1、方法二 临界、极值问题的分析方法方法概述运用数学工具处理物理问题的能力是高考重点考查的能力之一，其中临界、极值问题的考查往往比较复杂，通常属于中档题或是难度较大的题。求解物理极值问题可以从数学角度思考，也可以从物理过程的分析着手。通常涉及的数学知识和方法有：点到直线的距离最短，两数的几何平均值小于或等于它们的算术平均值，二次函数求极值的方法，求导数，因式分解，三角函数，几何作图法，有关圆的知识等等。求解临界问题我们常采用极限思维的方法，将其变化过程引向极端的情况，就能使比较隐蔽的条件或临界现象暴露出来，从而有助于结论的迅速取得。限时训练1.多选如图所示，质量m1 kg的物块在与水平方向夹角为3
2、7的推力F作用下静止于墙壁上，物块与墙之间的动摩擦因数0.5，若物块与墙面间的最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，则推力F大小可能是()A5 N B15 NC35 N D55 N解析：选 BC 当 F 较大时，物块会有向上滑动趋势，摩擦力向下。若物块恰不上滑，则力 F 有最大值(受力如图甲所示)，FNFmaxcos，Fmaxsin Ffmg，又 FfFN，解得 Fmax50 N；当力 F 较小时，物块有向下滑动趋势，摩擦力向上，若物块恰不下滑，则力 F 有最小值(受力如图乙所示)，由平衡条件可得，FNFmincos，Fminsin Ffmg，又 FfFN，解得 Fmin10 N，；所以使物块静止于墙
3、面上推力 F 的范围为 10 NF50 N，B、C正确。2.(2015阜阳模拟)如图所示，有缺口的圆轨道BCD是光滑的。圆轨道半径为R，D是圆轨道的最高点，缺口DB所对的圆心角为90，把一个小球从B点的正上方某处由静止释放，要想使它运动到D点后再落到B点，则下列说法正确的是()A释放点需与D点等高B.释放点需比D点高R4C释放点需比 D 点高R2D使小球经 D 点后再落到 B 点是不可能的解析：选 D D 点的最小速度 v gR，由平抛运动规律得 R12gt2，xvt，解得 x gR2Rg 2R。所以使小球经 D 点后再落到 B 点是不可能的，D 项正确。3甲、乙两地相距 L200 km，汽车
4、以速度 v140 km/h从甲地向着正西方的乙地行驶，同时有一摩托车以速度 v230 km/h 从乙地向着正南方行驶，则两车相距最近距离为()A80 km B100 kmC120 km D140 km解析：选 C 设经时间 t 后两车相距为 s，则由图可知：s2(Lv1t)2(v2t)2(v21v22)t22Lv1tL2，v21v220，根据二次三项式的性质，s2 有极小值。当 t2Lv12v21v22165 h 时，两车相距最近，s2min4v21v22L24L2v214v21v2214400 km2，即 smin120 km，C 项正确。4.(2015东城区模拟)如图所示，电动势为 E、内
5、阻为 r 的电池与定值电阻 R0、滑动变阻器 R 串联，已知 R0r，滑动变阻器的最大阻值是 2r。当滑动变阻器的滑片 P 由 a 端向 b 端滑动时，下列说法中正确的是()A路端电压变大B电路中的电流变小C滑动变阻器消耗的功率变小D定值电阻 R0 上消耗的功率变小解析：选 C 当滑片 P 由 a 端向 b 端滑动时，接入电路的总电阻减小，电路中的电流增大，B 错误；由 U 外EIr 可知，路端电压减小，A 错误；由 PI2R0 可知，R0 上消耗的功率变大，D错误；当 rR0RP 时，滑动变阻器消耗的功率最大，即刚开始滑片处于 a 端时，滑动变阻器消耗的功率最大，随后一直减小，C 正确。5.
