1、23.3 直线与圆的位置关系必备知识自主学习直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系的判断:导思 1.如何利用直线与圆的方程判断位置关系?2.能不能利用几何图形判断位置关系?(1)方法:位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 _ 1个 0个 方 法 几何法:设圆心到直线的距离d=dr 代数法:由 消元得到一元二次方程的判别式 0 =0 _ 22AaBbCAB222AxByC0(xa)(yb)r2个 d=r 0(2)本质:利用直线与圆的方程,通过定量计算研究直线与圆的位置关系.【思考】利用几何法、代数法都可以判断直线与圆的位置关系,哪种方法简单?提示:一般几何法较为简
2、单.1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)过不在圆内的一点一定能作圆的两条切线()(2)过圆内一点作一条直线，则该直线一定与圆相交()(3)如果一条直线与圆相交，所得的弦长是圆的弦中最长的，那么这条直线一定过圆心()提示：(1).当点在圆上时，只能作圆的一条切线(2).过圆内的一点作直线，一定与圆有两个交点，因此一定相交(3).直径是圆的最长弦，因此直线一定过圆心 2已知直线 l 过点 P()3，0，圆 C：x2y24x0，则()Al 与 C 相交 Bl 与 C 相切Cl 与 C 相离 Dl 与 C 的位置关系不确定【解析】选 A.将圆的方程化为标准方程得：()x22y24，所以圆心 C
3、()2，0，半径 r2，又 P()3，0与圆心的距离 d()32 202 12r，所以点 P 在圆 C 内，又直线 l 过 P 点，则直线 l 与圆 C 相交 3(教材二次开发：例题改编)过原点且倾斜角为 60的直线被圆 x2y24y0所截得的弦长为()A 3 B2 C 6 D2 3【解析】选 D.过原点且倾斜角为 60的直线方程 3 xy0，圆 x2y24y0化为标准方程为 x2(y2)24，圆心坐标为()0，2，半径 r2，圆心到直线的距离 d|302()3 2()1 2 1，因此弦长为 2 r2d2 2 41 2 3.关键能力合作学习类型一 直线与圆的位置关系的判断(数学运算、直观想象)
4、1若直线 xy10 与圆(xa)2y22 有公共点，则实数 a 的取值范围是()A3，1 B1，3C3，1 D(，31，)2直线 l：mxy1m0 与圆 C：x2(y1)25 的位置关系是()A相交B相切C相离D不确定3圆 x2y21 与直线 ykx2 没有公共点，求 k 的取值范围【解析】1.选 C.方法一：(几何法)由题意可得，圆的圆心坐标为(a，0)，半径为 2，所以|a01|12（1）2 2，即|a1|2，解得3a1.方法二：(代数法)由xy10，（xa）2y22，消 y 得，2x22(1a)xa210，由 4(1a)28(a21)4a28a120，即 a22a30，解得3a1.2选
5、A.方法一：直线 l：mxy1m0 过定点(1，1)，因为点(1，1)在圆 x2(y1)25 的内部，所以直线 l 与圆相交方法二：(几何法).由题意知，圆心(0，1)到直线 l 的距离 d|m|m21 10，故直线 l 与圆相交 3方法一：将直线方程代入圆方程，得(k21)x24kx30，直线与圆没有公共点的充要条件是16k212(k21)0，解得 3 k 3.方法二：圆心(0，0)到直线 ykx2 的距离 d2k21，直线与圆没有公共点的充要条件是 d1.即2k21 1，解得 3 k 3.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆的半径 r 的大小关系
6、dr相离(2)代数法：b24ac0相交；0相切；0相离 类型二 直线与圆相切的问题(逻辑推理、直观想象)【典例】过点 P()4，5画圆2x2)（y24 的切线，求切线方程四步内容理解题意条件：点 P(4，5)，圆2x2)（y24结论：切线方程思路探求讨论切线的斜率是否存在，利用圆心到直线的距离等于半径，解出切线方程 四步内容书写表达当切线斜率存在时，设切线 l 的方程为：y5k()x4，即 kxy54k0，由|k254kk212 得k2120，所以切线方程 l：21x20y160.四步 内容 书写 表达 当切线斜率不存在时,切线l的方程为x=4.综上切线方程为21x-20y+16=0和x=4.
