1、第3讲导数及其应用1.(2016四川改编)已知a为函数f(x)x312x的极小值点，则a_.答案2解析f(x)x312x，f(x)3x212，令f(x)0，则x12，x22.当x(，2)，(2，)时，f(x)0，则f(x)单调递增；当x(2,2)时，f(x)0，则f(x)单调递减，f(x)的极小值点为a2.2.(2016课标全国乙改编)若函数f(x)xsin 2xasin x在(，)上单调递增，则a的取值范围是_.答案解析函数f(x)xsin 2xasin x在(，)上单调递增，f(x)1cos 2xacos x1(2cos2x1)acos xcos2xacos x0，即acos xcos2x
2、在(，)恒成立.当cos x0时，恒有0，得aR；当0cos x1时，得acos x，令tcos x，f(t)t在(0,1上为增函数，得af(1)；当1cos x0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)x3在(，)上单调递增，但f(x)0.2.f(x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f(x)0时，则f(x)为常函数，函数不具有单调性.例2设函数f(x)xekx (k0).(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)若函数f(x)在区间(1,1)内单调递增，求k的取值范围.解(1)由题意可得f(x)(1kx)
3、ekx，f(0)1，f(0)0，故曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为yx.(2)由f(x)(1kx)ekx0，得x(k0)，若k0，则当x时，f(x)0，函数f(x)单调递增；若k0，函数f(x)单调递增，当x时，f(x)0，则当且仅当1，即k1时，函数f(x)在区间(1,1)内单调递增；若k0或f(x)0，解得x0，即函数f(x)的单调递增区间为(，)(0，).(2)f(x)的定义域为(0，).f(x)4x.由f(x)0，得x.据题意，得解得1k0，右侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极小值.2.设函数yf(
4、x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在a，b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.例3已知函数f(x)ax3ln x，其中a为常数.(1)当函数f(x)的图象在点处的切线的斜率为1时，求函数f(x)在上的最小值；(2)若函数f(x)在区间(0，)上既有极大值又有极小值，求a的取值范围.解(1)f(x)a(x0)，由题意可知，f1，解得a1.故f(x)x3ln x，f(x)，根据题意由f(x)0，得x2.于是可得下表：x2(2,3)3f(x)0f(x)13ln 2f(x)minf(2)13ln 2.(2)f(x)a(x0), 由题意可得方程ax23x20有两个不等的正实根，不
5、妨设这两个根为x1，x2，并令h(x)ax23x2，则解得0a.故a的取值范围为.思维升华(1)求函数f(x)的极值，则先求方程f(x)0的根，再检查f(x)在方程根的左右函数值的符号.(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f(x)0根的大小或存在情况来求解.(3)求函数f(x)在闭区间a，b的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.跟踪演练3已知函数f(x)ln xaxa2x2(a0).(1)若x1是函数yf(x)的极值点，求a的值；(2)若f(x)0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围.解(1)函数的定义域为(0
6、，)，f(x).因为x1是函数yf(x)的极值点，所以f(1)1a2a20，解得a(舍去)或a1.经检验，当a1时，x1是函数yf(x)的极值点，所以a1.(2)当a0时，f(x)ln x，显然在定义域内不满足f(x)0时，令f(x)0，得x1(舍去)，x2，所以x，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，)(，)f(x)0f(x)极大值所以f(x)maxf()ln 1.综上可得，a的取值范围是(1，).1.设函数yf(x)的导函数为f(x)，若yf(x)的图象在点P(1，f(1)处的切线方程为xy20，则f(1)f(1)_.押题依据曲线的切线问题是导数几何意义的应用，是高考考查的热点，对
7、于“过某一点的切线”问题，也是易错易混点.答案4解析依题意有f(1)1,1f(1)20，即f(1)3，所以f(1)f(1)4.2.已知函数f(x)x3ax2bxa27a在x1处取得极大值10，则的值为_.押题依据函数的极值是单调性与最值的“桥梁”，理解极值概念是学好导数的关键.极值点、极值的求法是高考的热点.答案解析由题意知f(x)3x22axb，f(1)0，f(1)10，即解得或经检验满足题意，故.3.已知函数f(x)x2ax3在(0,1)上为减函数，函数g(x)x2aln x在(1,2)上为增函数，则a的值等于_.押题依据函数单调性问题是导数最重要的应用，体现了“以直代曲”思想，要在审题中
