1、第二章2.4第3课时一、选择题1直线ykx2交抛物线y28x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k()A2或2 B1C2 D3答案C解析由得k2x24(k2)x40，则4，即k2.2抛物线yx2的焦点关于直线xy10的对称点的坐标是()A(2，1)B(1，1)C(，) D(，)答案A解析yx2x24y，焦点为(0,1)，其关于xy10的对称点为(2，1)3过抛物线y24x的焦点的直线交抛物线于A、B两点O为坐标原点，则的值是()A12 B12C3 D3答案D解析设A(，y1)，B(，y2)，则(，y1)，(，y2)，则(，y1)(，y2)y1y2，又AB过焦点，则有y1y2p24，y1y2
2、43，故选D.4过抛物线y24x的焦点，作一条直线与抛物线交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A有且仅有一条 B有且仅有两条C有无穷多条 D不存在答案B解析由定义|AB|527，|AB|min4，这样的直线有两条5已知AB是过抛物线2x2y的焦点的弦，若|AB|4，则AB的中点的纵坐标是()A1 B2C. D答案D解析如图所示，设AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线l的垂线，垂足分别为A，Q，B，由题意得|AA|BB|AB|4，|PQ|2，又|PQ|y0，y02，y0.6设F为抛物线y24x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若0，则|等于()A9 B6
3、 C4 D3答案B解析设A、B、C三点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)由题意知F(1,0)，因为0，所以x1x2x33.根据抛物线定义，有|x11x21x31336.故选B. 二、填空题7已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2 m时，量得水面宽8 m，当水面升高1米后，水面宽度是_m.答案4解析设抛物线拱桥的方程为x22py，当顶点距水面2 m时，量得水面宽8 m，即抛物线过点(4，2)代入方程得164p，p4，则抛物线方程是x28y，水面升高1 m时，即y1时，x2.则水面宽为4m.8(2014吉林省吉林市二模)已知点F为抛物线y28x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一
4、动点，A在抛物线上，且|AF|4，则|PA|PO|的最小值是_答案2解析由|AF|4及抛物线定义得A到准线的距离为4.A点横坐标为2，A(2,4). 又原点关于准线的对称点的坐标为B(4,0)，所以|PA|PO|的最小值为：|AB|2.三、解答题9设抛物线y22px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上且BCx轴，证明直线AC经过原点O.解析因为抛物线y22px(p0)的焦点为F(，0)，所以经过点F的直线AB的方程设为：xmy代入抛物线方程得：y22pmyp20若记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1、y2是该方程的两个根，所以y1y2p2因为BC
5、x轴，且点C在准线x上，所以点C的坐标为(，y2)，故直线CO的斜率为：k，即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点10已知抛物线y2x与直线yk(x1)相交于A，B两点(1)求证：OAOB；(2)当OAB的面积等于时，求k的值解析(1)如图所示，由消去x得，ky2yk0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得y1y21，y1y2.A，B在抛物线y2x上，yx1，yx2，yyx1x2.kOAkOB1，OAOB.(2)设直线与x轴交于点N，显然k0.令y0，得x1，即N(1,0)SOABSOANSOBN|ON|y1|ON|y2|ON|y1y2|，SOAB1.SOAB，解得k
6、.一、选择题11设双曲线1(a0，b0)的渐近线与抛物线yx21相切，则该双曲线的离心率等于()A.B2CD答案C解析双曲线的渐近线方程为yx.渐近线与yx21相切，x2x10有两相等根，40，b24a2，e.12(2014长春市期末调研)抛物线y29x与直线2x3y80交于A，B两点，则线段AB中点的坐标为()A(，) B(，)C(，) D(，)答案B解析由2x3y80得，xy4，代入y29x中得y2y360，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为(x0，y0)，则y0，x0(y14y24)(y1y2)4y04，故选B.13已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A
7、、B两点，F为C的焦点若|FA|2|FB|，则k()A. BC. D答案D解析设A、B两点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，由消去y得，k2x24x(k22)4k20，x1x2，x1x24.由抛物线定义得|AF|x12，|BF|x22，又|AF|2|BF|，x122x24，x12x22代入x1x24，得xx220，x21或2(舍去)，x14，5，k2，k0，k.二、填空题14已知F是抛物线y24x的焦点，M是这条抛物线上的一个动点，P(3,1)是一个定点，则|MP|MF|的最小值是_答案4解析过P作垂直于准线的直线，垂足为N，交抛物线于M，则|MP|MF|MP|MN|PN|4为所求最小
8、值15在已知抛物线yx2上存在两个不同的点M、N关于直线ykx对称，则k的取值范围为_答案k或k()2k2，k或k0)过点A(1，2)(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解析(1)将(1，2)代入y22px，得(2)22p1，p2.故所求的抛物线C的方程为y24x，其准线方程为x1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y2xt由消去x得y22y2t0.因为直线l与抛物线C有公共点，所以48t0，解得t.另一方面，由直线OA与l的距离d，可得，解得t1.综上知：t1.所以符合题意的直线l存在，其方程为2xy10.