1、第 30 练 与抛物线有关的热点问题题型分析高考展望 抛物线是三种圆锥曲线之一，应用广泛，是高考的重点考查对象，抛物线方程、几何性质、直线与抛物线结合的问题都是高考热点考查形式有选择题、填空题也有解答题，小题难度一般为低中档层次，解答题难度为中档偏上体验高考1(2015四川)设直线 l 与抛物线 y24x 相交于 A，B 两点，与圆(x5)2y2r2(r0)相切于点 M，且 M 为线段 AB 的中点，若这样的直线 l 恰有 4 条，则 r 的取值范围是()A(1,3)B(1,4)C(2,3)D(2,4)答案 D解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则y214x1，y2
2、24x2，相减得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，当直线 l 的斜率不存在时，符合条件的直线 l 必有两条；当直线 l 的斜率 k 存在时，如图 x1x2，则有y1y22y1y2x1x22，即 y0k2，由 CMAB 得，ky00 x051，y0k5x0,25x0，x03，即 M 必在直线 x3 上，将 x3代入 y24x，得 y212，2 3y02 3，点 M 在圆上，(x05)2y20r2，r2y20412416，又 y2044，4r216，2r4.故选 D.2(2015浙江)如图，设抛物线 y24x 的焦点为 F，不经过焦点的直线上有三个不同的点 A，B，C，其中点 A，B 在抛物
3、线上，点 C 在 y 轴上，则BCF 与ACF 的面积之比是()A.|BF|1|AF|1B.|BF|21|AF|21C.|BF|1|AF|1D.|BF|21|AF|21答案 A解析 由图形可知，BCF 与ACF 有公共的顶点 F，且 A，B，C 三点共线，易知BCF 与ACF 的面积之比就等于|BC|AC|.由抛物线方程知焦点 F(1，0)，作准线 l，则 l 的方程为 x1.点 A，B 在抛物线上，过 A，B 分别作 AK，BH 与准线垂直，垂足分别为点 K，H，且与 y 轴分别交于点 N，M.由抛物线定义，得|BM|BF|1，|AN|AF|1.在CAN中，BMAN，|BC|AC|BM|AN
4、|BF|1|AF|1.3(2016四川)设 O 为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线 y22px(p0)上任意一点，M 是线段 PF 上的点，且|PM|2|MF|，则直线 OM 的斜率的最大值为()A.33B.23C.22D1答案 C解析 如图，由题意可知 Fp2，0，设 P 点坐标为y202p，y0，显然，当 y00 时，kOM0 时，kOM0，要求 kOM 的最大值，不妨设 y00.则OM OF FM OF 13FPOF 13(OP OF)13OP 23OF y206pp3，y03，kOMy03y206pp32y0p2py0 22 2 22，当且仅当 y202p2 时等号成立故选 C.
5、4(2016课标全国乙)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E两点已知|AB|4 2，|DE|2 5，则 C 的焦点到准线的距离为()A2 B4C6 D8答案 B解析 不妨设抛物线 C：y22px(p0)，则圆的方程可设为 x2y2r2(r0)，如图，又可设 A(x0,2 2)，Dp2，5，点 A(x0,2 2)在抛物线 y22px 上，82px0，点 A(x0,2 2)在圆 x2y2r2 上，x208r2，点 Dp2，5 在圆 x2y2r2 上，p225r2，联立，解得 p4，即 C 的焦点到准线的距离为 p4，故选 B.5(2015上海)抛物线 y
6、22px(p0)上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1，则 p_.答案 2解析 根据抛物线的性质，我们知道当且仅当动点 Q 运动到原点的时候，才与抛物线焦点的距离最小，所以有|PQ|minp21p2.高考必会题型题型一 抛物线的定义及其应用例 1 已知 P 为抛物线 y26x 上一点，点 P 到直线 l：3x4y260 的距离为 d1.(1)求 d1 的最小值，并求此时点 P 的坐标；(2)若点 P 到抛物线的准线的距离为 d2，求 d1d2 的最小值解(1)设 P(y206，y0)，则 d1|12y204y026|5 110|(y04)236|，当 y04 时，(d1)min185，此时
7、x0y20683，当 P 点坐标为(83，4)时，(d1)min185.(2)设抛物线的焦点为 F，则 F(32，0)，且 d2|PF|，d1d2d1|PF|，它的最小值为点 F 到直线 l 的距离|9226|56110，(d1d2)min6110.点评 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径变式训练 1(1)(2016浙江)若抛物线 y24x 上的点 M 到焦点的距离为 10，则点 M 到 y 轴的距离是_(2)已知点 P 在抛物线 y2