7、注意书写的规范性:设直线方程;根据圆心到直线的距离等于半径列方程;下结论.题后 反思 设直线方程的点斜式方程时要考虑斜率存在与否.解答题分类讨 论,最后要下结论.求圆的切线方程设出直线的方程后，利用圆心到直线的距离等于半径求出直线的方程设方程时要注意考虑斜率存在与否 已知点 M(3，1)，直线 axy40 及圆 C：(x1)2(y2)24.(1)求过 M 点的圆的切线方程；(2)若直线 axy40 与圆相切，求 a 的值【解析】(1)当斜率不存在时，x3 与圆相切；当斜率存在时，设切线 y1k(x3)，即 kxy3k10，圆心到直线的距离|k23k1|k212，解得 k34，切线方程为 y34
8、 x54.综上，切线方程为 y34 x54 和 x3.(2)圆心到直线的距离为|a24|a212，解得 a0，a43.【拓展延伸】1过圆上一点的切线方程(1)若点 M(x0，y0)在圆 x2y2r2 上，则过 M 点的圆的切线方程为 x0 xy0yr2.(2)若点 M(x0，y0)在圆(xa)2(yb)2r2 上，则在点 M 处的切线方程为(xa)(x0a)(yb)(y0b)r2.2过圆外一点的切线方程(1)若点 M(x0，y0)在圆 x2y2r2 外，则过 M 作圆的两条切线，切点分别为 A，B，则 AB 的方程为 x0 xy0yr2.(2)若点 M(x0，y0)在圆(xa)2(yb)2r2
9、 外，则过 M 作圆的两条切线，切点分别为 A，B，则 AB 的方程为(xa)(x0a)(yb)(y0b)r2.【拓展训练】已知点 M12，32为圆 x2y21 上一点，求在点 M 处的切线方程【解析】方法一：直接应用结论所求切线方程为12 x 32y1，即 x 3 y20.方法二：当斜率不存在时 x12，不与圆相切，舍去；当斜率存在时，设 y 32kx12，即 2kx2yk 3 0，圆心到直线的距离|k 3|4k24 1，解得 k 33，切线方程为 x 3 y20.综上，切线方程为 x 3 y20.类型三 直线与圆的相交问题(数学运算，直观想象)角度 1 求弦长 【典例】已知圆 x2y26x
10、0，过点()1，2的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A1 B2 C3 D4【思路导引】首先判断点在圆内，然后利用最短弦与点和圆心连线垂直，构造直角三角形求解【解析】选 B.将圆的方程 x2y26x0 化为标准方程(x3)2y29，设圆心为C，则 C 点坐标为(3，0)，半径 r3.设点(1，2)为点 A，过点 A(1，2)的直线为 l，因为(13)2229，所以点 A(1，2)在圆 C 的内部，则直线 l 与圆 C 必相交，设交点分别为 B，D.易知当直线 lAC 时，直线 l 被该圆所截得的弦的长度最小，设此时圆心 C 到直线 l 的距离为 d，则 d|AC （31）2（02）2 2
11、 2，所以|BD|min2 r2d2 232（2 2）2 2，即弦的长度的最小值为 2.本【典例】若求最大值呢？【解析】当直线过圆心时，弦长最大所以最大弦长为圆的直径 6.角度 2 综合问题 【典例】已知圆 C：x2y22x4y10，若在圆 C 中存在弦 AB，满足|AB 2 3，且 AB 的中点 M 在直线 2xyk0 上，则实数 k 的取值范围是()A2 5，2 5 B5，5C(5，5)D 5，5【思路导引】把弦长转化为圆心到直线的距离【解析】选 D.圆 C 的方程可化为(x1)2(y2)24，因此其圆心为 C()1，2，半径 r2，由于|AB 2 3，且 AB 的中点为 M，则|CM 2
