1、-1-5.2 估计总体的数字特征-2-5.2 估计总体的数字特征 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 课程目标学习脉络1.理解样本数据的方差、标准差的意义与作用.2.能针对实际问题合理选取样本,会计算样本数据的数字特征(平均数、标准差),并作出合理解释.3.会用样本的数字特征估计总体的数字特征.-3-5.2 估计总体的数字特征 JICHU ZHISHI基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 1.样本数据的数字特征(1)样本平均数n 个样本数据 x1
2、,x2,xn 的平均数=1(x1+x2+xn),则有 n=x1+x2+xn.-4-5.2 估计总体的数字特征 JICHU ZHISHI基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习(2)样本的方差与标准差样本的方差设样本数据为 x1,x2,xn,样本的平均数为,则样本的方差s2=1(x1-)2+(x2-)2+(xn-)2.样本的标准差样本方差的算术平方根即为样本的标准差,即s=(1-)2+(2-)2+(-)2.-5-5.2 估计总体的数字特征 JICHU ZHISHI基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 SUITANG
3、 LIANXI随堂练习 点拨正确理解样本数据的几个数字特征:(1)样本平均数是刻画一组数据集中趋势最常用的统计量,描述了样本数据的平均水平,对数据有“取齐”的作用;(2)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大,数据的离散程度越大;标准差、方差越小,数据的离散程度越小;(3)标准差、方差的取值范围:0,+).标准差、方差为 0 时,样本各数据全相等,表明数据没有波动幅度,数据没有离散性;(4)因为方差与原始数据的单位不同,且平方后可能夸大了偏差的程度,所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的,但在解决实际问题时,一般多采用标准差.-6-5.2 估计总体的数
4、字特征 JICHU ZHISHI基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 2.估计总体的数字特征利用随机抽样得到样本,从样本数据得到的分布、平均数和标准差(通常称之为样本分布、样本平均数和样本标准差)并不是总体真正的分布、平均数和标准差,而只是总体的一个估计,但这个估计是合理的,特别是当样本容量很大时,它们确实反映了总体的信息.-7-5.2 估计总体的数字特征 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 用样本的数字特征估计总体的数字
5、特征1.计算样本的平均数、方差、标准差等数字特征时,应利用相应的公式,将数据代入计算即可.2.样本的平均数和标准差是两个重要的数字特征.在应用平均数和标准差解决实际问题时,若平均数不同,则直接应用平均数比较优劣,若平均数相同,则要由标准差研究其与平均数的偏离程度.-8-5.2 估计总体的数字特征 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三【典型例题 1】甲、乙两台机床同时加工直径为 100 mm 的零件,为了检验产品的质量,从产品中各随机抽取 6 件进行测量,测得数据如下(单位:mm):甲:
6、99 100 98 100 100 103乙:99 100 102 99 100 100(1)分别计算上述两组数据的平均数和方差;(2)根据(1)的计算结果,说明哪一台机床加工的这种零件更符合要求.思路分析:利用平均数与方差公式分别进行计算,并作出判断.-9-5.2 估计总体的数字特征 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 解:(1)甲=99+1003+98+1036=100(mm),乙=992+1003+1026=100(mm),甲2=16(99-100)2+(100-100)23+
7、(98-100)2+(103-100)2=73,乙2=16(99-100)22+(100-100)23+(102-100)2=1.(2)因为甲2 乙2,说明甲机床加工的这种零件波动比较大,因此乙机床加工的这种零件更符合要求.-10-5.2 估计总体的数字特征 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 由频率分布直方图估计总体的数字特征1.由于频率分布直方图中没有保留样本的原始数据,所以利用频率分布直方图求众数、中位数、平均数均为近似值,往往与实际数据得出的不一致,但它们能粗略估计其众数、中
8、位数和平均数.2.利用频率分布直方图求众数、中位数、平均数的方法如下:(1)在频率分布直方图中,众数是最高的矩形的底边的中点;(2)在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积相等;(3)平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和.-11-5.2 估计总体的数字特征 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三【典型例题 2】某学校为了调查了解高一新生上学所需时间的情况,从高一新生中随机抽取了部分同学,调查其上学所需时间,获得相应数
9、据,制成了频率分布直方图(如图所示).(1)试计算该校高一新生上学所需时间的平均数、中位数、众数;(2)如果上学所需时间不少于 1 小时的学生可申请在学校住宿,请估计学校 1 200 名新生中有多少名学生可以申请住宿?思路分析:(1)按照频率分布直方图下各种数字特征的求法分别计算;(2)先求上学所需时间不少于 1 小时的频率,再求相应的人数.-12-5.2 估计总体的数字特征 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 解:(1)上学所需时间在0,20),20,40),40,60),60,8
10、0),80,100内的频率分别为 0.012 520=0.25,0.02520=0.5,0.006520=0.13,0.00320=0.06,0.00320=0.06,因此平均数为100.25+300.5+500.13+700.06+900.06=33.6(分);众数为频率最大的一组的组中值,即为 30 分;设中位数为 x,则有 0.25+(x-20)0.025=0.5,解得 x=30,即中位数为 30 分.(2)由频率分布直方图可知,新生上学所需时间不少于 1 小时的频率为(0.003+0.003)20=0.12.因为 1 2000.12=144,所以 1 200 名新生中有144 名学生可
