1、北京实验学校（海淀）2019-2020学年度第二学期期末考试高二数学一、单选题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）1. 若复数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得，故选C.2. 抛物线的准线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用的准线方程为，能求出抛物线的准线方程.【详解】，抛物线的准线方程为，即，故选A 【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题.3. 下列函数中为偶函数且在上为增函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】逐个选项判断是否满足条件，即可求出结论.【详
2、解】选项不是偶函数，所以不正确，选项为偶函数，在上为增函数，所以选项正确，选项，在上为减函数，故选:A.【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性，熟练掌握基本初等函数的性质是解题关键，属于基础题.4. 设随机变量的概率分布列为1234 则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：，故选B考点：概率分布5. 函数的零点所在的大致区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据零点存在性定理，判断区间两端点函数值异号即可.【详解】，函数在区间上有零点,故选:B.【点睛】本题考查函数零点所在的区间，零点存在性定理的应用，属于基础题.6. 生物实验室有5只兔子，其中只有3
3、只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解【详解】设其中做过测试的3只兔子为，剩余的2只为，则从这5只中任取3只的所有取法有，共10种其中恰有2只做过测试的取法有共6种，所以恰有2只做过测试的概率为，选B【点睛】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错7. 将1，2，4，7，0这5个数组
4、成不同的五位偶数的个数为（ ）A. 24B. 54C. 60D. 72【答案】C【解析】【分析】按个位数是0和不是0分类讨论【详解】个位数为0的个，个位数从2,4中选一个，然后从其他3个非0数中选一个作首位，剩下3个全排列有个，所以所求五位偶数的个数为故选：C【点睛】本题考查排列组合的应用，解题时要注意特殊位置与特殊元素优先考虑的原则，对本题五位数而言，有两个特殊位置，末位要是偶数字，首位不能为0，因此要优先考虑8. 已知是函数在上的导函数，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由极值的定义得出附近的性质，然后确定在附近的性质，排除错误
5、选项，得出结论【详解】函数在处取得极小值，则，且存在，使得，时，时，（取），这样在时，时，只有C满足排除ABD故选：C【点睛】本题考查导数与极值的关系，属于基础题解题方法是排除法9. 已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由函数在区间是减函数，转化为函数的导数在区间小于等于0恒成立来解.【详解】函数在区间上是减函数，在区间上恒成立，即在区间上恒成立，又，则有，即实数a的取值范围为.故选：B.【点睛】考查导数和函数的单调性，利用导数解决函数的恒成立问题.10. 已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数k的取值范围是（ ）A. B. C
6、. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出函数在处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数和的图象，利用数形结合进行求解即可.【详解】当时，所以函数在处的切线方程为：，令，它与横轴的交点坐标为.在同一直角坐标系内画出函数和的图象如下图的所示：利用数形结合思想可知：不等式对任意的恒成立，则实数k的取值范围是.故选：A【点睛】本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题.二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11. 在的展开式中，的系数为_（用数字作答）【答案】80【解析】【分析】由条件利用二项式展开式的通项公式求得展开式 的系数.【详解】解：在的展开式
