个简单组合体：上球、下圆柱组成，且球的底面半径是2，圆柱的底面半径是2
11、、高是6，所以几何体的体积V=，故选：D【点评】： 本题考查由三视图求体积，解题的关键是熟练掌握三视图的作图规则，由三视图还原出实物图的几何特征及测度10（5分）已知F1、F2是双曲线M：=1的焦点，y=x是双曲线M的一条渐近线，离心率等于的椭圆E与双曲线M的焦点相同，P是椭圆E与双曲线M的一个公共点，设|PF1|PF2|=n，则下列正确的是（） A n=12 B n=24 C n=36 D n12且n24且n36【考点】： 双曲线的简单性质【专题】： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 利用F1、F2是双曲线M：=1的焦点，y=x是双曲线M的一条渐近线，离心率等于的椭圆E与双曲线M
12、的焦点相同，求出椭圆的长轴长，再利用椭圆、双曲线的定义，即可得出结论【解析】： 解：由题意，=，m=，双曲线M：，F1（0，3），F2（0，3），离心率等于的椭圆E与双曲线M的焦点相同，c=3，a=4，b=，P是椭圆E与双曲线M的一个公共点，|PF1|+|PF2|=8，|PF1|PF2|=4，|PF1|PF2|=12，故选：A【点评】： 本题考查椭圆、双曲线的定义，考查学生的计算能力，确定椭圆的长轴长是关键11（5分）在2，0，1，5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为（） A B C D 【考点】： 众数、中位数、平均数【专题】： 概率与统计【分析】：
13、 用列举法求出基本事件数，从而求出对应的概率即可【解析】： 解：数据2，0，1，5中，随机取出三个不同的数，有（2，0，1），（2，0，5），（0，1，5），（2，1，5）共4种，其中数字2是取出的三个不同数的中位数的是（2，0，5），（2，1，5）共2种，对应的概率为P=故选：C【点评】： 本题考查了利用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目12（5分）在数列an中，an0，a1=，如果an+1是1与的等比中项，那么a1+的值是（） A B C D 【考点】： 数列的求和；等比数列【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： 由已知得，an0，利用递推思想求出数列的前3项，由此猜想an=，并用数
14、学归纳法进行证明，得到an=，从而=由此利用裂项求和法能求出a1+的值【解析】： 解：在数列an中，an0，a1=，an+1是1与的等比中项，an0，解得，解得a3=，由此猜想an=，当n=1时，成立，假设n=k时，成立，即，则当n=k+1时，ak+12=，解得ak+1=，即n=k+1时，等式成立，an=，=a1+=（1）+（）+（）+（）=1=故选：C【点评】： 本题考查数列的前100项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递推思想、数学归纳法、裂项求和法的合理运用二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13（5分）已知平面向量与的夹角等于，如果|=2，|=3，那么|23|等于【考点】：
15、平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角【专题】： 计算题；平面向量及应用【分析】： 运用向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，计算即可得到【解析】： 解：由平面向量与的夹角等于，如果|=2，|=3，则=|cos=2=6=3，则|23|=故答案为：【点评】： 本题考查向量的数量积的定义和性质，主要考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题14（5分）已知抛物线C的方程为y2=2px（p0），圆M的方程为x2+y2+8x+12=0，如果该抛物线C的准线与圆M相切，则p的值为12或4【考点】： 抛物线的简单性质；直线与圆相交的性质【专题】： 计算题；圆锥曲线的定义、性质
16、与方程【分析】： 圆x2+y2+8x+12=0转化为（x+4）2+y2=4，根据圆x2+y2+8x+12=0与抛物线y2=2px（p0）的准线相切，可以得到圆心到准线的距离等于半径，从而得到p的值【解析】： 解：圆x2+y2+8x+12=0转化为（x+4）2+y2=4，圆x2+y2+8x+12=0与抛物线y2=2px（p0）的准线相切，抛物线y2=2px（p0）的准线为x=，|4|=2，解得p=12或4故答案为：12或4【点评】： 本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系，理解直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径是关键15（5分）已知ABC的内角A、B、C对的边分别为a，b，c，si
17、nA+sinB=2sinC，b=3，则cosC的最小值等于【考点】： 余弦定理；正弦定理【专题】： 解三角形【分析】： 已知等式利用正弦定理化简，得到关系式，利用余弦定理表示出cosC，把得出关系式整理后代入，利用基本不等式求出cosC的最小值即可【解析】： 解：已知等式利用正弦定理化简得：a+b=2c，两边平方得：（a+b）2=4c2，即a2+2ab+2b2=4c2，4a2+4b24c2=3a2+2b22ab，即a2+b2c2=，cosC=（+2）（22）=（当且仅当=，即a=b时取等号），则cosC的最小值为故答案为：【点评】： 此题考查了正弦、余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理