6、如图所示，一根质量为 m、长为 L 的匀质链条，位于光滑的水平桌面上，一端绕过光滑的定滑轮，且少许下垂于桌子边缘，链条从静止开始下滑，设桌面足够高，则链条在下滑的过程中，对滑轮产生的最大压力是()A.14mg B.24 mgC.22 mg Dmg解析：选 B 设链条的下垂部分和桌面部分的质量分别为m1、m2，由牛顿第二定律得，m1gFTm1a，FTm2a，解得FT m1m2m1m2gm1m2m g，因为 m1m2m(定值)，只有当 m1m2m2时，链条对滑轮的压力最大，此时 FTmmg4，所以链条对滑轮的最大压力为 2FTm 24 mg，B 正确。6一物体质量为 m，置于倾角为 的斜面上，物体
7、与斜面间的动摩擦因数为，若要使物体沿斜面匀速向上滑动，则拉力的最小值为()A.sin cos mg12B.sin cos mg12C.sin cos mg12D.sin cos mg12解析：选 A 设拉力与斜面的夹角为，物体的受力分析如图所示。由物体的平衡条件可得，Fcos(mgcos Fsin)mgsin 0，解得 Fsin cos mgcos sin，令1tan，则 cos sin 12sin()12，拉力的最小值 Fminsin cos 12mg，A 项正确。7.(2015福州模拟)如图所示，长方体发电导管的前后两个侧面是绝缘体，上下两个侧面是电阻可忽略的导体电极，两极间距为d，极板面
8、积为S，这两个电极与可变电阻R相连。在垂直前后侧面的方向上，有一匀强磁场，磁感应强度大小为B。发电导管内有电阻率为的高温电离气体，气体以速度v向右流动，并通过专用管道导出。由于运动的电离气体，受到磁场的作用，将产生大小不变的电动势。若不计气体流动时的阻力，由以上条件可推导出可变电阻消耗的电功率PvBdSRSd2R。调节可变电阻的阻值，要看上面的公式或你学过的物理知识，可求得可变电阻R消耗电功率的最大值为()A.v2B2dS3B.v2B2dS4C.v2B2dS5D.v2B2dS6解析：选 B PvBdSRSd2RvBdS2RS22d2R 2Sd，因为当RS22d2R 即 RSd 时，RS22d2
9、R 2Sd，此时 Pmaxv2B2dS4，B 项正确。8如图所示，在电场强度 E5 N/C 的匀强电场和磁感应强度 B2 T 的匀强磁场中，沿平行于电场、垂直于磁场方向放一长绝缘杆，杆上套一个质量 m104 kg、带电荷量 q2104 C 的小球，小球与杆间的动摩擦因数取 0.2，g取 10 m/s2，则下列关于小球从静止开始沿杆运动的加速度和速度叙述不正确的是()A小球的加速度先增大，后减小B小球沿杆运动的最大加速度为 10 m/s2C小球的速度一直增大D小球最后以 15 m/s 的速度做匀速运动解析：选 C 带电小球在竖直方向上受力平衡，开始沿水平方向运动的瞬时加速度 a1qEmgm8 m
10、/s2，小球开始运动后加速度 a2qEmgqvBm，由于小球做加速运动，洛伦兹力 F 洛增大，摩擦力 Ff 逐渐减小，当 mgF 洛时，Ff0，加速度最大，其最大值为 a3qEm 10 m/s2。随着速度 v 的增大，F 洛mg，杆对小球的弹力 FN 改变方向，又有摩擦力作用，其加速度 a4qEqvBmgm，可见摩擦力Ff 随 v 的增大而增大，a4 逐渐减小。当 FfF 电qE 时，加速度a50，此时速度最大，此后做匀速运动。由 qE(qvBmg)，解得 v15 m/s，可见，小球沿杆运动的加速度由 8 m/s2 逐渐增大到 10 m/s2，接着又逐渐减小到零，最后以 15 m/s 的速度做
11、匀速运动，故选项 C 不正确。9(2015宝鸡模拟)如图所示，质量为 m 的物体，放在一固定斜面上，当斜面倾角为 30时恰能沿斜面匀速下滑。对物体施加一大小为 F 的水平向右恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角 0 时，不论水平恒力 F 多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，试求：(1)物体与斜面间的动摩擦因数；(2)这一临界角 0 的大小。解析：(1)对物体受力分析，由平衡条件得：mgsin 30mgcos 30解得 tan 30 33(2)设斜面倾角为 时，受力情况如图所示，由平衡条件得：Fcos mgsin FfFNmgcos Fsin
12、 FfFN解得 Fmgsin mgcos cos sin 当 cos sin 0，即 cot 33 时，F，即“不论水平恒力 F 多大，都不能使物体沿斜面向上滑行”，此时，临界角 060答案：(1)33 (2)6010如图甲所示，两足够长平行光滑的金属导轨 MN、PQ相距为 0.8 m，导轨平面与水平面夹角为，导轨电阻不计。有一个匀强磁场垂直导轨平面斜向上，长为 1 m 的金属棒 ab 垂直于 MN、PQ 放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为 0.1 kg、与导轨接触端间电阻为 1。两金属导轨的上端连接右端电路，电路中 R2 为一电阻箱。已知灯泡的电阻 RL4，定值电阻 R12，
13、调节电阻箱使 R212，重力加速度 g 取 10 m/s2。将开关 S 打开，金属棒由静止释放，1 s 后闭合开关，如图乙所示为金属棒的速度随时间变化的图象。求：(1)斜面倾角 及磁感应强度 B 的大小；(2)改变电阻箱 R2 的值，当 R2 为何值时，金属棒匀速下滑时 R2 消耗的功率最大，消耗的最大功率为多少？解析：(1)由题图可知，金属棒的加速度在闭合电键以前为a5 m/s2对金属棒受力分析，由牛顿第二定律得 agsin 解得 sin 12即斜面倾角 30闭合电键后，金属棒受到的安培力 F 安BIL,其中 IBLvmR总R 总RabR1 R2RLR2RL6 由题图乙可知，金属棒的最大速度为 vm18.75 m/s当金属棒匀速下滑时速度最大，则mgsin F 安解得B0.5 T(2)改变电阻箱 R2 的值后，设干路电流为 I 总，则mgsin BI 总LR 并 R2RLR2RL 4R24R2R2 消耗的功率P2U2并R2I总R并2R2mgsin BL21616R28R2当16R2R2，即 R24 时，R2 消耗的功率最大为P2m2516 W1.56 W答案：(1)30 0.5 T(2)4 1.56 W
