1、第二章2.32.3.2 一、选择题1下列命题中：两个相交平面组成的图形叫做二面角；异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角相等或互补；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系，其中正确的是()A BC D答案B解析对，显然混淆了平面与半平面的概念，是错误的；对，由于a，b分别垂直于两个面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角(或直角)，所以应是相等或互补，是正确的；对，因为不垂直于棱，所以是错误的；是正确的，故选B.点评根据二面角的相关概念进行分析判定2以下三个命题中，正
2、确的命题有()一个二面角的平面角只有一个；二面角的棱垂直于这个二面角的平面角所在的平面；分别在二面角的两个半平面内，且垂直于棱的两直线所成的角等于二面角的大小A0个 B1个C2个 D3个答案B解析仅正确3已知，是平面，m、n是直线，给出下列表述：若m，m，则；若m，n，m，n，则；如果m，n，m，n是异面直线，那么n与相交；若m，nm，且n，n，则n且n.其中表述正确的个数是()A1 B2C3 D4答案B解析是平面与平面垂直的判定定理，所以正确；中，m，n不一定是相交直线，不符合两个平面平行的判定定理，所以不正确；中，还可能n，所以不正确；中，由于nm，n，m，则n，同理n，所以正确4正方体A
3、1B1C1D1ABCD中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1BDA的正切值等于()A BC D答案C解析设AC、BD交于O，连A1O，BDAC，BDAA1，BD平面AA1O，BDA1O，A1OA为二面角的平面角tanA1OA，选C.5(20132014福建泉州质量检测)在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论中不成立的是()ABC平面PDF BDF平面PAEC平面PDF平面ABC D平面PAE平面ABC答案C解析可画出对应图形，如图所示，则BCDF，又DF平面PDF，BC平面PDF，BC平面PDF，故A成立；由AEBC，PEBC，BCDF，知DFAE，
4、DFPE，DF平面PAE，故B成立；又DF平面ABC，平面ABC平面PAE，故D成立6在二面角l中，A，AB平面于B，BC平面于C，若AB6，BC3，则二面角l的平面角的大小为()A30 B60C30或150 D60或120答案D解析如图，AB，ABl，BC，BCl，l平面ABC，设平面ABClD，则ADB为二面角l的平面角或补角，AB6，BC3，BAC30，ADB60，二面角大小为60或120.二、填空题7在三棱锥PABC中，已知PAPB，PBPC，PCPA，如右图所示，则在三棱锥PABC的四个面中，互相垂直的面有_对答案3解析PAPB，PAPC，PBPCP，PA平面PBC，PA平面PAB，
5、PA平面PAC，平面PAB平面PBC，平面PAC平面PBC.同理可证：平面PAB平面PAC.8如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，BC2，AA11，E，F分别在AD和BC上，且EFAB，若二面角C1EFC等于45，则BF_.答案1解析AB平面BC1，C1F平面BC1，CF平面BC1，ABC1F，ABCF，又EFAB，C1FEF，CFEF，C1FC是二面角C1EFC的平面角，C1FC45，FCC1是等腰直角三角形，CFCC1AA11.又BC2，BFBCCF211.9如图，四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD，且PAABa.(1)二面角APDC的度数为_(2)二面角BPAD的度数为_
6、(3)二面角BPAC的度数为_(4)二面角BPCD的度数为_答案90；90；45；120解析(1)PA平面ABCD，PACD.又四边形ABCD为正方形，CDAD，CD平面PAD，又CD平面PCD，平面PAD平面PCD，二面角APDC为90.(2)PA平面ABCD，ABPA，ADPA，BAD为二面角BAPD的平面角又BAD90，二面角BAPD为90.(3)PA平面ABCD，ABPA，ACPA，BAC为二面角BPAC的平面角，又四边形ABCD为正方形，BAC45，即二面角BPAC为45.(4)作BEPC于E，连DE，则由PBCPDC知BPEDPE，从而PBEPDE，DEPBEP90，且BEDE，B
7、ED为二面角BPCD的平面角PA平面ABCD，PABC，又ABBC，BC平面PAB，BCPB，BEa，BDa，取BD中点O，则sinBEO，BEO60，BED120二面角BPCD的度数为120.三、解答题10(2013山东)如图，四棱锥PABCD中，ABAC，ABPA，ABCD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点求证：平面EFG平面EMN.分析本题可以根据已知条件证明AB平 EFG，然后利用MNAB得到平面EFG平面EMN.证明因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA.又ABPA，所以ABEF.同理可证ABFG.又EFFGF，EF平面EFG，FG平面EFG，因此A
8、B平面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点，所以MNCD.又ABCD，所以MNAB，因此MN平面EFG.又MN平面EMN，所以平面EFG平面EMN.11(2013天津)如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABDC，ABAD，ADCD1，AA1AB2，E为棱AA1的中点(1)证明B1C1CE；(2)求二面角B1CEC1的正弦值分析(1)可考虑证明B1C1平面CC1E，由线面垂直推论线线垂直；(2)先作出二面角的平面角，再通过解三角形求解解析(1)因为侧棱CC1底面A1B1C1D1，B1C1平面A1B1C1D1，所以CC1B1C1.经计算可得B1E，B1C1，EC1，
9、从而B1E2B1CEC，所以在B1EC1中，B1C1C1E，又CC1，C1E平面CC1E，CC1C1EC1，所以B1C1平面CC1E.又CE平面CC1E，故B1C1CE.(2)如图所示，过B1作B1GCE于点G，连接C1G.由(1)知，B1C1CE，故CE平面B1C1G，得CEC1G，所以B1GC1为二面角B1CEC1的平面角在CC1E中，由CEC1E，CC12，可得C1G.在RtB1C1G中，B1G，所以sinB1GC1，即二面角B1CEC1的正弦值为.12如图，在四棱锥PABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PDa，PAPCa，求证：(1)PD平面ABCD；(2)平面PAC平面PBD；(
10、3)二面角PBCD是45的二面角分析解答本题第(1)(2)问可先根据需证问题寻找相关元素，再由判定定理进行判定第(3)问可先找出二面角的平面角，再证明平面角等于45.证明(1)PDa，DCa，PCa，PC2PD2DC2.PDDC.同理可证PDAD，又ADDCD，PD平面ABCD.(2)由(1)知PD平面ABCD，PDAC.而四边形ABCD是正方形，ACBD.又BDPDD，AC平面PBD.又AC平面PAC，平面PAC平面PBD.(3)由(1)知PDBC，又BCDC，BC平面PDC.BCPC.PCD为二面角PBCD的平面角在RtPDC中，PDDCa，PCD45.二面角PBCD是45的二面角规律总结：本题是涉及线面垂直、面面垂直、二面角的求法等诸多知识点的一道综合题，解决这类问题的关键是转化：线线垂直线面垂直面面垂直