1、-1-本章整合-2-本章整合 网络构建 专题探究 生活中的变量关系 生活中的常量与变量变量之间的依赖关系函数关系 对函数的进一步认识 集合观点下的函数定义函数的三要素 函数的定义域对应关系函数的值域 函数的表示法 图像法列表法解析法 映射 函数与映射的关系一一映射 几类特殊的函数 分段函数分段函数的定义、定义域、值域二次函数 二次函数的图像二次函数的性质 简单的幂函数 幂函数的定义简单的幂函数的图像与性质 函数的性质 函数的单调性 单调性的定义单调性的判定方法单调性的应用最大(小)值 函数的奇偶性 奇偶性的定义奇、偶函数图像的对称性奇偶性的判定方法 -3-本章整合 专题探究 网络构建 专题一
2、专题二 专题三 专题一:分段函数(1)由于分段函数在定义域的不同部分有不同的对应关系,所以分段函数可以将不同函数综合在一起,体现了知识的重组和再生;(2)解决分段函数问题能体现分类讨论的思想方法和函数性质的综合应用,展现了基础知识的横向联系,数学方法上的纵向引申,在考查知识上有一定的弹性,成为历年高考的必考知识点之一.应用 1 已知函数 f(x)=3+2,0,若 f(x)f(2),则实数 x 的取值范围是 .解析:方法一:f(2)=32=6,则原不等式等价于 f(x)6,则有 0,3 6 或 0,1-6,解得 x2 或 x2 或 xf(2)时,有 x2 或 x 0 在 R 上是减函数,则实数
3、a 的取值范围是 .解析:依题意,要使 f(x)在 R 上是减函数,则有 0,-2 0,2 +4,解得 a-2.答案:a-2-7-本章整合 专题探究 网络构建 专题一 专题二 专题三 专题二:函数最值或值域的求法函数的最值与值域是函数性质的一个重要方面,不同类型的函数,其最值和值域有不同的求法,以下介绍几种常用的函数最值与值域的求法.1.配方法有关二次函数的值域或最值问题可用配方的方法.若函数定义域为 R,则自变量取对称轴时函数值最大或最小.若函数定义域为某个区间a,b,当对称轴 x=t 在这个区间内时,则 f(a),f(b),f(t)中最大者为最大值,最小者为最小值;当对称轴x=t 不在这个
4、区间内时,则只需比较f(a)与f(b),它们中较大者为最大值,较小者为最小值.-8-本章整合 专题探究 网络构建 专题一 专题二 专题三 应用 1 已知函数 f(x)=ax2+2x-6.(1)若函数在 R 上的最大值为-4,求实数 a 的值;(2)当 a=1 时,求函数 f(x)在区间-3,0和-12,5 上的最值.解:(1)由已知可得 0,-24-44=-4,解得 a=-12.(2)当 a=1 时,f(x)=x2+2x-6=(x+1)2-7,结合图像可知:函数 f(x)在-3,0上的最大值和最小值分别是 f(-3)=-3,f(-1)=-7;函数 f(x)在-12,5 上的最大值和最小值分别是
5、 f(5)=29,f-12=-274.-9-本章整合 专题探究 网络构建 专题一 专题二 专题三 应用 2 已知函数 f(x)=x2+ax+3 在区间-1,1上的最小值为-3,求实数 a 的值.分析:所给二次函数图像的对称轴x=-2是变化的,而区间-1,1是固定的因而只需确定二次函数对称轴与区间-1,1的关系,即可求得实数 a 的值.解:f(x)=+2 2+3-24,其图像开口向上,区间-1,1确定,对称轴 x=-2随a 变化.(1)当-22 时,作 f(x)图像的草图如图所示.f(x)在-1,1上是增加的,所以 f(-1)=-3,即 1-a+3=-3,所以 a=7.(2)当-21,即 a 1
6、,2,-1 0 时,f(x)0.求证:(1)函数 f(x)是奇函数;(2)函数 f(x)在 R 上是减函数.证明:(1)令 x=y=0,得 f(0+0)=f(0)+f(0),f(0)=2f(0),f(0)=0.令 y=-x,得 f(x-x)=f(x)+f(-x),f(0)=f(x)+f(-x),f(x)+f(-x)=0,即对定义域为 R 上的任意实数 x 均有 f(-x)=-f(x),函数 y=f(x)是奇函数.-18-本章整合 专题探究 网络构建 专题一 专题二 专题三(2)设 x1,x2是 R 上的任意两个实数,且 x1x2,令 x=x2-x1,y=x1,得 f(x2-x1)+x1=f(x
7、2-x1)+f(x1),f(x2)=f(x2-x1)+f(x1),f(x2)-f(x1)=f(x2-x1).x10.又当 x0 时,f(x)0,f(x2-x1)0,f(x2)-f(x1)f(x2),函数 y=f(x)在 R 上是减函数.-19-本章整合 专题探究 网络构建 专题一 专题二 专题三 应用 3 函数 y=f(x)对于任意正实数 x,y,都有 f(xy)=f(x)f(y),当x1 时,0f(x)0);(2)判断 f(x)在(0,+)的单调性,并证明;(3)若 f(m)=3,求正实数 m 的值.(1)证明:令 x=1,y=2,得 f(2)=f(1)f(2).又 f(2)=19,f(1)
8、=1.令 y=1,得 f(x)f 1=f 1=f(1)=1.-20-本章整合 专题探究 网络构建 专题一 专题二 专题三(2)解:f(x)在(0,+)上是减少的.证明如下:任取 x1,x2(0,+),且 x11,0f 21 0 时,f(x)=f()=f()20,且由(1)可知,f(x)f 1=1,f(x)0,故当 x0 时,f(x)0,f(x1)0,1-f 21 0,f(x1)-f(x2)0,故 f(x)在(0,+)上是减少的.-21-本章整合 专题探究 网络构建 专题一 专题二 专题三(3)解:f(2)=19,又由(1)知,f(x)f 1=1(x0),f 12=1(2)=9.又 f 12=f 22 22 =22 2,且 f 22 0,f 22 =3.f(x)在(0,+)上是减少的,m 是正实数,m=22.