7、中，的系数为，故答案为80【点睛】本题考查了二项式定理，属于基础题.12. 若双曲线经过点，则该双曲线渐近线的方程为_【答案】【解析】【分析】将点的坐标代入双曲线的方程，求出实数的值，进而可得出该双曲线的渐近线方程.【详解】将点的坐标代入双曲线的方程得，可得，所以，双曲线的方程为，因此，该双曲线的渐近线方程为.故答案为：.【点睛】本题考查利用双曲线的标准方程求渐近线方程，考查计算能力，属于基础题.13. 2位教师和4名学生站成一排合影，要求2位教师站在中间，学生甲不站在两边，则不同排法的种数为_（结果用数字表示）【答案】24【解析】【分析】分步完成：第一步按排两位教师站在中间，第二步按排甲靠近
8、教师的两侧的两个位置中的一个，第三步其他3人在剩下的三个位置任意排列【详解】完成这个排法分步完成：第一步按排两位教师站在中间有种方法，第二步按排甲靠近教师的两侧的两个位置中的一个，有种方法，第三步其他3人任意排列，有种方法，不同的方法为故答案为：24【点睛】本题考查排列组合的综合应用，考查分步计数原理解题关键是确定完成事件的方法14. 请写出一个使得函数既有极大值又有极小值的实数a的值_【答案】【解析】【分析】由题意可得：有2个不相等的实根，也即有2个不相等的实根，利用即可求解.【详解】由题意可得：有2个不相等的实根，也即有2个不相等的实根，所以，即，解得：或，故答案为：【点睛】本题主要考查了
9、极值和导数的关系，属于中档题.15. 在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，在第一次抽到理科题的条件下，第2次也抽到理科题的概率为_.【答案】【解析】【分析】由已知中5道题中如果不放回地依次抽取2道题.在第一次抽到理科题的条件下，剩余4道题中，有2道理科题，代入古典概型公式，得到概率.【详解】5道题中有3道理科题和2道文科题，则第一次抽到理科题的前提下，第2次抽到理科题的概率P.故答案为：.【点睛】本题考查的知识点是条件概率，分析出基本事件总数和满足条件的事件个数是解答的关键，但本题易受到第一次抽到理科题的影响而出错.16. 投到某出版社的稿件，先由两位初审专家进行评
10、审，若能通过两位初审专家的评审，则直接予以录用，若两位初审专家都未予通过，则不予录用，若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用设稿件能通过各初审专家评审的概率均为，复审的稿件能通过评审的概率为，各专家独立评审，则投到该出版社的1篇稿件被录用的概率为_；若甲、乙两人分别向该出版社投稿1篇，两人的稿件是否被录用相互独立，则两人中恰有1人的稿件被录用的概率为_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】1篇稿件被录用分为两种情况：稿件通过两位初审专家的评审；稿件通过一位初审专家的评审，也通过复审专家的评审，分别求两种情况的概率，再求概
11、率之和即可，每一篇稿件被录用的概率为，利用独立独立重复试验的概率公式即可求解.【详解】记事件表示：稿件恰能通过两位初审专家的评审，则，记事件表示：稿件恰能通过一位初审专家的评审，则，记事件表示：稿件通过复审专家评审，则，记事件表示：稿件被录用，则，每一篇稿件被录用概率为，两人中恰有1人的稿件被录用的概率为：，故答案为：；【点睛】本题主要考查了随机事件的概率，考查了独立重复试验的概率公式，属于中档题.三、解答题（本大题共4小题，共36分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）求函数在上的最大值和最小值.【答案】（1）区间上单调递增；在区间和上单调
12、递减；（2）5和1【解析】【分析】（1）区间上单调递增；在区间和上单调递减（2）5和1【详解】（1）因为函数，则令，或故函数在区间上单调递增；在区间和上单调递减（2）由（1）可知函数在区间上单调递增；在上单调递减所以函数的极大值也为最大值两端点，即最小值为故函数在上的最大值和最小值分别为5和1【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及求最值，属于基础题.18. 在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用.活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间，将样本数据分成五组，并整理得
13、到如下频率分布直方图： （1）已知该校高三年级共有600名学生，根据甲班的统计数据，估计该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数；（2）已知这两个班级各有40名学生，从甲、乙两个班级每天学习时间不足4小时的学生中随机抽取3人，记从甲班抽到的学生人数为，求的分布列和数学期望；（3）记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为，试比较与的大小.(只需写出结论)【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望为1；（3）【解析】【分析】（1）根据甲班的统计数据，可求出每天学习时间达到5小时及以上的学生的频率之和，进而乘以600，可求出答案；（2）计算可得甲、乙两班每天学习时间不足4小时的学生人
