1、-1-2.3 互斥事件-2-目标导航 知识梳理 典例透析 重难聚焦 随堂演练 1.理解互斥事件和对立事件的定义,能根据定义辨别一些事件是否互斥,是否对立.2.掌握两个互斥事件的概率加法公式及对立事件的概率计算公式的应用.-3-目标导航 知识梳理 典例透析 重难聚焦 随堂演练 1 2 1.互斥事件(1)定义:在一个随机试验中,我们把一次试验下不能同时发生的两个事件 A 与 B 称作互斥事件.(2)规定:事件 A+B 发生是指事件 A 和 B 至少有一个发生.(3)归纳:A,B 互斥是指事件A 与事件 B 在一次试验中不会同时发生.如果事件A 与 B 是互斥事件,那么A 与 B 两个事件同时发生的
2、概率为 0.与集合类比,可用图表示,如图所示.(4)公式:在一个随机试验中,如果随机事件A 和事件 B 是互斥事件,那么有 P(A+B)=P(A)+P(B).-4-目标导航 知识梳理 典例透析 重难聚焦 随堂演练 1 2【做一做1-1】甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是12,乙获胜的概率是13,则乙不输的概率是 .解析:乙不输的概率为12+13=56.答案:56-5-目标导航 知识梳理 典例透析 重难聚焦 随堂演练 1 2【做一做 1-2】判断下列说法是否正确,并说明原因:(1)将一枚均匀的硬币抛掷两次,设事件 A=“两次都出现正面”,事件B=“两次都出现反面”,则事件 A 与 B 是互斥事
3、件;(2)在 10 件产品中有 3件是次品,从中任取 3 件.事件A=“所取 3 件中最多有 2 件是次品”,事件 B:“所取 3 件中至少有 2 件是次品”,则事件A 与 B是互斥事件.解:(1)正确.A和 B是互斥事件.因为这两个事件在一个试验中不会同时发生.(2)不正确.A 和 B 不是互斥事件,因为事件 A 包括三种情况:2 件次品1件正品,1 件次品 2 件正品,3 件正品;事件 B 包含两种情况:2 件次品 1 件正品,3 件次品.从而事件A,B 可以同时发生,故 A 与 B 不是互斥事件.-6-目标导航 知识梳理 典例透析 重难聚焦 随堂演练 1 2 2.对立事件(1)定义:在一
4、个随机试验中,如果两个事件 A 与 B 不能同时发生,并且一定有一个发生,那么事件 A 与 B 称作对立事件,事件A 的对立事件记为A.(2)性质:P(A)+P(A)=1,即 P(A)=1-P(A).(3)归纳:对立事件的特征:在每一次试验中,互为对立的两个事件不会同时发生,且必有一个事件发生.对立事件是一种特殊的互斥事件.特殊有两点:其一,事件个数特殊(只能是两个事件);其二,发生情况特殊(有且只有一个发生),即两个对立事件之和为必然事件.若 A 与 B 是对立事件,则 A 与 B 互斥,且 A+B 为必然事件,故 A+B 发生的概率为 1,即 P(A+B)=P(A)+P(B)=1.从集合的
5、角度来看,事件 A 与 B 互斥,是指事件 A 所含的结果组成的集合与事件 B 所含的结果组成的集合的交集为空集.事件 A 与 B 对立,指事件 B所含的结果组成的集合是全集I中事件A 所含的结果组成的集合的补集,即 AB=,且 AB=I.-7-目标导航 知识梳理 典例透析 重难聚焦 随堂演练 1 2【做一做 2-1】从 1,2,3,9 中任取两数,其中:恰有一个偶数和恰有一个奇数;至少有一个奇数和两个都是奇数;至少有一个奇数和两个都是偶数;至少有一个奇数和至少有一个偶数.在上述事件中,是对立事件的是()A.B.C.D.解析:从 1,2,3,9中任取两数,有以下三种情况:(1)两个数均为奇数;
6、(2)两个数均为偶数;(3)一个奇数和一个偶数.由对立事件的性质知只有为对立事件.答案:C-8-目标导航 知识梳理 典例透析 重难聚焦 随堂演练 1 2【做一做 2-2】若事件 A 与 B 是对立事件,且 P(A)=0.6,则 P(B)等于()A.0.4B.0.5C.0.6D.1解析:P(B)=1-P(A)=0.4.答案:A-9-目标导航 知识梳理 重难聚焦 典例透析 随堂演练 为什么 P(A+B)=P(A)+P(B)不恒成立?剖析:要证明一个等式不恒成立,只需举出一个反例即可.例如:抛掷一粒均匀的骰子,向上的点数是偶数为事件 A,向上的点数是3 的倍数为事件 B,则 A+B 表示向上的点数是