8、搞清“在(0,1)上为减函数”与“函数的减区间为(0,1)”的区别.答案2解析函数f(x)x2ax3在(0,1)上为减函数，1，得a2.又g(x)2x，依题意g(x)0在x(1,2)上恒成立，得2x2a在x(1,2)上恒成立，有a2，a2.4.已知函数f(x)x，g(x)x22ax4，若任意x10,1，存在x21,2，使f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围是_.押题依据不等式恒成立或有解问题可以转化为函数的值域解决.考查了转化与化归思想，是高考的一个热点.答案解析由于f(x)10，因此函数f(x)在0,1上单调递增，所以x0,1时，f(x)minf(0)1.根据题意可知存在x1,2，使得g
9、(x)x22ax41，即x22ax50，即a能成立，令h(x)，则要使ah(x)在x1,2能成立，只需使ah(x)min，又函数h(x)在x1,2上单调递减，所以h(x)minh(2)，故只需a.A组专题通关1.设函数f(x)在(0，)内可导，且f(ex)xex，则f(1)_.答案2解析令tex，f(t)tln t(t0)，所以f(x)xln x(x0).f(x)1，f(1)2.2.曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程是_.答案y解析f(x)的导数f(x)，曲线在点(1，f(1)处的切线斜率k0，切点为，曲线在点(1，f(1)处的切线方程为y.3.已知a0，函数f(x)(x22ax)e
10、x.若f(x)在1,1上是单调递减函数，则a的取值范围是_.答案，)解析f(x)exx22(1a)x2a，f(x)在1,1上单调递减，f(x)0在1,1上恒成立.令g(x)x22(1a)x2a，则解得a.4.函数f(x)x33x的极小值为_.答案2解析f(x)3x23，令f(x)0，得x1或x1.当x(1,1)时，f(x)0，函数yf(x)在(，1)或(1，)上是增函数，故当x1时，函数f(x)取得极小值f(1)13312.5.已知函数f(x)xaln x，若曲线yf(x)在点(a，f(a)处的切线过原点，则实数a的值为_.答案e解析因为f(x)1，因此f(a)2ln a1ae.6.已知P(1
11、,1)，Q(2,4)是曲线yx2上的两点，则与直线PQ平行的曲线yx2的切线方程是_.答案4x4y10解析由题意知yx2的导函数为y2x，设切点M(x0，y0)，则y|xx02x0.直线PQ的斜率k1，又切线平行于PQ，2x01，x0，切点M.切线方程为yx，即4x4y10.7.已知函数f(x)x32x，若f(1)f(log3)0(a0且a1)，则实数a的取值范围是_.答案解析因为f(x)3x220，f(x)f(x)，所以f(x)x32x为R上单调递增的奇函数，因此由f(1)f(log3)0得f(1)f(log3)f(loga3)f(loga3)，即1loga3，当a1时，a3，当0a0；x时
12、，y0，故函数在上单调递增，在上单调递减，所以当x时，函数取最大值.9.(2016北京)设函数f(x)xeaxbx，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(e1)x4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间.解(1)f(x)的定义域为R.f(x)eaxxeaxb(1x)eaxb.依题设，即解得a2，be.(2)由(1)知f(x)xe2xex，由f(x)e2x(1xex1)及e2x0知，f(x)与1xex1同号.令g(x)1xex1，则g(x)1ex1.当x(，1)时，g(x)0，g(x)在区间(，1)上单调递减；当x(1，)时，g(x)0，g(x)在区间(1，)上单调递增.故
13、g(1)1是g(x)在区间(，)上的最小值，从而g(x)0，x(，)，综上可知，f(x)0，x(，).故f(x)的单调递增区间为(，).10.已知函数f(x)ln x，x1,3.(1)求f(x)的最大值与最小值；(2)若f(x)4at对任意的x1,3，t0,2恒成立，求实数a的取值范围.解(1)函数f(x)ln x，f(x)，令f(x)0，得x2或x2(舍去).x1,3，当1x2时，f(x)0；当2x0.f(x)在(1,2)上是单调减函数，在(2,3)上是单调增函数，f(x)在x2处取得极小值f(2)ln 2.又f(1)，f(3)ln 3，ln 31，(ln 3)ln 310，f(1)f(3)
14、，当x1时，f(x)取得最大值为.当x2时，f(x)取得最小值为ln 2.(2)由(1)知，当x1,3时，f(x)，故对任意x1,3，f(x)对任意t0,2恒成立，即at恒成立，记g(t)at，t0,2.解得a0时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是_.答案(，1)(0,1)解析设g(x)，则g(x)的导数g(x).当x0时，总有xf(x)0时，g(x)0时，函数g(x)为减函数，又g(x)g(x)，函数g(x)为定义域上的偶函数，又g(1)0，函数g(x)的大致图象如图：数形结合可得，不等式f(x)0xg(x)0或0x1或x1.12.若点P，Q分别是曲线y与直线4xy0上的动点，则线段
15、PQ长的最小值为_.答案解析设两直线4xym与y相切，P为切点.由y得4x1，因此P(1,5)或P(1，3)，m9或m7，两直线4xym,4xy0间距离分别为或，故线段PQ长的最小值为.13.设函数f(x)x3mx2m(m0).(1)当m1时，求函数f(x)的单调减区间；(2)设g(x)|f(x)|，求函数g(x)在区间0，m上的最大值.解(1)当m1时，f(x)x3x21.f (x)3x22xx(3x2).由f (x)0，解得x0或x.所以函数f(x)的减区间是(，0)，(，). (2)依题意m0.因为f(x)x3mx2m，所以f (x)3x22mxx(3x2m).由f (x)0，得x或x0. 当0x时，f (x)0，所以f(x)在(0，)上为增函数；当xm时，f (x)0，所以f(x)在(，m)上为减函数；所以，f(x)极大值f()m3m.当m3mm，即m时，ymaxm3m. 当m3mm，即0m时，ymaxm.综上，ymax