1、2.1.5 平面上两点间的距离2.1.5 平面上两点间的距离 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU目标导航 预习引导 学习目标1.掌握两点间距离公式的推导过程并用之解决简单的几何问题,理解中点坐标公式.2.知道解析法的含义,并会用其证明平面几何问题.重点难点重点:能利用两点间的距离公式解题.难点:会用解析法证明平面几何问题.2.1.5 平面上两点间的距离 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU1.平面上两点间的距离公式(1)x 轴上两点 P1(x1,0),P2(x2
2、,0)之间的距离可以表示为 P1P2=|x2-x1|,当点 P1 在点 P2 的左侧时,P1P2=x2-x1.(2)设平面上的两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),则 P1,P2 两点间的距离P1P2=(2-1)2+(2-1)2,特别地,当 x1=x2 时,P1P2=|y2-y1|;当 y1=y2时,P1P2=|x2-x1|.目标导航 预习引导 2.1.5 平面上两点间的距离 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU预习交流 1(1)平面内两点间的距离公式与两点的先后顺序是否有关?答案:平面内两点间距离公式与两点的先后顺序无
3、关,仅与点的位置有关,即 P1P2=(2-1)2+(2-1)2=(1-2)2+(1-2)2.(2)算术平方根 2+2 的几何意义是什么?答案:2+2可视为以 a,b 为直角边的直角三角形的斜边长(前提是 a0,b0).若 a,bR,则 2+2 的几何意义是点(a,b)(或点(-a,b),(a,-b),(-a,-b),(b,a),)到原点的距离.目标导航 预习引导 2.1.5 平面上两点间的距离 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU2.线段的中点坐标公式一般地,对于平面上的两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),线段 P1P
4、2 的中点是M(x0,y0),则 x0=1+22,y0=1+22.预习交流 2已知点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),若 M(x0,y0)是线段 P1P2 的中点,你能用 P1点与 M 点的坐标表示 P2 点的坐标吗?答案:能.由 x0=1+22,y0=1+22得 x2=2x0-x1,y2=2y0-y1.P2 点坐标为(2x0-x1,2y0-y1).目标导航 预习引导 2.1.5 平面上两点间的距离 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU预习交流 3求下列两点间的距离:(1)A(0,1),B(-3,1);(2)A(2,5)
5、,B(2,-5);(3)A(0,0),B(-2,-1).答案:(1)AB=(-3-0)2+(1-1)2=3;(2)AB=(2-2)2+(5+5)2=10;(3)AB=(-2-0)2+(-1-0)2=5.目标导航 预习引导 2.1.5 平面上两点间的距离 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU一、两点间距离公式的应用活动与探究(1)已知点 A(1,1),B(5,3),C(0,3),求证:ABC 为直角三角形.(2)已知点 A(-1,2),B(2,7),在 x 轴上求一点 P,使 PA=PB,并求 PA 的长.思路分析:(1)由两点间
6、的距离公式分别求出三边,再用勾股定理的逆定理判断,也可以用两直线的位置关系判断.(2)利用公式及已知列出方程,然后再求解.问题导学 当堂检测 2.1.5 平面上两点间的距离 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测(1)证明:(方法一)A(1,1),B(5,3),C(0,3),AB=(1-5)2+(1-3)2=20=2 5,AC=(1-0)2+(1-3)2=5,BC=(5-0)2+(3-3)2=25=5.AB2+AC2=BC2,且 A,B,C 三点不共线,ABC 为以 A 为直角顶点的直角三角形.(方法二)kAB=
7、3-15-1=12,kAC=3-10-1=-2,kABkAC=-1,ABAC.又 AB=(1-5)2+(1-3)2=20=2 5,AC=(1-0)2+(1-3)2=5,ABAC,ABC 为直角三角形.2.1.5 平面上两点间的距离 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测(2)解:设所求点 P 的坐标为(x,0),则 PA=(+1)2+(0-2)2=2+2x+5,PB=(-2)2+(0-7)2=2-4x+11,由 PA=PB,得 x2+2x+5=x2-4x+11,解得 x=1,所以 P 点坐标为(1,0),且 PA
8、=(1+1)2+(0-2)2=2 2.2.1.5 平面上两点间的距离 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU迁移与应用已知 A(-1,-1),B(3,5),C(5,3),判断ABC 的形状.解:|AB|=3-(-1)2+5-(-1)2=42+62=52=2 13,|AC|=5-(-1)2+3-(-1)2=62+42=52=2 13,|BC|=(5-3)2+(3-5)2=22+22=8=2 2.所以|AB|=|AC|BC|,且显然三边长不满足勾股定理,所以ABC 为等腰三角形.问题导学 当堂检测 2.1.5 平面上两点间的距离 课前
