1、第一章 3一、选择题1命题“关于x的方程axb(a0)的解是唯一的”的结论的否定是()A无解B两解C至少有两解D无解或至少有两解答案D2设a、b、cR，Pabc，Qbca，Rcab，则“PQR0”是P、Q、R同时大于零的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件答案C解析若P0，Q0，R0，则必有PQR0；反之，若PQR0，也必有P0，Q0，R0.因为当PQR0时，若P、Q、R不同时大于零，则P、Q、R中必有两个负数，一个正数，不妨设P0，Q0，即abc，bca，两式相加得b0，Q0，R0.3若x，y0且xy2，则或的值满足()A.和中至少有一个大于B.和都小于C
2、.和都大于D不确定答案A解析利用反证法解决假设，x0，y0，则1y2x,1x2y2xy2x2yxy2，这与xy2矛盾二、填空题4用反证法证明命题“若p1p22(q1q2)，则关于x的方程x2p1xq10与x2p2xq20中，至少有一个方程有实数根”时，应假设为_答案两个方程都没有实数根5设实数a、b、c满足abc1，则a、b、c中至少有一个不小于_答案解析假设a、b、c都小于，则abc1，与已知条件矛盾a、b、c中至少有一个不小于.三、解答题6求证：一个三角形中至少有一个内角不小于60.解析已知A、B、C为ABC的三个内角求证：A、B、C中至少有一个不小于60.证明：假设ABC的三个内角A、B
3、、C都小于60，即A60，B60，C60，三式相加得ABC180.这与三角形内角和定理矛盾，A、B、C都小于60的假设不能成立一个三角形中，至少有一个内角不小于60.一、选择题1“自然数a、b、c中恰有一个偶数”的否定为()A自然数a、b、c都是奇数B自然数a、b、c都是偶数C自然数a、b、c中至少有两个偶数D自然数a、b、c都是奇数或至少有两个偶数答案D解析恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数，其二是至少有两个偶数2若a、b、c不全为零，必须且只需()Aabc0Ba、b、c中至少有一个为0Ca、b、c中只有一个是0Da、b、c中至少有一个不为0答案D解析a、b、c不全为零，即a、b、c
4、中至少有一个不为0.3(2014山东理，4)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()A方程x3axb0没有实根B方程x3axb0至多有一个实根C方程x3axb0至多有两个实根D方程x3axb0恰好有两个实根答案A解析至少有一个实根的否定为：没有实根反证法的假设为原命题的否定4设a、b、c为一个三角形的三边，S(abc)，若S22ab，试证S2aCS2aDS2a答案C解析对“”的否定应为“”，故选C.5如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值，则()AA1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形BA1B1C1和A2B2C
5、2都是钝角三角形CA1B1C1是钝角三角形，A2B2C2是锐角三角形DA1B1C1是锐角三角形，A2B2C2是钝角三角形答案D解析由条件知，A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则A1B1C1是锐角三角形，假设A2B2C2是锐角三角形由得那么，A2B2C2，这与三角形内角和为180相矛盾所以假设不成立，所以A2B2C2是钝角三角形二、填空题6“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是_答案存在一个三角形，其外角最多有一个钝角7某同学准备用反证法证明如下问题：函数f(x)在0,1上有意义，且f(0)f(1)，如果对于不同的x1，x20,1，都有|f(x1)f(x2)|x1x2|，求证|f(
6、x1)f(x2)|.那么其反设应该是_答案如果对于不同的x1，x20,1，都有|f(x1)f(x2)|0.将p两边平方，得ap2b2p，所以.因为a、b、p均为有理数，所以必为有理数，这与已知条件矛盾，故假设错误所以必为无理数点评数学中的有些命题，所给条件不足以从正面证明结论正确，可采用反证法，否定结论，由此推出与已知或假设矛盾，证得结论10已知x、y、zR，xyz1，x2y2z2，求证：x、y、z0，分析本题中的条件比较复杂，而结论比较简单，不太容易入手证明，可用反证法证明解析假设x、y、z中有负数，不妨设x0，则yz1x，y2z2，x2y2z2x2x2x2xx(x).x0，x0.x(x)，矛盾x，y，z中没有负数假设x，y，z中有一个大于，不妨设x.则x2y2z2x2x2x2xx(x).x，x0.x(x)0.x(x)，矛盾x，y，z中没有大于的综上，x，y，z0，点评像这样若直接从条件推证，解题方向不明确，过程不可推测，不易证明的题目，应考虑用反证法证明