1、第三章3.2第3课时一、选择题1若直线l，且l的方向向量为(2，m,1)，平面的法向量为(1，2)，则m为()A4B6C8D8答案C解析l，l与平面的法向量垂直故21m120，解得m8，故选C2若n(1，2,2)是平面的一个法向量，则下列向量能作为平面法向量的是()A(1，2,0)B(0，2,2)C(2，4,4) D(2,4,4)答案C解析(2，4,4)2(1，2,2)2n，(2，4,4)可作为的一个法向量二、填空题3已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；其中正确的是_答案解析2(1)
2、(1)2(4)(1)2240，则4(1)2200，则，A，平面ABCD，故是平面ABCD的一个法向量三、解答题4已知四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，且PA底面ABCD，如果BCPB，求证四边形ABCD是矩形证明由条件知，BCPB，0，即()0，0，0，0，ADAB，四边形ABCD为平行四边形，四边形ABCD为矩形5如图，ABC中，ACBC，D为AB边中点，PO平面ABC，垂足O在CD上，求证：ABPC证明设a，b，v由条件知，v是平面ABC的法向量，va0，vb0，D为AB中点，(ab)，O在CD上，存在实数，使(ab)，CACB，|a|b|，(ba)(ab)(ba)(ba)v(|
3、b|2|a|2)bvav0，ABPC6在正三棱锥PABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BEECPFFB12求证：平面GEF平面PBC证明证法一：如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在直线分别作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系令PAPBPC3，则A(3,0,0)，B(0，3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0，1,0)，G(1,1,0)，P(0,0,0)，于是(3,0,0)，(1,0,0)，故3，PAFG而PA平面PBC，FG平面PBC又FG平面EFG，平面EFG平面PBC证法二：同证法一，建立空间直角坐标系，则E(0
4、,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)(0，1，1)，(1，1，1)设平面EFG的法向量是n(x，y，z)，则有n，n令y1，得z1，x0，即n(0,1，1)显然(3,0,0)是平面PBC的一个法向量又n0，n，即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直，平面EFG平面PBC7如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，APAB2，BC2，E，F分别是AD，PC的中点，求证：PC平面BEF 解析如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系APAB2，BCAD2，四边形ABCD是矩形，A(0,0,0)，B(2,0,0)
5、，C(2,2，0)，D(0,2，0)，P(0,0,2)又E、F分别是AD、PC的中点，E(0，0)，F(1，1)(2,2，2)，(1，1)，(1,0,1)，2420，2020，PCBF，PCEF又BFEFF，PC平面BEF一、选择题8已知A(3,0，1)、B(0，2，6)、C(2,4，2)，则ABC是()A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形答案C解析(3，2，5)，(1,4，1)，则3(1)2450，故ABC为直角三角形又|故选C二、填空题9已知空间三点A(0,0,1)，B(1,1,1)，C(1,2，3)，若直线AB上一点M，满足CMAB，则点M的坐标为_答案(，1)解析设
6、M(x，y，z)，又(1,1,0)，(x，y，z1)，(x1，y2，z3)，由题意得x，y，z1，点M的坐标为(，1)三、解答题10如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，D为AB的中点，ACBCBB1(1)求证：BC1AB1；(2)求证：BC1平面CA1D证明如图，以C1点为原点，C1A1、C1B1、C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设ACBCBB12，则A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2)(1)(0，2，2)，(2,2，2)，0440，BC1AB1(2)取A1C的中点
7、E，E(1,0,1)，(0,1,1)，又(0，2，2)，且ED和BC1不共线，则EDBC1又ED平面CA1D，BC1平面CA1D，故BC1平面CA1D点评第(2)问可求出(1,1,0)，(2,0，2)，(0，2，2)，2，与、共面，BC1平面CA1D，BC1平面CA1D还可以先求出平面CA1D的法向量n，证明n011如图， 正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别是棱AB、BC的中点，EFBDG求证：平面B1EF平面BDD1B1证明以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，由题意知：D(0,0,0)，B1(2，2，4)，E(2，0)
8、，F(，2，0)，(0，4)，(，0)设平面B1EF的一个法向量为n(x，y，z)则ny4z0，nxy0解得xy，zy，令y1得n(1,1，)，又平面BDD1B1的一个法向量为(2，2，0)，而n1(2)12()00，即n平面B1EF平面BDD1B112在棱长ABAD2，AA13的长方体ABCDA1B1C1D1中，点E是平面BCC1B1上的动点，点F是CD的中点试确定点E的位置，使D1E平面AB1F解析建立空间直角坐标系如图，则A(0,0,0)，F(1,2,0)，B1(2,0,3)，D1(0,2,3)，设E(2，y，z)，则(2，y2，z3)，(1,2,0)，(2,0,3)，D1E平面AB1F
9、，即解得E(2,1，)即为所求13(2014银川市一中二模)已知正方形ABCD的边长为1，ACBDO，将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC1，得到三棱锥ABCD，如图所示(1)若点M是棱AB的中点，求证：OM平面ACD；(2)求证：AO平面BCD；(3)求二面角ABCD的余弦值解析在AOC中，AC1，AOCO， AC2AO2CO2，AOCO又AC、BD是正方形ABCD的对角线，AOBD, COBD，即AO、CO、BD两两垂直，以O为原点，OC、OD、OA分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则C(，0,0)，D(0，0)，A(0,0，)，B(0，0)(1)M为AB的中点，M(0，)，(0，)，(0，)，OMDA，OM平面ACD，OM平面ACD(2)由于AOBD，AOOC，OCBD0，AO平面BCD(3)易知(0,0，)是平面BCD的一个法向量(，0，)，(，0)，设平面ABC的法向量n(x，y，z)，则n0，n0即所以yx且zx，令x1，则y1，z1，得n(1，1,1)从而cosn，易知二面角ABCD为锐二面角，二面角ABCD的余弦值为