9、预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 考查两点间的距离公式的形式有:(1)求到某点的距离满足某些条件的点 P(x,y).此时需要根据已知条件列出关于 x,y 的方程或方程组,解之即可;(2)与平面几何联系,判断多边形的形状或点之间的关系等,此时要将所求转化为两点间距离,最后结合实际解释所求结果.2.1.5 平面上两点间的距离 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU二、线段中点坐标及应用活动与探究已知ABCD 的两个顶点坐标分别为 A(4,2),B(5,
10、7),对角线的交点为E(-3,4).求另外两个顶点的坐标.思路分析:由平行四边形的性质知点 E 为 AC,BD 的中点,根据中点坐标公式,即可求得另外两个顶点的坐标.问题导学 当堂检测 2.1.5 平面上两点间的距离 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 解:设 C(x1,y1),D(x2,y2),E 为 AC 的中点,4+12=-3,2+12=4,解得 1=-10,1=6,C 点坐标为(-10,6).又E 为 BD 的中点,5+22=-3,7+22=4,解得 2=-11,2=1.D 点坐标为(-11,1).2
11、.1.5 平面上两点间的距离 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU迁移与应用已知点 A(1,-4),B(3,2),又 P 点在线段 AB 上,且 2AP=PB,求 P 点坐标.解:设 P1(x1,y1)平分线段 PB,P(x0,y0)为线段 AP1 的中点,于是 0=1+12,0=-4+12.又由 P1为线段 PB 的中点,得 1=3+02,1=2+02.联立组成方程组,解得 0=53,0=-2,故点 P 的坐标为 53,-2.问题导学 当堂检测 2.1.5 平面上两点间的距离 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE
12、课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 与线段中点有关的问题是常见的题型,解题时常借助数形结合的思想,利用线段中点特征加以研究.线段的中点坐标公式是一个重要的基本公式,要熟记并能灵活应用.依据题意用中点坐标公式列出方程或方程组求点的坐标的方法是解析几何中常用的方法.2.1.5 平面上两点间的距离 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 三、有关直线的对称问题活动与探究已知直线 l:x+2y-2=0,试求:(1)点 P(-2,-1)关于直线 l 的对称点坐标;(2)直线 l1:y=x
13、-2 关于直线 l 对称的直线 l2 的方程;(3)直线 l 关于点 A(1,1)对称的直线方程.思路分析:点关于直线的对称点的求法,可利用两点的连线与已知直线垂直,线段的中点在直线上,列方程组求得,而直线关于直线的对称直线方程的求法,可转化为点的对称问题,直线关于点的对称直线方程可通过中点坐标公式求解.2.1.5 平面上两点间的距离 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 解:(1)设点 P 关于直线 l 的对称点为 P(x0,y0),则线段 PP的中点 M在直线 l 上,且 PPl.0+10+2 -12=-1
14、,0-22+2 0-12-2=0,解之得 0=25,0=195.即 P点的坐标为 25,195 .(2)方法一:由 +2-2=0,-2=0 得 l 与 l1 的交点 A(2,0),在 l1 上任取一点 B(0,-2),设 B 关于 l 的对称点 B为(x0,y0),则 0+20 -12=-1,02+2 0-22-2=0,2.1.5 平面上两点间的距离 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 即 20-0-2=0,0+20-8=0,0=125,0=145.即 B 125,145 ,l2 的斜率为 kAB=14512
15、5-2=7.l2 的方程为:y=7(x-2),即 7x-y-14=0.方法二:直线 l1:y=x-2 关于直线 l 对称的直线为 l2,则 l2 上任一点P1(x,y)关于 l 的对称点 P1(x,y)一定在直线 l1 上,反之也成立,由-12=-1,+2+2 +2-2=0,得 =3-4+45,=-4-3+85,把(x,y)代入方程 y=x-2 并整理,得:7x-y-14=0,即直线 l2 的方程为 7x-y-14=0.2.1.5 平面上两点间的距离 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测(3)方法一:取 l:x
16、+2y-2=0 上一点 M(2,0),则 M 关于点 A(1,1)的对称点 M,坐标为(0,2),且 M在 l 关于 A(1,1)对称的直线上,又所求直线与 l 平行,设所求直线为 x+2y+C=0.又过点 M(0,2),C=-4,所求直线方程为 x+2y-4=0.方法二:设直线 l 关于点 A(1,1)的对称直线为 l,则直线 l 上任一点P2(x1,y1)关于点 A 的对称点 P2(x,y)一定在直线 l上,反之也成立.由+12=1,+12=1,得 1=2-x,1=2-y.将(x1,y1)代入直线 l 的方程得:x+2y-4=0,直线 l的方程为x+2y-4=0.2.1.5 平面上两点间的
17、距离 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 迁移与应用在ABC 中,点 A(5,4),AHBC 于 H,H(6,2),AC 边上的中线 BM 所在直线的方程为 3x-2y-1=0,求三角形三边所在的直线方程.解:在ABC 中,由 A(5,4),H(6,2),得 kAH=-2,又 BCAH,kBC=12.BC 的方程为 y-2=12(x-6),即 x-2y-2=0.又 BM 的方程为 3x-2y-1=0,联立-2-2=0,3-2-1=0,得 B-12,-54,2.1.5 平面上两点间的距离 课前预习导学 KEQI