7、偶数或 3 的倍数,则P(A)=12,P(B)=13,P(A)+P(B)=56,P(A+B)=23,所以此时 P(A+B)P(A)+P(B),即P(A+B)=P(A)+P(B)不成立.上例中 P(A+B)=P(A)+P(B)不成立的原因是事件 A 与事件 B不是互斥事件.其实对于任意事件 A与 B,有 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)(不要求证明也不要求会用),那么当且仅当事件 A 与事件 B是互斥事件时,P(AB)=0,此时才有 P(A+B)=P(A)+P(B)成立.-10-目标导航 知识梳理 重难聚焦 典例透析 随堂演练 题型一 题型二 题型三 题型一 与概率有关的计算【例题
8、1】某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示:年降水量(单位:mm)100,150)150,200)200,250)250,300)概率 0.12 0.25 0.16 0.14(1)求年降水量在100,200)(mm)范围内的概率;(2)求年降水量在150,300)(mm)范围内的概率.分析:先将复杂事件进行分解,分成 n个互斥事件的和,再应用公式求解.解:记这个地区的年降水量在100,150),150,200),200,250),250,300)(mm)范围内分别为事件 A,B,C,D.这 4 个事件彼此互斥,根据互斥事件的概率加法公式:(1)年降水量在100,200)(mm)范围内的概
9、率是P(A+B)=P(A)+P(B)=0.12+0.25=0.37.(2)年降水量在150,300)(mm)范围内的概率是P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.25+0.16+0.14=0.55.-11-目标导航 知识梳理 重难聚焦 典例透析 随堂演练 题型一 题型二 题型三 反思(1)若一个事件比较复杂时,可转化为几个互斥事件的和来求解.(2)公式 P(A+B)=P(A)+P(B)的使用条件是事件 A,B 互斥,否则不成立.-12-目标导航 知识梳理 重难聚焦 典例透析 随堂演练 题型一 题型二 题型三【变式训练 1】某人去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为 0.3
10、,0.2,0.1,0.4.(1)求他乘火车或乘飞机去的概率;(2)求他不乘轮船去的概率;(3)请问他可能乘何种交通工具去的概率为0.5?解:(1)记“他乘火车去”为事件 A1,“他乘轮船去”为事件 A2,“他乘汽车去”为事件 A3,“他乘飞机去”为事件 A4,这四个事件不可能同时发生,故它们彼此互斥.所以 P(A1+A4)=P(A1)+P(A4)=0.3+0.4=0.7.所以他乘火车或乘飞机去的概率为 0.7.(2)设他不乘轮船去的概率为P,则P=1-P(A2)=1-0.2=0.8.(3)由于 0.3+0.2=0.5,0.1+0.4=0.5,故他有可能乘火车或乘轮船去,也有可能乘汽车或乘飞机去
11、.-13-目标导航 知识梳理 重难聚焦 典例透析 随堂演练 题型一 题型二 题型三 题型二 互斥事件、对立事件的综合应用【例题 2】一盒中装有各色球 12 个,其中 5 个红球、4 个黑球、2 个白球、1 个绿球.从中随机取出 1 个球,求:(1)取出的球是红球或黑球的概率;(2)取出的球是红球或黑球或白球的概率.解法一:(1)从 12个球中任取 1个球是红球有 5种取法,是黑球有 4种取法,是红球或黑球共有 5+4=9种不同取法,任取 1个球有 12种取法.故任取 1个球是红球或黑球的概率为 912=34.(2)从 12个球中任取 1个球是红球有 5种取法,是黑球有 4种取法,是白球有 2