8、4x 上，那么点 P 到 Q(2,1)的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 P 的坐标为()A(14，1)B(14，1)C(1,2)D(1，2)答案(1)9(2)B解析(1)抛物线 y24x 的焦点 F(1,0)准线为 x1，由 M 到焦点的距离为 10，可知 M 到准线 x1 的距离也为 10，故 M 的横坐标满足 xM110，解得 xM9，所以点 M 到 y 轴的距离为 9.(2)抛物线 y24x 焦点为 F(1,0)，准线为 x1，作 PQ 垂直于准线，垂足为 M，根据抛物线定义，|PQ|PF|PQ|PM|，根据三角形两边之和大于第三边，直角三角形斜边大于直角边知：|PQ
9、|PM|的最小值是点 Q 到抛物线准线 x1 的距离所以点 P 纵坐标为1，则横坐标为14，即(14，1)题型二 抛物线的标准方程及几何性质例 2(2015福建)已知点 F 为抛物线 E：y22px(p0)的焦点，点 A(2，m)在抛物线 E 上，且|AF|3.(1)求抛物线 E 的方程；(2)已知点 G(1,0)，延长 AF 交抛物线 E 于点 B，证明：以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆，必与直线 GB 相切方法一(1)解 由抛物线的定义得|AF|2p2.因为|AF|3，即 2p23，解得 p2，所以抛物线 E 的方程为 y24x.(2)证明 因为点 A(2，m)在抛物线 E：y24
10、x 上，所以 m2 2，由抛物线的对称性，不妨设 A(2,2 2)由 A(2,2 2)，F(1,0)可得直线 AF 的方程为 y2 2(x1)由y2 2x1，y24x，得 2x25x20，解得 x2 或 x12，从而 B12，2.又 G(1,0)，所以 kGA 2 20212 23，kGB 201212 23.所以 kGAkGB0，从而AGFBGF，这表明点 F 到直线 GA，GB 的距离相等，故以 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆必与直线 GB 相切方法二(1)解 同方法一(2)证明 设以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆的半径为 r.因为点 A(2，m)在抛物线 E：y24x 上，所
11、以 m2 2，由抛物线的对称性，不妨设 A(2,2 2)由 A(2,2 2)，F(1,0)可得直线 AF 的方程为y2 2(x1)由y2 2x1，y24x，得 2x25x20.解得 x2 或 x12，从而 B12，2.又 G(1,0)，故直线 GA 的方程为 2 2x3y2 20.从而 r|2 22 2|894 217.又直线 GB 的方程为 2 2x3y2 20.所以点 F 到直线 GB 的距离d|2 22 2|894 217r.这表明以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆必与直线 GB 相切点评(1)由抛物线的标准方程，可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及 p 的值，再进一步确定抛
12、物线的焦点坐标和准线方程(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数 p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程变式训练 2 已知抛物线 C 的顶点在坐标原点 O，其图象关于 y 轴对称且经过点 M(2,1)(1)求抛物线 C 的方程；(2)若一个等边三角形的一个顶点位于坐标原点，另两个顶点在抛物线上，求该等边三角形的面积；(3)过点 M 作抛物线 C 的两条弦 MA，MB，设 MA，MB 所在直线的斜率分别为 k1，k2，当 k1k22 时，试证明直线 AB 的斜率为定值，并求出该定值解(1)设抛物线 C
13、 的方程为 x22py(p0)，由点 M(2,1)在抛物线 C 上，得 42p，则 p2，抛物线 C 的方程为 x24y.(2)设该等边三角形 OPQ 的顶点 P，Q 在抛物线上，且 P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，则 x2P4yP，x2Q4yQ，由|OP|OQ|，得 x2Py2Px2Qy2Q，即(yPyQ)(yPyQ4)0.又 yP0，yQ0，则 yPyQ，|xP|xQ|，即线段 PQ 关于 y 轴对称POy30，yP 3xP，代入 x2P4yP，得 xP4 3，该等边三角形边长为 8 3，SPOQ48 3.(3)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x214y1，x224y2，k
