1、两条直线的位置关系考试要求1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1l2k1k21.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1l2.2两条直线的交点的求法直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(
2、A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解3三种距离公式(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|.特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|.(2)点P(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d.(3)两条平行线AxByC10与AxByC20间的距离d.直线系方程的常见类型(1)过定点P(x0，y0)的直线系方程是：yy0k(xx0)(k是参数，直线系中未包括直线xx0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；(2)平行于已知直线AxByC0的直线系方程是：AxBy0(是参数且C)；(3)垂直于已知直
3、线AxByC0的直线系方程是：BxAy0(是参数)；(4)过两条已知直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程是：A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R，但不包括l2)一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，那么它们的斜率之积一定等于1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交()(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离()答案(1)(2)(3) (4)二、教材习题衍生1已知点(a,2)(a0)到直线l：xy30的距离为
4、1，则a等于()A B2 C1 D1C由题意得1，即|a1|，又a0，a1.2已知P(2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线xy10，则m .1由题意知1，所以m42m，所以m1.3若三条直线y2x，xy3，mx2y50相交于同一点，则m的值为 9由得所以点(1,2)满足方程mx2y50，即m12250，所以m9.4已知直线3x4y30与直线6xmy140平行，则它们之间的距离是 2由两直线平行可知，即m8.两直线方程分别为3x4y30和3x4y70，则它们之间的距离d2. 考点一两条直线的位置关系 由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1xB1yC10(AB0)l2：A2xB
5、2yC20(AB0)l1与l2平行的充要条件A1B2A2B10且A1C2A2C1l1与l2垂直的充要条件A1A2B1B20l1与l2相交的充要条件A1B2A2B1l1与l2重合的充要条件A1B2A2B1且A1C2A2C11设aR，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件A当a1时，显然l1l2，若l1l2，则a(a1)210，所以a1或a2.所以a1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件2若直线l1：(a1)xy10和直线l2：3xay20垂直，则实数a的值为()A B C DD由已知得3
6、(a1)a0，解得a.3已知三条直线l1：2x3y10，l2：4x3y50，l3：mxy10不能构成三角形，则实数m的取值集合为()A BC DD三条直线不能构成一个三角形，当l1l3时，m；当l2l3时，m；当l1，l2，l3交于一点时，也不能构成一个三角形，由得交点为，代入mxy10，得m.故选D点评：解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想” 考点二两条直线的交点与距离问题 1.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程2点到直线、两平行线间的距离
7、公式的使用条件(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等典例1(1)(2020全国卷)点(0，1)到直线yk(x1)距离的最大值为()A1 B C D2(2)直线l过点P(1,2)且到点A(2,3)和点B(4,5)的距离相等，则直线l的方程为 (3)已知两直线a1xb1y10和a2xb2y10的交点为P(2,3)，则过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直线方程为 (1)B(2)x3y50或x1(3)2x3y10(1)法一：由点到直线的距离公式知点(0，1)到直线yk(x1)的距离d.当k0时，d1；当k0时
8、，d，要使d最大，需k0且k最小，当k1时，dmax，故选B法二：记点A(0，1)，直线yk(x1)恒过点B(1,0)，当AB垂直于直线yk(x1)时，点A(0，1)到直线yk(x1)的距离最大，且最大值为|AB|，故选B(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由题意知，即|3k1|3k3|，k，直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，也符合题意(3)P(2,3)在已知的两条直线上，点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)是直线2x3y1上的两个点，故过Q1，Q2两点的直线方程为2x3y1.点评：本例(3)在求解
9、中巧妙应用了两点确定一条直线的原理，学习中应反思这个解题要点1若P，Q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点，则|PQ|的最小值为()A B C DC因为，所以两直线平行，将直线3x4y120化为6x8y240，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即，所以|PQ|的最小值为.2经过两条直线l1：xy40和l2：xy20的交点，且与直线2xy10垂直的直线方程为 x2y70由得l1与l2的交点坐标为(1,3)设与直线2xy10垂直的直线方程为x2yC0，则123C0，C7.所求直线方程为x2y70. 考点三对称问题 对称问题的求解方法(1)点关于点：点P(x，y)关于点
10、Q(a，b)的对称点P(x，y)满足(2)线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决(3)点关于线：点A(a，b)关于直线AxByC0(B0)的对称点A(m，n)，则有(4)线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决中心对称问题典例21过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，则直线l的方程为 x4y40设l1与l的交点为A(a,82a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(a,2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x4y40.点评：
11、点关于点的对称问题常常转化为中心对称问题，利用中点坐标公式求解轴对称问题典例22(1)已知直线y2x是ABC中角C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(4,2)，(3,1)，则点C的坐标为()A(2,4) B(2，4)C(2,4) D(2，4)(2)已知入射光线经过点M(3,4)，被直线l：xy30反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为 (1)C(2)6xy60(1)设A(4,2)关于直线y2x的对称点为A(x，y)，则解得A(4，2)，由题意知，A在直线BC上，BC所在直线方程为y1(x3)，即3xy100.联立解得则C(2,4)(2)设点M(3,4)关于直线l：
12、xy30的对称点为M(a，b)，则反射光线所在直线过点M，所以解得a1，b0.即M (1,0)又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为，即6xy60.点评：在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解1.如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A3 B6 C2 D2C直线AB的方程为xy4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(2，0)，则光线经过的路程为|CD|2.2若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则mn .由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y2x3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是解得故mn.