1、山东省济南市章丘区第四中学2019-2020学年高二数学下学期第三次月考（4月）试题（含解析）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.是虚数单位，若复数，则的虚部为（ ）A. B. 0C. D. 1【答案】A【解析】【分析】利用复数的代数形式的运算法则直接求解【详解】解：是虚数单位，复数，虚部为故选：【点睛】本题考查复数的虚部的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题2.已知两个异面直线的方向向量分别为，且|1，则两直线的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出向量的夹角，再
2、利用异面直线角的定义直接求解即可【详解】设两直线的夹角为，则由题意可得11cos，cos，故选：【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义，注意两直线的夹角与，的关系，属于基础题3.在的展开式中，记项的系数为，则 ()A. 45B. 60C. 120D. 210【答案】C【解析】【分析】由题意依次求出x3y0，x2y1，x1y2，x0y3，项的系数，求和即可【详解】（1+x）6（1+y）4的展开式中，含x3y0的系数是：=20f（3，0）=20；含x2y1的系数是=60，f（2，1）=60；含x1y2的系数是=36，f（1，2）=36；含x0y3的系数是=4，f（0，3）=4；f（3，0）+f
3、（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=120故选C【点睛】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力4.设函数是奇函数（）的导函数，当时，则使得成立的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】构造新函数,，当时.所以在上单减，又，即.所以可得,此时，又为奇函数，所以在上的解集为：.故选A.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.5.若5个人按原来站的位置重新站成一排，恰有两人站在自己原来的位置上的概率为（ ）
4、A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，分2步分析：先从5个人里选2人，其位置不变，其余3人都不在自己原来的位置，分析剩余的3人都不在自己原来位置的站法数目，由分步计数原理计算可得答案.【详解】根据题意，分2步分析：先从5个人里选2人，其位置不变，有种选法，对于剩余的三人，因为每个人都不能站在原来的位置上，因此第一个人有两种站法，被站了自己位置的那个人只能站在第三个人的位置上，因此三个人调换有2种调换方法，故不同的调换方法有种.而基本事件总数为,所以所求概率为，故选C.【点睛】该题考查的是有关古典概型求概率的问题，涉及到的知识点有分步计数原理，排列组合的综合应用，古典概型概
5、率求解公式，属于简单题目.6.已知是函数的导函数，则( )A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】对函数进行求导，令，求出，进而求出即可求解.【详解】因为函数，所以，当时，解得，所以，所以.故选：C【点睛】本题考查基本初等函数的导数公式；考查运算求解能力；熟练掌握基本初等函数的导数公式是求解本题的关键；属于基础题.7.已知函数在上有两个零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】对函数求导，对a分类讨论，分别求得函数的单调性及极值，结合端点处的函数值进行判断求解.【详解】 ，.当时，在上单调递增，不合题意.当时，在上单调递减，也不合题意.当时，则时，
6、在上单调递减，时，在上单调递增，又，所以在上有两个零点，只需即可，解得.综上，的取值范围是.故选C.【点睛】本题考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了函数的单调性及极值问题，属于中档题8.如图在正方体中，点为线段的中点. 设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】设正方体的棱长为，则，所以，.又直线与平面所成的角小于等于，而为钝角，所以的范围为，选B.【考点定位】空间直线与平面所成的角.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分
7、.9.关于的说法，正确的是( )A. 展开式中的二项式系数之和为2048B. 展开式中只有第6项的二项式系数最大C. 展开式中第6项和第7项的二项式系数最大D. 展开式中第6项的系数最小【答案】ACD【解析】【分析】根据二项式系数的性质即可判断选项A；由为奇数可知，展开式中二项式系数最大项为中间两项，据此即可判断选项BC；由展开式中第6项的系数为负数，且其绝对值最大即可判断选项D.【详解】对于选项A：由二项式系数的性质知，的二项式系数之和为，故选项A正确；因为的展开式共有项，中间两项的二项式系数最大，即第6项和第7项的二项式系数最大，故选项C正确，选项B错误；因为展开式中第6项的系数是负数，且
8、绝对值最大，所以展开式中第6项的系数最小，故选项D正确；故选：ACD【点睛】本题考查利用二项式定理求二项展开式的系数之和、系数最大项、系数最小项及二项式系数最大项；考查运算求解能力；区别二项式系数与系数是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.10.已知函数，下列结论中正确的是( )A. ，B. 函数的图象一定关于原点成中心对称C. 若是的极小值点，则在区间单调递减D. 若是的极值点，则【答案】AD【解析】【分析】对于选项A：利用零点存在性定理判断即可；对于选项B：利用函数图象成中心对称的定义进行判断即可；对于选项C：采取特殊函数方法，若取，则，利用导数判断函数的单调性和极值即可；对于选项D：根