12、种取法.从而取出的球是红球或黑球或白球的概率为5+4+212=1112.-14-目标导航 知识梳理 重难聚焦 典例透析 随堂演练 题型一 题型二 题型三 解法二:(利用互斥事件求概率)记事件 A1=任取 1个球是红球;A2=任取 1 个球是黑球;A3=任取 1 个球是白球;A4=任取 1 个球是绿球,则P(A1)=512,P(A2)=412,P(A3)=212,P(A4)=112.根据题意知,事件 A1,A2,A3,A4 彼此互斥,由互斥事件概率公式得(1)取出 1 个球是红球或黑球的概率为P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=512+412=34.(2)取出 1 个球是红球或黑球或白球的
13、概率为P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=512+412+212=1112.解法三:(利用对立事件求概率)(1)由解法二知,取出 1 个球是红球或黑球的对立事件为取出 1 个球是白球或绿球,即 A1+A2 的对立事件为 A3+A4.所以取得红球或黑球的概率为P(A1+A2)=1-P(A3+A4)=1-P(A3)-P(A4)=1-212 112=912=34.(2)A1+A2+A3 的对立事件为 A4,所以 P(A1+A2+A3)=1-P(A4)=1-112=1112.-15-目标导航 知识梳理 重难聚焦 典例透析 随堂演练 题型一 题型二 题型三 反思(1)解决此类问题
14、,首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出事件是不是互斥事件和对立事件,再决定使用哪一个公式,不要由于乱套公式而导致出错.(2)要注意分类讨论和等价转化思想的运用.-16-目标导航 知识梳理 重难聚焦 典例透析 随堂演练 题型一 题型二 题型三【变式训练 2】在数学考试中,假设考试成绩为整数,小明的成绩在 90分及以上的概率是 0.18,在 80 分(含 80 分)89 分(含 89 分)的概率是 0.51,在 70分(含 70分)79分(含 79分)的概率是 0.15,在 60分(含 60分)69分(含69 分)的概率是 0.09,在 60 分以下的概率是 0.07,计算:(1)小明在数学考
15、试中取得 80 分及以上成绩的概率;(2)小明考试及格的概率.解:记小明的成绩“在 90 分及以上”“在 80 分(含 80 分)89 分(含 89分)”“在 70分(含 70分)79分(含 79分)”“在 60分(含 60分)69分(含 69分)”为事件 B,C,D,E,这四个事件彼此互斥.(1)小明成绩在 80 分及以上的概率是P(B+C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69.(2)方法一:小明考试及格的概率是P(B+C+D+E)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.方法二:小明不及格的概率为 0.07,则小明及格的概率为
16、 1-0.07=0.93.-17-目标导航 知识梳理 重难聚焦 典例透析 随堂演练 题型一 题型二 题型三 题型三 易错辨析 易错点:忽视 P(A+B)=P(A)+P(B)的适用范围致误【例题 3】抛掷一个质地均匀的正方体玩具(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6),事件 A 表示“朝上一面的数是奇数”,事件 B 表示“朝上一面的数不超过 3”,求 P(A+B).错解:因为 P(A)=36=12,P(B)=36=12,所以 P(A+B)=P(A)+P(B)=12+12=1.错因分析:错误的原因在于忽视了互斥事件的概率加法公式应用的前提条件.由于“朝上一面的数是奇数”与“朝上一面的数不超过 3
17、”二者不是互斥事件,即出现 1 或 3 时,事件 A,B 同时发生,所以不能应用P(A+B)=P(A)+P(B)求解.正解:将 A+B 分成出现“1,2,3”与“5”这两个事件,记出现“1,2,3”为事件C,出现“5”为事件 D,则事件 C 与 D 互斥,所以 P(A+B)=P(C+D)=P(C)+P(D)=36+16=23.-18-目标导航 知识梳理 典例透析 重难聚焦 随堂演练 1 2 3 4 5 61 从一批产品中取出三件,设 A 表示“三件产品全不是次品”,B 表示“三件产品全是次品”,C 表示“三件产品不全是次品”,则下列结论正确的是()A.A 与 C 互斥B.B 与 C 互斥C.任