14、1k2y11x12y21x2214x211x12 14x221x2214(x12x22)2.x1x212，kABy2y1x2x114x2214x21x2x114(x1x2)3.题型三 直线和抛物线的位置关系例 3 已知抛物线 C：ymx2(m0)，焦点为 F，直线 2xy20 交抛物线 C 于 A，B 两点，P 是线段 AB 的中点，过 P 作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 Q.(1)求抛物线 C 的焦点坐标；(2)若抛物线 C 上有一点 R(xR,2)到焦点 F 的距离为 3，求此时 m 的值；(3)是否存在实数 m，使ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出 m 的值；若不
15、存在，说明理由解(1)抛物线 C：x21my，它的焦点 F(0，14m)(2)|RF|yR 14m，2 14m3，得 m14.(3)存在，联立方程ymx2，2xy20，消去 y 得 mx22x20，依题意，有(2)24m(2)0m12.设 A(x1，mx21)，B(x2，mx22)，则x1x22m，x1x22m，(*)P 是线段 AB 的中点，P(x1x22，mx21mx222)，即 P(1m，yP)，Q(1m，1m)得QA(x11m，mx211m)，QB(x21m，mx221m)，若存在实数 m，使ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形，则QA QB 0，即(x11m)(x21m)(mx2
16、11m)(mx221m)0，结合(*)化简得 4m26m40，即 2m23m20，m2 或 m12，而 2(12，)，12(12，)存在实数 m2，使ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形点评(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解变式训练 3(20
17、15课标全国)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C：yx24与直线 l：ykxa(a0)交于 M，N 两点，(1)当 k0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有OPMOPN？说明理由解(1)由题设可得 M(2 a，a)，N(2 a，a)，或 M(2 a，a)，N(2 a，a)又 yx2，故 yx24在 x2 a处的导数值为 a，C 在点(2 a，a)处的切线方程为 ya a(x2 a)，即 axya0.yx24在 x2 a处的导数值为 a，C 在点(2 a，a)处的切线方程为 ya a(x2 a)，即 axya0.故所求切线方程为
18、 axya0 和 axya0.(2)存在符合题意的点，证明如下：设 P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线 PM，PN 的斜率分别为 k1，k2.将 ykxa 代入 C 的方程得 x24kx4a0.故 x1x24k，x1x24a.从而 k1k2y1bx1 y2bx22kx1x2abx1x2x1x2kaba.当 ba 时，有 k1k20，则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补，故OPMOPN，所以点 P(0，a)符合题意高考题型精练1如图所示，过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、B，交其准线 l于点 C，若|BC|2|BF
19、|，且|AF|3，则此抛物线的方程为()Ay29xBy26xCy23xDy2 3x答案 C解析 如图，分别过点 A，B 作准线的垂线，分别交准线于点 E，D，设|BF|a，则由已知得：|BC|2a，由定义得：|BD|a，故BCD30.在直角三角形 ACE 中，|AF|3，|AE|3，|AC|33a，2|AE|AC|，33a6，从而得 a1，BDFG，1p23，求得 p32，因此抛物线方程为 y23x，故选 C.2已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点 O，并且经过点 M(2，y0)若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3，则|OM|等于()A2 2B2 3C4 D2 5答案 B解析 设抛物
