1、第四章指数、对数函数与幂函数4.5增长速度的比较课时9增长速度的比较知识点一 函数的平均变化率1.函数y2x1在(1,2)内的平均变化率为()A0 B1C2 D3答案C解析当x1时，y3，当x2时，y5，故平均变化率为2.故选C.2如图，函数yf(x)在A，B两点间的平均变化率是()A1 B1C2 D2答案B解析1.3函数yx2在x1,2,3附近的平均变化率中，在x_附近的平均变化率最大答案3解析在x1附近的平均变化率为k12x；在x2附近的平均变化率为k24x；在x3附近的平均变化率为k36x.对任意x有，k1k2k2k1k4.知识点二 函数平均变化率的应用5.四人赛跑，假设他们走过的路fi
2、(x)(i1,2,3,4)和时间x(x1)的函数关系分别是f1(x)x2，f2(x)4x，f3(x)log2x，f4(x)2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是()Af1(x)x2 Bf2(x)4xCf3(x)log2x Df4(x)2x答案D解析显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)2x.故选D.6巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力想想看，为什
3、么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？解山路从A到B高度的平均变化率为hAB，山路从B到C高度的平均变化率为hBC，hBChAB.山路从B到C比从A到B要陡峭的多7已知函数f(x)2x3，g(x)x2，判断f(1)与g(1)的相对大小，并求出使得f(1x)2.又因为当2x3x2，即x3(x1舍去)时，f(x)g(x)，所以当x312时，f(1x)m)上的平均变化率为mn.求证f(x)是一个二次函数证明函数f(x)在区间m，n上的平均变化率为mn.变形得f(n)f(m)n2m2，f(n)n2f(m)m2.令f(n)n2f(m)m2c，c为常数，所以有f(x)x2c.所以函数f(x)是一
4、个二次函数9已知函数f(x)的定义域为R，而且f(x)在任意区间内的平均变化率均比g(x)3x4在同一区间内的平均变化率大，判断f(5)f(2)与9的相对大小解函数g(x)3x4在R上的平均变化率为3.根据题意，函数f(x)在2,5上的平均变化率大于3.即3.所以f(5)f(2)9.一、选择题1函数f(x)从x到x2的平均变化率为()A2 B. C. D.答案B解析由题意知函数f(x)从x到x2的增量为ff(2)f211，f(x)从x到x2的平均变化率为，故选B.2质点运动规律S(t)t23，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为()A6.3 B36.3C3.3 D9.3答案A解析S(3)12
5、，S(3.3)13.89，平均速率6.3.故选A.3已知函数f(x)x22x，函数f(x)从2到2x的平均变化率为()A2x B2xC2x D(x)22x答案B解析x2.故选B.4四个函数在第一象限中的图像如图所示，a，b，c，d所表示的函数可能是()Aa：y2x，b：yx2，c：y，d：y2xBa：yx2，b：y2x，c：y2x，d：yCa：yx2，b：y2x，c：y，d：y2xDa：y2x，b：yx2，c：y2x，d：y答案C解析a，c对应的是幂函数，a的指数大于1，c的指数大于0小于1；b和d对应的函数是指数函数，且b中的底数大于1，d中的底数大于0小于1.5f(x)x2，g(x)2x，
6、h(x)log2x，当x(4，)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()Af(x)g(x)h(x) Bg(x)f(x)h(x)Cg(x)h(x)f(x) Df(x)h(x)g(x)答案B解析画出函数的图像，当x(4，)时，指数函数的图像位于二次函数图像的上方，二次函数的图像位于对数函数图像的上方，故g(x)f(x)h(x)二、填空题6过函数f(x)2x图像上两点A(0,1)，B(1,2)，则直线AB的斜率为_答案1解析直线AB的斜率为函数f(x)，在区间0,1上的平均变化率1.7四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x151015202530y12261012
7、26401626901y22321024327681.051063.361071.07109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907关于x呈指数型函数变化的变量是_答案y2解析以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图像可知变量y2关于x呈指数型函数变化8如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是_在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；在0到t
8、0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度；在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度答案解析在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为，故错误；在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为.因为s2s0s1s0，t1t00，所以，故正确，错误三、解答题9已知函数f1(x)2x，f2(x)x2，f3(x)3x，f4(x)x3，分别计算这两个函数在区间2,4上的平均变化率，并比较它们的大小解6，6，36.28.所以在区间2,4上的平均变化率由大到小依次为.10已知函数f(x)的定义域为(0，)，而且f(x)在定义域内的任意区间上的平均变化率均比g(x)x2x1在同一区间内的平均变化率大，求证：f(4)f(2)10.证明函数g(x)在区间2,4上的平均变化率为5.根据题意，函数f(x)在区间2,4上的平均变化率5，所以f(4)f(2)10.