18、两个均互斥D.任两个均不互斥答案:B-19-目标导航 知识梳理 典例透析 重难聚焦 随堂演练 1 2 3 4 5 62 某产品分一、二、三级,其中只有一级是正品,若生产中出现二级品的概率是 0.03,出现三级品的概率是 0.01,则出现正品的概率为()A.0.99B.0.98C.0.97D.0.96答案:D-20-目标导航 知识梳理 典例透析 重难聚焦 随堂演练 1 2 3 4 5 63 某人在打靶时,连续射击 2 次,事件“至少有 1 次中靶”的互斥事件是()A.至多有 1 次中靶 B.2 次都中靶C.2 次都不中靶D.只有 1 次中靶解析:由于“至少有 1次中靶”与“2次都不中靶”不能同时
19、发生,因而是互斥事件.答案:C-21-目标导航 知识梳理 典例透析 重难聚焦 随堂演练 1 2 3 4 5 64 抛掷一粒均匀的正方体骰子,记 A 为事件“落地时向上的点数是奇数”,B 为事件“落地时向上的点数是偶数”,C 为事件“落地时向上的点数是 3的倍数”.其中的互斥事件是 ,对立事件是 .答案:A 与 B A 与 B-22-目标导航 知识梳理 典例透析 重难聚焦 随堂演练 1 2 3 4 5 652014 年 10 月 1 日某购物中心举行“庆国庆回报顾客”的超低价购物有礼活动,某人对购物中心交款处排队等候付款的人数及其概率统计如下:排队人数 0 20 30 40 50 50 人以上
20、概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 求:(1)至多 30 人排队的概率;(2)至少 30 人排队的概率.解:(1)记“没有人排队”为事件 A,“20 人排队”为事件 B,“30 人排队”为事件C.A,B,C 三个事件彼此互斥.所以至多 30 人排队的概率为P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)记“至少 30 人排队”为事件 D,由(1)知事件 D 与事件 A+B 是对立事件,则至少 30 人排队的概率为P(D)=1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)=1-0.1-0.16=0.74.-23-目标导航 知识梳理 典例透析
21、 重难聚焦 随堂演练 6 某人在如图所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量 Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数 X 之间的关系如下表所示:X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米.(1)完成下表,并求所种作物的平均年收获量;Y 51 48 45 42 频数 4 (2)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为 48 kg 的概率.1 2 3 4 5 6-24-目标导航 知识梳理 典例透析 重难聚焦 随堂演
22、练 1 2 3 4 5 6解:(1)所种作物的总株数为 1+2+3+4+5=15,其中“相近”作物株数为 1的作物有 2株,“相近”作物株数为 2的作物有 4株,“相近”作物株数为 3的作物有 6株,“相近”作物株数为 4 的作物有 3 株.列表如下:Y 51 48 45 42 频数 2 4 6 3 所种作物的平均年收获量为512+484+456+42315=102+192+270+12615=69015=46.(2)由(1)知,P(Y=51)=215,P(Y=48)=415.故在所种作物中随机选取一株,它的年收获量至少为 48kg 的概率为P(Y48)=P(Y=51)+P(Y=48)=215+415=25.