11、以申请住宿.-13-5.2 估计总体的数字特征 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 由茎叶图估计总体的数字特征1.由于茎叶图中保留了样本的原始数据,因此在计算样本数据的数字特征时,可套用公式,代入数据计算可得.2.由茎叶图估计总体分布及数字特征时,可通过样本数据的分布情况及数字特征进行估计.-14-5.2 估计总体的数字特征 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三【典型例题 3
12、】为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况,采用简单随机抽样的方法,从该校 200 名授课教师中抽取 20 名教师,调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数,结果用茎叶图表示(如图).(1)求该样本数据的平均数、中位数、众数;(2)试估计全校教师中,上学期使用多媒体教学次数在15,25)内的人数.-15-5.2 估计总体的数字特征 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 解:(1)该样本数据的平均数=120(7+9+13+13+15+16+17+21+22+24+25+28+28+30+3
13、1+34+37+41+41+42)=24.7;该组数据的中位数为24+252=24.5;该组数据的众数是 13,28,41.(2)由样本数据可知,上学期使用多媒体教学次数在15,25)内的频率为620=310,因此在全校教师中,上学期使用多媒体教学次数在15,25)内的人数估计有 310200=60.-16-5.2 估计总体的数字特征 SUITANG LIANXI随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 1 2 3 4 51.已知 6 个样本数据 5,7,7,8,10,11,则它的标准差为()A.8B.4C.2D.9解析:=8,s=16(3
14、2+12+12+22+32)=2.答案:C-17-5.2 估计总体的数字特征 SUITANG LIANXI随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 1 2 3 4 52.已知用分层抽样抽取了容量为 10 的样本,若其平均数为 5.1,方差为 0.2,则由样本的平均数与方差可估计总体的平均数与方差分别是()A.5.1,0.2B.0.2,0.2C.5.1,2D.0.2,5.1答案:A-18-5.2 估计总体的数字特征 SUITANG LIANXI随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 1
15、2 3 4 53.某校从甲、乙两班各随机抽取了 5 名学生的某课程的学分,用茎叶图表示(如右图).s1,s2 分别表示甲、乙两班各5 名学生学分的标准差,则 s1 s2.(填“”“”或“=”)解析:由茎叶图可计算得甲=14,乙=14,则 s1=15(62+32+02+12+82)=22,s2=15(82+72+42+102+92)=62,所以 s1s2.答案:-19-5.2 估计总体的数字特征 SUITANG LIANXI随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 1 2 3 4 54.样本容量为 100 的频率分布直方图如图所示,根据样本频
16、率分布直方图估计:样本数据落在11,15)内的频数为 ;众数为 ;中位数为 ;平均数为 .(每组数用该组中间的数代替)-20-5.2 估计总体的数字特征 SUITANG LIANXI随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 1 2 3 4 5解析:样本数据落在11,15)内的频数为(0.10+0.20)2100=60;众数就是出现频率最高的数,为13+152=14;中位数就是位于中间的数或中间两数的平均数,由图可知为 14;样本数据落在各区间内的频数分别为 6,20,40,24,10,平均数为 1100(610+2012+4014+2416
17、+1018)=14.24.答案:60 14 14 14.24-21-5.2 估计总体的数字特征 SUITANG LIANXI随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 1 2 3 4 55.某校为了了解甲、乙两班的数学学习情况,从两班抽出 10 名学生进行数学水平测试,成绩如下(单位:分):甲班:82 84 85 89 79 80 91 89 79 74乙班:90 76 86 81 84 87 86 82 85 83(1)求两个样本的平均数;(2)求两个样本的方差和标准差;(3)试分析比较两个班的学习情况.-22-5.2 估计总体的数字特征
18、SUITANG LIANXI随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 1 2 3 4 5解:(1)甲=110(82+84+85+89+79+80+91+89+79+74)=83.2,乙=110(90+76+86+81+84+87+86+82+85+83)=84.(2)甲2=110(82-83.2)2+(84-83.2)2+(85-83.2)2+(89-83.2)2+(79-83.2)2+(80-83.2)2+(91-83.2)2+(89-83.2)2+(79-83.2)2+(74-83.2)2=26.36,-23-5.2 估计总体的数字特征 SUITANG LIANXI随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 1 2 3 4 5乙2=110(90-84)2+(76-84)2+(86-84)2+(81-84)2+(84-84)2+(87-84)2+(86-84)2+(82-84)2+(85-84)2+(83-84)2=13.2,所以 s 甲=26.365.13,s 乙=13.23.63.(3)由于甲 s 乙,则甲班没有乙班稳定.所以乙班的总体学习情况比甲班好.