9、据导数的意义和极值点的定义即可判断.【详解】对于选项A：因为当时，当时，由题意知函数为定义在上的连续函数，所以，故选项A正确；对于选项B：因为，所以，即点为函数的对称中心，当时，函数的图象不关于原点对称，故选项B错误；对于选项C：若取，则，所以，由可得，或，由可得，所以函数的单调增区间为，减区间为，所以为函数的极小值点，但在区间并不是单调递减，故选项C错误；对于选项D：若是的极值点，根据导数的意义知，故选项D正确；故选：AD【点睛】本题考查三次函数性质的判断；考查零点存在性定理、函数图象对称中心的判断、利用导数判断函数的单调性和极值；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握基本初等函数的有关性
10、质求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题.11.已知四棱柱为正方体则下列结论正确的是（ ）A. B. C. 向量与向量的夹角是D. 正方体的体积为【答案】ABC【解析】【分析】建立空间直角坐标系求出各点坐标，对A、B选项只需再求出对应的向量坐标代入验证等式是否成立，即可判断A、B正误；对C选项利用空间向量的夹角公式求出夹角，即可判断正误；对于D选项只需将判断是否等于体积即可【详解】不妨设正方体的棱长为1，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为，因为，所以；故A正确因为，所以故B正确因为，所以，所以，所以向量与向量的夹角是，故C正确因为，所以，所以故D错误故选：ABC【点睛】
11、本题主要考查空间向量及其运算，属于基础题12.已知函数，则以下结论正确是( )A. 在上单调递增B. C. 方程有实数解D. 存在实数，使得方程有个实数解【答案】BCD【解析】【分析】求导得到函数的单调性得到错误；判断得到正确；根据得到正确；构造函数，画出函数图象知正确，得到答案.【详解】，则，故函数在上单调递减，在上单调递增，错误；，根据单调性知，正确；，故方程有实数解，正确；，易知当时成立，当时，设，则，故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且.画出函数图象，如图所示：当时有3个交点.综上所述：存在实数，使得方程有个实数解，正确；故选：.【点睛】本题考查了函数的单调性，比较函数值
12、大小，方程解的个数，意在考查学生对于函数知识的综合应用.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，则第1次取出的2个球1个是白球，1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率为_.【答案】【解析】【分析】分别求解第1次和第2次的概率，结合事件的独立性可得.【详解】记“第1次取出的2个球中1个是白球，1个是红球”为事件，“第2取出的2个球都是白球”为事件，则，则.故答案为：.【点睛】本题主要考查相互独立事件同时发生的概率，利用独立事件的乘法公式可求，侧重考查数学运算的核心素养.14.从6男2女共8名学生中选出队长1人，
13、副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有_种不同的选法（用数字作答）【答案】660【解析】【详解】第一类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有 种；第二类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有种，根据分类计数原理共有种，故答案为.15.已知函数图象过点，若函数在上是增函数，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】把点代入函数的解析式，利用导数求出函数的单调递增区间使为所求增区间的子集，列出关于的不等式即可求解.【详解】因为函数的图象过点，所以，解得，所以函数，由可得，所以函数的单调递增区间为，因为函数在上是增函数，所以，解得，所以
14、实数的取值范围为.故答案为：【点睛】本题考查函数解析式的求解、利用导数判断函数的单调性求参数的取值范围；考查运算求解能力；熟练掌握利用导数判断函数的单调性是求解本题的关键；属于中档题.16.正方体的棱长为2, 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦), 为正方体表面上的动点,当弦的长度最大时, 的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由弦的长度最大可知为球的直径.由向量的线性运用表示出，即可由范围求得的取值范围.【详解】连接，如下图所示：设球心为,则当弦的长度最大时，为球的直径，由向量线性运算可知正方体的棱长为2，则球的半径为1，所以，而所以，即故答案为：.【点睛】本题
15、考查了空间向量线性运算与数量积的运算，正方体内切球性质应用，属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知为复数，和均为实数，其中是虚数单位.(1)求复数和；(2)若在第四象限，求的取值范围.【答案】（）， （） 或 【解析】【试题分析】（1）依据题设建立方程求出，再求其模；（2）先求出，再建立不等式求解：（）设，则 （） 或点睛：本题旨在考查复数的有关概念及加减乘除等基本运算等有关知识的综合运用求解时先，然后依据题设建立方程求出，再求其模；第二问时先求出，再建立不等式组求解得 或而获解.18.2018年国际乒联总决赛在韩国仁川举行，比
16、赛时间为12月1312月16日，在男子单打项目，中国队准备选派4人参加.已知国家一线队共6名队员，二线队共4名队员.（1）求恰好有3名国家一线队队员参加比赛的概率；（2）设随机变量表示参加比赛的国家二线队队员的人数，求的分布列.【答案】（1）；（2）分布列见解析.【解析】【分析】（1）利用组合数公式求出总的基本事件数和恰好有3名国家一线队队员参加比赛包含的基本事件数，代入古典概型概率计算公式求解即可；（2）由题意知，的取值为0，1，2，3，4，利用组合数公式和古典概型概率概率计算公式分别求出对应的概率即可求解.【详解】（1）由题意知，总的基本事件数为，恰好有3名国家一线队队员参加比赛包含的基本