20、线方程为 y22px，则点 M(2，2 p)焦点p2，0，点 M 到该抛物线焦点的距离为 3，2p224p9，解得 p2(负值舍去)，故 M(2，2 2)|OM|482 3.3已知抛物线 C：y2x 的焦点为 F，A(x0，y0)是 C 上一点，|AF|54x0，则 x0 等于()A1 B2C4 D8答案 A解析 由题意知抛物线的准线为 x14.因为|AF|54x0，根据抛物线的定义可得 x014|AF|54x0，解得 x01.4已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，点 M(2,2)，过点 F 且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B两点，若AMB90，则 k 等于()A.2B.22C.12
21、D2答案 D解析 抛物线 C：y28x 的焦点为 F(2,0)，由题意可知直线 AB 的斜率一定存在，所以设直线方程为 yk(x2)，代入抛物线方程可得k2x2(4k28)x4k20，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x248k2，x1x24，所以 y1y28k，y1y216，因为AMB90，所以MA MB(x12，y12)(x22，y22)16k216k 40，解得 k2，故选 D.5已知点 A(2,3)在抛物线 C：y22px 的准线上，过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B，记 C 的焦点为 F，则直线 BF 的斜率为()A.12B.23C.34D.43答案 D解析
22、 抛物线 y22px 的准线为直线 xp2，而点 A(2,3)在准线上，所以p22，即 p4，从而 C：y28x，焦点为 F(2,0)设切线方程为 y3k(x2)，代入 y28x 得k8y2y2k30(k0)，由于 14k8(2k3)0，所以 k2 或 k12.因为切点在第一象限，所以 k12.将 k12代入中，得 y8，再代入 y28x 中得 x8，所以点 B 的坐标为(8,8)，所以直线 BF 的斜率为8643.6已知 A(x1，y1)是抛物线 y28x 的一个动点，B(x2，y2)是圆(x2)2y216 上的一个动点，定点 N(2,0)，若 ABx 轴，且 x10)和 E2：y22p2x
23、(p20)，过原点 O 的两条直线 l1和 l2，l1 与 E1，E2 分别交于 A1，A2 两点，l2 与 E1，E2 分别交于 B1，B2 两点(1)证明：A1B1A2B2；(2)过 O 作直线 l(异于 l1，l2)与 E1，E2 分别交于 C1，C2 两点记A1B1C1 与A2B2C2 的面积分别为 S1 与 S2，求S1S2的值(1)证明 设直线 l1，l2 的方程分别为 yk1x，yk2x(k1，k20)，由yk1x，y22p1x，得 A12p1k21，2p1k1，由yk1x，y22p2x，得 A22p2k21，2p2k1.同理可得 B12p1k22，2p1k2，B22p2k22，
24、2p2k2.所以A1B1 2p1k22 2p1k21，2p1k2 2p1k12p11k221k21，1k21k1.A2B2(2p2k22 2p2k21，2p2k2 2p2k1)2p2(1k221k21，1k21k1)故A1B1 p1p2A2B2，所以 A1B1A2B2.(2)解 由(1)知 A1B1A2B2，同理可得 B1C1B2C2，C1A1C2A2，所以A1B1C1A2B2C2.因此S1S2|A1B1|A2B2|2.又由(1)中的A1B1 p1p2A2B2 知|A1B1|A2B2|p1p2，故S1S2p21p22.12已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，A(x1，y1)，B(x2，
25、y2)是过 F 的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2p2，x1x2p24；(2)1|AF|1|BF|为定值；(3)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证明(1)由已知得抛物线焦点坐标为(p2，0)由题意可设直线方程为 xmyp2，代入 y22px，得 y22pmyp2，即 y22pmyp20.(*)则 y1，y2 是方程(*)的两个实数根，所以 y1y2p2.因为 y212px1，y222px2，所以 y21y224p2x1x2，所以 x1x2y21y224p2 p44p2p24.(2)1|AF|1|BF|1x1p21x2p2x1x2px1x2p2x1x2p24.因为 x1x2p24，x1x2|AB|p，代入上式，得 1|AF|1|BF|AB|p24 p2|AB|pp242p(定值)(3)设 AB 的中点为 M(x0，y0)，分别过 A，B 作准线的垂线，垂足为 C，D，过 M 作准线的垂线，垂足为 N，则|MN|12(|AC|BD|)12(|AF|BF|)12|AB|.所以以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切
Copyright@ 2020-2024 m.ketangku.com网站版权所有