12、2ABr()21，因此点 M 在以 C(1，2)为圆心，1 为半径的圆上，又点 M 在直线 2xyk0上，所以直线 2xyk0 与圆(x1)2(y2)21 有公共点，则|22k51，解得 5 k 5，故实数 k 的取值范围是 5，5.1弦长的求法若弦心距为 d，圆的半径长为 r，则弦长 l2 r2d2.2直线与圆的综合问题的求解策略直线与圆和平面几何、平面向量的联系十分紧密，可充分考虑平面几何、平面向量知识的运用 1若直线 xy2 被圆()xa2y24 所截得的弦长为 2 2，则实数 a 的值为()A0 或 4 B0 或 3C2 或 6 D1 或 3【解析】选 A.由圆的方程，可知圆心坐标为(
13、)a，0，半径 r2.又直线被圆截得的弦长为 2 2，所以圆心到直线的距离 d222 22()2 2.又 d|a22，所以|a2 2，解得 a4 或 a0.2已知在圆 M：x2y24x2y40 内，过点 O(0，0)的最长弦和最短弦分别是 AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面积为()A6 B8 C10 D12【解析】选 D.2(x2)2(y 1)9，由题意可得：最长弦为直径 6，最短的弦是 4，则四边形 ABCD 的面积为 12.3已知直线 y2x1 与圆 x2y2ax2y10 交于 A，B 两点，直线 mxy20 垂直平分弦 AB，则 m 的值为_，弦 AB 的长为_【解析】设直线 CD
14、：mxy20 可化为 ymx2，由垂直得 2(m)1，m12.直线 CD 的表达式为 y12 x2.圆的标准方程为xa22(y1)2a24，圆心 Ca2，1，半径|a2.代入直线CD 的表达式得112 a22，解得 a4.所以圆心 C(2，1)，半径为2.弦 AB 的长为 222|41 1|2()5 8 55.答案：12 8 55 课堂检测素养达标1已知圆的方程为 x2y21，则在 y 轴上截距为 2 的切线方程为()Ayx 2Byx 2Cyx 2 或 yx 2Dx1 或 yx 2【解析】选 C.在 y 轴上截距为 2 且斜率不存在的直线显然不是切线，故设切线方程为 ykx 2，则|2|k21
15、 1，所以 k1，故所求切线方程为 yx 2 或 yx 2.2直线 l：3xy60 与圆 x2y22x4y0 相交于 A，B 两点，则|AB|_【解析】由 x2y22x4y0，得(x1)2(y2)25，所以该圆的圆心坐标为(1，2)，半径 r 5，又圆心(1，2)到直线 3xy60的距离为 d|326|32（1）2 102，由2|AB|(2）r2d2，得|AB|2455210，即|AB|10.答案：10 3(教材二次开发：练习改编)已知直线 l：yk(x 3)和圆 C：x2(y1)21，若直线 l 与圆 C 相切，则 k_【解析】因为直线 l 与圆 C 相切，所以圆心 C 到直线 l 的距离
16、d|1 3k|1k21，解得 k0 或 k 3.答案：0 或 3 4已知直线 4xyb 被圆 x2y22x2y10 截得的弦长为 2，则 b 的值为_【解析】该圆的标准方程为(x1)2(y1)21，故该圆的圆心(1，1)，半径为 1，又直线被圆截得的弦长为 2，所以直线必过圆心所以 41b，b3.答案：3 5若圆 C：x2y22x4y30，关于直线 2axby60 对称，则由点()a，b向圆 C 所作的切线长的最小值为_【解析】将圆 C：x2y22x4y30 整理可得(x1)2(y2)22，由已知圆心()1，2在直线 2axby60 上，得 ba3.由点()a，b向圆所作的切线长 d2()（a1）2（b2）222，又 ba3，则 d22a28a242(a2)216，故当 a2 时，切线长 d 有最小值为 4.答案：4