1、课时作业50证明平行与垂直一、选择题1若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，能使l的是()Aa(1，0，0)，n(2，0，0)Ba(1，3，5)，n(1，0，1)Ca(0，2，1)，n(1，0，1)Da(1，1，3)，n(0，3，1)解析：若l，则an0，D中，an10(1)3310，an.答案：D2已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC的一个单位法向量是()A.B.C.D.解析：因为A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，所以AB(1，1，0)，AC(1，0，1)经验证，当n时，nAB00，nAC00，故选D.答案：D3若ABCDCE，则直线
2、AB与平面CDE的位置关系是()A相交B平行C在平面内 D.平行或在平面内解析：ABCDCE，AB，CD，CE共面则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内答案：D4如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA1，AD2，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则AM与PM的位置关系为()A平行B异面C垂直D以上都不对解析：以D点为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，依题意，可得D(0，0，0)，P(0，1，)，C(0，2，0)，A(2，0，0)，M(，2，0)PM(，2，0)(0，1，)(，1，)，AM(，2，0)(2，0，0)
3、(，2，0)，PMAM(，1，)(，2，0)0，即PMAM，AMPM.答案：C5如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB，AF1，M在EF上，且AM平面BDE.则M点的坐标为()A(1，1，1)B.C.D.解析：设ACBDO，连接OE，由AM平面BDE，且AM平面ACEF，平面ACEF平面BDEOE，AMEO，又O是正方形ABCD对角线交点，M为线段EF的中点在空间坐标系，E(0，0，1)，F(，1)由中点坐标公式，知点M的坐标.答案：C6如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1EA1D，AFAC，则()AEF至多与A1D，AC之一垂直BEFA
4、1D，EFACCEF与BD1相交DEF与BD1异面解析：以D点为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A1(1，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，F，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，A1D(1，0，1)，AC(1，1，0)，EF，BD1(1，1，1)，EFBD1，A1DEFACEF0，从而EFBD1，EFA1D，EFAC.故选B.答案：B二、填空题7已知平面内的三点A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面的一个法向量n(1，1，1)则不重合的两个平面与的位置关系是_解析：AB(0
5、，1，1)，AC(1，0，1)，nAB0，nAC0，nAB，nAC，故n也是的一个法向量又与不重合，.答案：平行8已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB(2，1，4)，AD(4，2，0)，AP(1，2，1)对于结论：APAB；APAD；AP是平面ABCD的法向量；APBD.其中正确的是_解析：ABAP0，ADAP0.ABAP，ADAP，则正确又AB与AD不平行，AP是平面ABCD的法向量，则正确由于BDADAB(2，3，4)，AP(1，2，1)，BD与AP不平行，故错误答案：9如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E平面ABF
6、，则CE与DF的和的值为_解析：以D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设CEx，DFy，则易知E(x，1，1)，B1(1，1，0)，所以B1E(x1，0，1)，又F(0，0，1y)，B(1，1，1)，所以FB(1，1，y)，由于ABB1E，故若B1E平面ABF，只需FBB1E(1，1，y)(x1，0，1)0xy1.答案：1三、解答题10如图所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点求证：(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF.证明：(1)如图建立空间直角坐标系Ax
7、yz，令ABAA14，则A(0，0，0)，E(0，4，2)，F(2，2，0)，B(4，0，0)，B1(4，0，4)取AB中点为N，连接CN，则N(2，0，0)，C(0，4，0)，D(2，0，2)，DE(2，4，0)，NC(2，4，0)，DENC，DENC，又NC平面ABC，DE平面ABC.故DE平面ABC.(2)B1F(2，2，4)，EF(2，2，2)，AF(2，2，0)，B1FEF(2)22(2)(4)(2)0，B1FAF(2)222(4)00.B1FEF，B1FAF，即B1FEF，B1FAF，又AFEFF，B1F平面AEF.11如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，
8、ADDE2AB，F为CD的中点(1)求证：AF平面BCE；(2)求证：平面BCE平面CDE.证明：设ADDE2AB2a，建立如图所示的坐标系Axyz，则A(0，0，0)，C(2a，0，0)，B(0，0，a)，D(a，a，0)，E(a，a，2a)F为CD的中点，F.(1)AF，BE(a，a，a)，BC(2a，0，a)，AF(BEBC)，又AF平面BCE，AF平面BCE.(2)AF，CD(a，a，0)，ED(0，0，2a)，AFCD0，AFED0，AFCD，AFED，CDEDD，AF平面CDE，又AF平面BCE，平面CDE平面BCE.1在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，
9、PDDC，E，F分别是AB，PB的中点(1)求证：EFCD.(2)在平面PAD内是否存在一点G，使GF平面PCB，若存在，请求出G的位置；若不存在，请说明理由解：如图，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设ADa，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E，P(0，0，a)，F.(1)EF，DC(0，a，0)EFDC0，所以EFDC，即EFCD.(2)假设点G存在设G(x，0，z)，则FG，因为GF平面PCB，则由FGCB(a，0，0)a0，得x；由FGCP(0，a，a)a0，得z0.所以G点坐标为，即G点为AD的中点2如图，在
10、棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DPBQ(02)(1)当1时，证明：直线BC1平面EFPQ；(2)是否存在，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由解：以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.由已知得B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(1，0，0)，P(0，0，)，则BC1(2，0，2)，FP(1，0，)，FE(1，1，0)(1)证明：当1时，FP(1，0，1)，因为BC1(2，0，2)，所以BC12FP，即BC1FP.而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ，故直线BC1平面EFPQ.(2)设平面EFPQ的一个法向量为n(x，y，z)，则由可得于是可取n(，1)同理可得平面MNPQ的一个法向量为m(2，2，1)若存在，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则mn(2，2，1)(，1)0，即(2)(2)10，解得1.故存在1，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角