18、AN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 AB 边所在直线方程为 21x-22y-17=0.设 C 为(x0,y0),则 AC 的中点 M 0+52,0+42 在 BM 上,30+52-20+42-1=0.又 C(x0,y0)在 BC 上,x0-2y0-2=0.由,得 C-72,-114 .AC 边所在直线方程为 27x-34y+1=0.综上所述,BC 边所在的直线方程是x-2y-2=0,AB 边所在的直线方程是 21x-22y-17=0,AC 边所在的直线方程是 27x-34y+1=0.2.1.5 平面上两点间的距离 课前预习导学 K
19、EQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 直线关于直线的对称问题通常在直线上取点,转化为点关于直线的对称问题.关键是利用对称的特点:两点的中点在对称轴上,两点的连线与对称轴垂直,点 P(x0,y0)关于直线 x+y+m=0 的对称点为(-y0-m,-x0-m),关于直线 x-y+n=0 的对称点为(y0-n,x0+n).这是一种特殊的对称,在解题时应用很方便.2.1.5 平面上两点间的距离 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU四、解析法的应用活动与探究用坐标法证明:
20、三角形的中位线长为其对应边长的一半.思路分析:用坐标法证明需要建立适当的平面直角坐标系;要证明三角形的中位线长与其对应边长的关系,需应用坐标表示出三角形的中位线长及对应边长,再找其对应关系.问题导学 当堂检测 2.1.5 平面上两点间的距离 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 解:已知ABC,D,E 分别是边 AC 和 BC 的中点.求证:DE=12AB.证明:以 A 为原点,AB 所在的直线为 x 轴,建立平面直角坐标系,如图所示,则 A(0,0).设 B(c,0),C(a,b)(a0,b0,c0),由 D
21、,E 分别是边 AC 和 BC 的中点可知 D 2,2,E+2,2.2.1.5 平面上两点间的距离 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 由两点间的距离公式得DE=2-+2 2+2-2 2=2.又 AB=c,所以 DE=12AB.所以三角形的中位线长为其对应边长的一半.2.1.5 平面上两点间的距离 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 迁移与应用已知梯形 ABCD 中,ABCD,AD=BC,试建立适当的直角坐标系,证明:对角线
22、 AC=BD.证明:分别以 AB 所在直线、AB 的垂直平分线为 x 轴、y 轴,建立如图所示的坐标系.设 A(-a,0),D(-b,c),则 B(a,0),C(b,c).AC=(+)2+2,BD=(+)2+2,AC=BD.2.1.5 平面上两点间的距离 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 1.对解析法的认识:解析法是建立平面几何与代数运算关系的桥梁,是它们之间相互转化的纽带.平面几何中求线段长度、判断点的位置、证明线段成比例等问题,都可以通过解析法转化为代数问题来解决.2.解析法证明几何问题的步骤:(1)建
23、系:根据题目条件建立适当的平面直角坐标系;(2)运算:进行有关的代数运算;(3)“翻译”:把代数运算结果“翻译”成几何关系.2.1.5 平面上两点间的距离 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU1.已知点 A(-8,-3)与 B(5,-3)关于点 C 对称,则 C 点的坐标为 .答案:-32,-3 解析:依题意 C 为线段 AB 的中点,由中点公式得 C 点坐标为-32,-3.12 3 4 5问题导学 当堂检测 2.1.5 平面上两点间的距离 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO
24、 TANJIU2.已知 A(-1,3),B(3,b)两点间的距离为 4,则实数 b=.答案:3解析:由两点间的距离公式得AB=(-1-3)2+(3-b)2=4,解得 b=3.1 23 4 5问题导学 当堂检测 2.1.5 平面上两点间的距离 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU3.以 A(1,3),B(-5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是 .答案:3x+y+4=0解析:kAB=3-11+5=13,AB 中点为(-2,2),AB 的垂直平分线方程为 y-2=-3(x+2),即 3x+y+4=0.1 2 34 5问题导学 当堂检
25、测 2.1.5 平面上两点间的距离 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU4.以 A(5,5),B(1,4),C(4,1)为顶点的三角形是 三角形.(填“直角”“等边”“等腰”“等腰直角”)答案:等腰解析:A(5,5),B(1,4),C(4,1),AB=(1-5)2+(4-5)2=17,AC=(4-5)2+(1-5)2=17,BC=(4-1)2+(1-4)2=18=3 2.又 A,B,C 三点不共线,显然ABC 为等腰三角形.1 2 3 45问题导学 当堂检测 2.1.5 平面上两点间的距离 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU1 2 3 4 5问题导学 当堂检测 5.求直线 l1:x+y+1=0 关于直线 l:3x-4y+5=0 对称的直线 l2 的方程.解:由 +1=0,3-4+5=0,解得 =-97,=27.直线 l1 与 l 交于点 P-97,27.在直线 l1 上取一点 P(0,-1),令 P关于l 的对称点为 Q(x0,y0),则有 0+10 34=-1,3 02-4 0-12+5=0,解得 0=-5425,0=4725.直线 l2 的方程为 31x+17y+35=0.