18、是解本题的关键16（5分）某校今年计划招聘女教师a名，男教师b名，若a，b满足不等式组，设这所学校今年计划招聘教师最多x名，则x=13【考点】： 简单线性规划的应用；简单线性规划【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 由题意由于某所学校计划招聘男教师a名，女教师b名，且a和b须满足约束条件，由不等式组画出可行域，又要求该校招聘的教师人数最多令z=a+b，则题意求解在可行域内使得z取得最大【解析】： 解：由于某所学校计划招聘男教师a名，女教师b名，且a和b须满足约束条件，画出可行域为对于需要求该校招聘的教师人数最多，令z=a+bb=a+z 则题意转化为，在可行域内任意去a，b且为整数使得目标函
19、数代表的斜率为定值1，截距最大时的直线为过（6，7）时使得目标函数取得最大值为：z=13故答案为：13【点评】： 此题考查了线性规划的应用，还考查了学生的数形结合的求解问题的思想三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（12分）已知等比数列an的前n项和是Sn，S18：S9=7：8（）求证：S3，S9，S6依次成等差数列；（）a7与a10的等差中项是否是数列an中的项？，如果是，是an中的第几项？如果不是，请说明理由【考点】： 等差数列的通项公式；等差关系的确定【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： （）易得公比q1，进而可由等比数列的求和公式结合已知可得q的方程，再代入求和公
20、式可得S3，S9，S6的值，验证可得2S9=S3+S6，可得等差数列；（）可得等差中项等于，结合通项公式可得n的方程，解方程可得【解析】： 解：（）证明：设等比数列an的公比为q，若q=1，则S18=18a1，S9=9a1，不满足S18：S9=7：8，故q1；S18=（1q18），S9=（1q9），S18：S9=7：8，1+q9=，解得q3=，S3=（1q3）=，同理可得S9=，S6=，2S9=S3+S6，S3，S9，S6依次成等差数列；（）a7与a10的等差中项等于=，设a7与a10的等差中项是否是数列an中的第n项，则a1（）n1=，化简可得=（2）4，即=4，解得n=13，a7与a10的
21、等差中项是否是数列an中的第13项【点评】： 本题考查等比数列的通项公式和求和公式，涉及分类讨论的思想，属中档题18（12分）某校1200名高三年级学生参加了一次数学测验（满分为100分），为了分析这次数学测验的成绩，从这1200人的数学成绩中随机抽出200人的成绩绘制成如下的统计表，请根据表中提供的信息解决下列问题；（1）求a、b、c的值；（2）如果从这1200名学生中随机取一人，试估计这名学生该次数学测验及格的概率p（注：60分及60分以上为及格）；（3）试估计这次数学测验的年级平均分【考点】： 频率分布表【专题】： 概率与统计【分析】： （1）根据频率和为1，求出b的值，再根据频率、频数
22、与样本容量的关系求出a、c的值；（2）根据题意，计算及格率P的值；（3）计算样本数据的平均值【解析】： 解：（1）根据频率和为1，得；b=1（0.015+0.125+0.5+0.31）=0.05，a=2000.05=10，c=2000.5=100；（2）根据题意，在抽出的200人的数学成绩中，及格的有100+62=162人，及格率为P=0.81；（3）这次数学测验样本的平均分为=73，这次数学测验的年级平均分大约为73分【点评】： 本题考查了频率=的应用问题，也考查了及格率与平均数的计算问题，是基础题目19（12分）如图，在四棱锥CABDE中，F为CD的中点，DB平面ABC，BDAE，BD=2
23、AE（）求证：EF平面ABC；（）若AB=BC=CA=BD=6，求点A到平面ECD的距离【考点】： 点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定【专题】： 综合题；空间位置关系与距离【分析】： （）取BC中点G点，连接AG，FG，由F，G分别为DC，BC中点，知FGBD且FG=BD，又AEBD且AE=BD，故AEFG且AE=FG，由此能够证明EF平面ABC（）取AB的中点O和DE的中点H，分别以OC、OB、OH所在直线为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系，求出面CDE的法向=（，1，2），=（0，0，3），利用向量法能求出点A到平面CDE的距离【解析】： （1）证明：取BC中点G点，连接AG，
24、FG，F，G分别为DC，BC中点，FGBD且FG=BD，又AEBD且AE=BD，AEFG且AE=FG，四边形EFGA为平行四边形，则EFAG，又AG平面ABC，EF平面ABC，EF平面ABC（）解：取AB的中点O和DE的中点H，分别以OC、OB、OH所在直线为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系，则C（3，0，0），D（0，3，6），E（0，3，3），A（0，3，0），=（3，3，6），=（0，6，3）设面CDE的法向量=（x，y，z），则，取=（，1，2）=（0，0，3），则点A到平面CDE的距离d=【点评】： 考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力，同时考查学生灵活利用图形，
25、借助向量工具解决问题的能力，考查数形结合思想是中档题20（12分）已知曲线C的方程为+=4，经过点（1，0）作斜率为k的直线l，l与曲线C交于A、B两点，l与直线x=4交于点D，O是坐标原点（）若，求证：k2=；（）是否存在实数k，使AOB为锐角三角形？若存在，求k的取值范围，若不存在，请说明理由【考点】： 直线与圆锥曲线的关系【专题】： 向量与圆锥曲线【分析】： （）设出A、B的坐标，联立直线l和曲线C的方程得到x1+x2=，x1 x2=，2x2x1=4联合从而证出结论；（）结合（）得到0，从而得到结论【解析】： （）证明：+=42，曲线C是以F1（1，0），F2（1，0）为焦点，4为长轴的