14、数分别为，从而可知可取的值为，然后求出三种情形下的概率，进而可列出分布列，求出数学期望；（3）由甲班学生每天学习时间更集中，可知.【详解】（1）根据甲班的统计数据，该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数约为；（2）甲班每天学习时间不足4小时的学生人数为，乙班每天学习时间不足4小时的学生人数为，从甲班抽到的学生人数可取的值为，则，所以的分布列为：012则的数学期望为：.（3）结合频率分布直方图，可知甲班学生每天学习时间更集中，所以.【点睛】本题考查频率分布直方图，考查离散型随机变量的分布列，考查数学期望及方差，考查学生的计算求解能力，属于中档题.19. 已知离心率为的椭圆过点（1）求
15、椭圆的方程；（2）过点作斜率为2直线与椭圆相交于，两点，求的长；（3）过点的直线与椭圆相交于，两点，求的面积的最大值【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由题意，可列出方程组得，即可求出椭圆方程；（2）直线，联立，整理得，写出韦达定理，最后利用椭圆弦长公式能求出的长；（3）当直线的斜率不存在时，直线轴，分别求出，的坐标，根据求出的面积；当直线的斜率存在，且不为0时，可得直线的方程为：，与椭圆的方程联立，得，写出韦达定理和，再根据求出的面积，最后根据双勾函数的性质求出面积的取值范围，综合即可得出的面积的最大值.【详解】解：（1）由题可知，椭圆的离心率为，且椭圆过点，则，解得：，故
16、椭圆的方程为；（2）过点作斜率为2直线，直线，联立，整理得：，设，则，；（3）由于直线过点直线，设，当直线的斜率不存在时，直线轴，此时将代入，解得：，即，的坐标分别为，则的面积为：；当直线的斜率存在，且不为0时，可设直线的方程为：，联立，整理得：，则，而的面积为：，即，令，则，得 ，所以，由于，由双勾函数性质得，则所以综上得：，所以的面积最大值为.【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆方程的求法，解题关键是根据离心率和椭圆的简单几何性质，找到关于的等量关系，考查椭圆弦长的求法以及根据直线与椭圆的位置关系和应用韦达定理求出和，从而解决椭圆中三角形面积的最值问题，考查分析解题能力和函数与方程的思想，属于
17、难题.20. 已知函数.（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，证明：.【答案】（）（）见解析【解析】试题分析：（）先代入，对求导数，再算出，进而可得曲线在点处的切线方程；（）先构造函数，再利用导数可得的最小值，进而可证当时，试题解析：（）解：当时，所以 所以，. 所以曲线在点处的切线方程为即. （）证法一：当时，.要证明，只需证明.以下给出三种思路证明.思路1：设，则.设，则，所以函数在上单调递增因为，所以函数在上有唯一零点，且因为时，所以，即当时，；当时，所以当时，取得最小值 故综上可知，当时，. 思路2：先证明设，则因当时，当时，所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增所以所以（当
18、且仅当时取等号）所以要证明，只需证明下面证明设，则当时，当时，所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增所以所以（当且仅当时取等号）由于取等号的条件不同，所以综上可知，当时，. （若考生先放缩，或、同时放缩，请参考此思路给分！）思路3：先证明.因为曲线与曲线的图像关于直线对称，设直线与曲线，分别交于点，点，到直线的距离分别为，则其中，设，则因为，所以所以在上单调递增，则所以设，则因为当时，；当时，所以当时，单调递减；当时，单调递增所以所以所以综上可知，当时，. 证法二：因为，要证明，只需证明. 以下给出两种思路证明.思路1：设，则.设，则所以函数在上单调递增 因为，所以函数在上有唯一零点，且. 因为，所以，即 当时，；当时，.所以当时，取得最小值 故综上可知，当时， 思路2：先证明，且 设，则因为当时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增所以当时，取得最小值所以，即（当且仅当时取等号）由，得（当且仅当时取等号）所以（当且仅当时取等号）再证明因为，且与不同时取等号，所以综上可知，当时， 考点：1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性；3、利用导数研究函数的最值；4、不等式的证明
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