1、兖州区第一中学2020-2021学年高二上学期12月月考数学试卷2020.12一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1已知等差数列的公差为3，若成等比数列，则（ ）A B C D2已知为等比数列，是方程的两实根，则等于（ ）A3 B C4 D3如图，M是三棱锥的底面的重心，若，则的值为（ ）A B C D14我国古代的天文学和数学著作周碑算经中记载：一年有二十四个节气，每个节气唇（gu）长损益相同（暑是按照日影测定时刻的仪器，暑长即为所测量影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个
2、节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为_尺A3 B2.5 C1.5 D65已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）A4 B5 C6 D76等差数列中，公差，为其前n项和，对任意自然数n，若点在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是（ ）A B C D7删去正整数数列1，2，3，中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第2020项是（ ）A2062 B2063 C2064 D20658如图，双曲线的左，右焦点分别为，过作直线与双曲线C及其渐近线分别交于Q，P
3、两点，且Q为的中点若等腰三角形的底边的长等于双曲线C的半焦距则C的离心率为（ ）A B C D二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9平面上三条直线，若这三条直线将平面划分为六个部分，则实数k的值为（ ）A B C0 D110设是等差数列的前n项之和，且，则下列结论中正确的是（ ）A B C D均为的最大项11已知曲线则以下哪些命题是正确的（ ）A若，则C是椭圆，其焦点在y轴上B若，则C是圆，其半径为C若，则C是双曲线，其渐近线方程为D若，则C是两条直线12下列命题中正确的是（ ）AA，B，
4、M，N是空间中的四点，若不能构成空间基底，则A，B，M，N共面B已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底C若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则直线D若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则直线l与平面所成角的正弦值为三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上）13某生物病毒繁殖规则如图，现有一个这种生物病毒，初始状态为（t表示时间，单位：小时），请写出4小时后此病毒的个数_，由此推测n小时后此病毒的个数为_（第一空2分，第二空3分）14对圆上任意一点，若点P到直线和的距离和都与x，y无关，则a的取值区间为_15抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到
5、的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点已知抛物线的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则的周长为_16点M是棱长为3的正方体中棱的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，且面，则的长度的最大值为_四、解答题（本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分10分）（1）求数列的通项公式（2）求数列的前n项和18（本小题满分12分）已知数列的前n项和为，满足（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和19（本小题满分12分）某山村为响应习近平总书记提
6、出的“绿水青山就是金山银山”的号召，积极进行生态文明建设，投资32万元新建一处农业生态园建成投入运营后，第一年需支出各项费用11万元，以后每年支出费用增加2万元关于收入方面是逐年向好，第一年的收入为30万，从第二年起，每年比上一年增加1万元设表示前x年的纯利润总和（前n年的总收入-前n年的总支出费用-投资额）（1）求的表达式，计算前多少年的纯利润总和最大，并求出最大值；（2）计算前多少年的年平均纯利润最大，并求出最大值20（本小题满分12分）已知圆（1）若直线l过点且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程；（2）若直线l过点与圆C相交于P，Q两点，求的面积的最大值，并求此时直线l的方程21（本小题
7、满分12分）在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，是棱的中点，且（1）试在棱上确定一点M，使平面；（2）当点M在棱中点时，求直线与平面所成角的正弦值22（本小题满分12分）已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆C上（1）求C的方程；（2）直线l不经过点且与C相交于A，B两点若直线与直线的斜率的和为，证明：l过定点高二月考数学试卷答案2020.1214 ACAC 58 ACDC 9 ABC 10 BD 11 ACD 12 ABD1361 14 15 1617解（1）（2）18解：（1）当时，解得，当时，由可得两式相减可得，即，所以是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以（2）由（1），则，两式相减得所
8、以19解：（1）由题意，每年的支出费用组成首项为11，公差为2的等差数列故前n年的总支出费用为：每年的收入组成首项为30，公差为1的等差数列故前n年的总收入为：所以所以当或时，取得最大值158即前19年或20年的纯利润总和最大，最大值为158万元（2）由（1）可得，前n年的年平均纯利润为因为，当且仅当，即时等号成立所以所以前8年的年平均纯利润最大，最大值为万元20解（1）圆C的圆心坐标为，半径，直线l被圆E截得的弦长为，由勾股定理得到圆心C到直线l的距离当直线l的斜率不存在时，显然满足；当直线l的斜率存在时，设，即，由圆心C到直线l的距离得：，解得，故；综上所述，直线l的方程为或（2）直线与圆
9、相交，l的斜率一定存在且不为0，设直线l方程：，即，则圆心C到直线l的距离为，方法一：又的面积当时，S取最大值2，由，得或，直线l的方程为或方法二：，易知时，面积最大，此时21解：（1）取边中点为O，底面是边长为2的正三角形，连接，是边的中点，建立以O为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴如图所示的空间直角坐标系则有，设，则若平面，则有，解得，即当时，平面（2）当点M在棱中点时，设平面的一个法向量，令，得，设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角的正值为22解：（1）根据椭圆对称性，必过，又横坐标为1，椭圆必不过，所以过三点将代入椭圆方程得，解得，所以椭圆C的方程为：（2）当斜率不存在时，设，得，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足当斜率存在时，设，联立，整理得，则整理得又，此时，存在k使得成立所以直线l的方程为当时，所以l过定点