26、椭圆，曲线C的方程为：+=1，即3x2+4y2=12，直线l过（1，0），斜率为k，l方程是：y=kx+k，直线l与直线x=4交于点D，D（4，3k），设A（x1，kx1+k），B（x2，kx2+k），由得：（3+4k2）x2+8k2x+4k212=0，x1+x2=，x1 x2=由+=2得2x2x1=4由焦点：x1=，x2=，把x1，x2 代入化简得：4k4k25=0，解得：k2=或k2=1舍，k2=；（）解：由（1）得：=（x1，kx1+k），=（x2，kx2+k），=x1 x2+（kx1+k）（kx2+k）=（1+k2）x1x2+k2（x1+x2）+k2=0，AOB，不存在实数k，使AOB
27、为锐角三角形【点评】： 本题考查了直线和圆锥曲线的关系，考查韦达定理，向量问题，是一道中档题21（12分）已知函数f（x）=lnx（）求证：f（x）在区间（0，+）上单调递增；（）若fx（3x2），求实数x的取值范围【考点】： 利用导数研究函数的单调性【专题】： 导数的综合应用【分析】： （）求导数即可；（）将写成f（1），再根据（）即可利用函数的单调性求得实数x的取值范围【解析】： （）证明：由已知得f（x）的定义域为（0，+）函数f（x）=lnx，=x0，4x2+3x+10，x（1+2x）20当x0时，f（x）0即f（x）在区间（0，+）上单调递增；（）函数f（x）=lnx，f（1）=ln
28、1=由fx（3x2）可得fx（3x2）f（1）由（）得，解得或故实数x的取值范围为【点评】： 本题考查利用求导的方法判断函数的单调性以及求满足条件的自变量的区间请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分【选修4-1：几何证明选讲】22（10分）如图，圆O是ABC的外接圆，BAC的平分线交BC于点F，D是AF的延长线与O的交点，AC的延线与O的切线DE交于点E（1）求证：=（2）若BD=3，EC=2，CA=6，求BF的值【考点】： 相似三角形的判定；与圆有关的比例线段【专题】： 选作题；立体几何【分析】： （1）连接CD，证明ABDDCE，即可证明：=（2）若BD
29、=3，EC=2，CA=6，求出DE，证明DCEBFD，即可求BF的值【解析】： （1）证明：连接CD，则AD平分BAC，BAD=EAD，=，DE是圆O的切线，CDE=EAD=BADDCE是四边形ABCD的外角，DCE=ABD，ABDDCE，=（2）解：=，BD=3，BD=CD=3，CBD=BCD，DE是圆O的切线，EC=2，CA=6，CDE=CBD，DE2=ECEA=16，DE=4，CDE=BCD，DEBC，E=ACB=ADB，DCEBFD，BF=【点评】： 本题是一道切线的性质运用的解答题，考查了切割线定理，相交弦定理以及相似三角形的判定及性质、平行线的判定综合性较强，难度较大【选4-4：坐
30、标系与参数方程】23已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为=（）求证：曲线C2的直角坐标方程为y24x4=0；（）设M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，求|M1M2|的最小值【考点】： 简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【专题】： 坐标系和参数方程【分析】： （）把=变形，得到=cos+2，结合x=cos，y=sin得答案；（）由消去t得到曲线C1的直角坐标方程为2x+y+4=0，由M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，把|M1M2|的最小值转化为M2到直线2x+y+4=0的距离的最小值设，然后由点到
31、直线的距离公式结合基本不等式求解【解析】： （）证明：=，cos=2，即=cos+22=（x+2）2，即x2+y2=x2+4x+4，化简得：y24x4=0；（）解：，消去t得：2x+y+4=0曲线C1的直角坐标方程为2x+y+4=0M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，|M1M2|的最小值等于M2到直线2x+y+4=0的距离的最小值设，M2到直线2x+y+4=0的距离为d，则|M1M2|的最小值为【点评】： 本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查了参数方程化普通方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础的计算题【选修4-5不等式选讲】24已知a是常数，对任意实数x，不等式|x+1|2x|
32、a|x+1|+|2x|都成立（）求a的值；（）设mn0，求证：2m+2n+a【考点】： 不等式的证明；绝对值不等式的解法【专题】： 综合题；推理和证明；不等式【分析】： （）利用绝对值不等式求最值，即可求a的值；（）作差，利用基本不等式证明结论【解析】： （）解：|x+1|2x|x+1+2x|=3，3=|x+1+2x|x+1|+|2x|对任意实数x，不等式|x+1|2x|a|x+1|+|2x|都成立，a=3；（）证明：2m+2n=（mn）+（mn）+，mn0，（mn）+（mn）+3=3，2m+2n3，即2m+2n+a【点评】： 本题考查不等式的证明，考查绝对值不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题