17、事件数为，恰好有3名国家一线队队员参加比赛的概率.（2）的取值为0，1，2，3，4，的分布列为：01234【点睛】本题考查利用组合数公式求古典概型概率和离散型随机变量的分布列；考查运算求解能力；熟练掌握组合数公式和古典概型概率计算公式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.19.已知函数.（1）若时，判断的单调性；（2）若，求在上的最小值.【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）.【解析】【分析】（1）对函数进行求导，利用导数判断函数的单调性即可；（2）对函数进行求导，利用导数判断函数的单调性求给定区间上的最值即可.【详解】（1）当时，则，由，得，令，得，所以函数在上单调递增；令，得，
18、所以函数在上单调递减.（2）因为，则，由，得，当时，；当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增，因为，所以，由于，所以当时，函数取得最小值为，所以函数在上的最小值为.【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性求函数的极值、最值；考查运算求解能力；利用导数判断函数的单调性是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.20.已知在的展开式中，第6项的系数与第4项的系数之比是.（1）求展开式中的系数；（2）求展开式中系数绝对值最大的项；（3）求的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，求出展开式中的第6项的系数与第4项的系数，列出方程求出的值，代入
19、二项展开式的通项公式即可求解；（2）利用两边夹定理，设第项系数的绝对值最大，列出关于的不等式即可求解；（3）利用二项式定理求解即可.【详解】（1）由，得，通项，令，解得，展开式中的系数为.（2）设第项系数的绝对值最大，则，所以，系数绝对值最大项为.（3）原式.【点睛】本题考查二项式定理的应用、二项展开式的通项公式和系数最大项的求解；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握二项展开式的通项公式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.21.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，侧面底面，.（）求证：平面面；（）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值.【答案】（I）详见解
20、析；（II）.【解析】【分析】（）由题意得到面，从而又由题意证得四边形为菱形，故得，于是平面根据面面垂直的判定定理可得结论成立（）由题意得为中点，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，根据两向量夹角的余弦值可得二面角的余弦值【详解】（）证明：因为，则，又侧面底面，平面平面，平面，所以面因为平面，则又因为，四边形为平行四边形，则，又则为等边三角形，则四边形为菱形，所以又，所以平面又面，所以平面平面（）由平面把四面体分成体积相等的两部分，则为中点由（）知面，且四边形为菱形、以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则,设平面的法向量为，由，得，令，可得同理，平面的法向量所以由图形得二面角为钝
21、角，所以二面角的余弦值为【点睛】（1）解答第一问时，要注意空间中垂直关系的转化，合理运用转化达到求解的目的，同时还要注意平面几何知识的运用（2）空间向量的引入为求空间角提供了工具，通过求出两平面法向量的夹角可得到二面角的大小但由于法向量的夹角和二面角是相等或互补的关系，所求在求出法向量的夹角后还要通过观察图形得到二面角为锐角还是钝角，最后才能得到所求结论22.已知函数（为自然对数的底数）（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；（2）求函数的极值；（3）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.【答案】（1）（2）当时，函数无极小值；当，在处取得极小值，无极大值（3）的最大值为【解析】【分析】
22、（1）求出，由导数的几何意义，解方程即可；（2）解方程，注意分类讨论，以确定的符号，从而确定的单调性，得极大值或极小值（极值点多时，最好列表表示）；（3）题意就是方程无实数解，即关于的方程在上没有实数解一般是分类讨论，时，无实数解，时，方程变为，因此可通过求函数的值域来求得的范围【详解】（1）由,得又曲线在点处的切线平行于轴,得,即,解得（2）,当时,为上的增函数,所以函数无极值当时,令,得,;,所以上单调递减,在上单调递增,故在处取得极小值,且极小值为,无极大值综上,当时,函数无极小值当,在处取得极小值,无极大值（3）当时,令,则直线:与曲线没有公共点,等价于方程在上没有实数解假设,此时,又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故又时,知方程在上没有实数解所以的最大值为解法二: （1）（2）同解法一（3）当时,直线:与曲线没有公共点,等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程:（*）在上没有实数解当时,方程（*）可化为,在上没有实数解当时,方程（*）化为令,则有令,得,当变化时,的变化情况如下表:减增当时,同时当趋于时,趋于,从而的取值范围为所以当时,方程（*）无实数解, 解得的取值范围是综上,得的最大值为考点：导数的几何意义，极值，导数与单调性、值域，方程根的分布