1、北京市2017届高三综合练习数学（理）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1（5分）抛物线y2=8x的准线方程为（）Ax=2Bx=2Cy=2Dy=22（5分）双曲线y2=1的渐近线方程为（）Ay=2xBy=xCy=xDy=x3（5分）已知点M的极坐标为，下列所给四个坐标中能表示点M的坐标是（）ABCD4（5分）“m8”是“方程=1表示双曲线”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5（5分）若椭圆+=1（ab0）的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（）A+=1B+=1C+=1D+=16（5分）设椭圆C：+=1（ab
2、0）两个焦点分别为F1，F2，若C上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则椭圆C的离心率等于（）ABCD7（5分）已知点P是抛物线y2=2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点，则|PA|+|PM|的最小值是（）A5BC4DAD8（5分）若有两个焦点F1，F2的圆锥曲线上存在点P，使|PF1|=3|PF2|成立，则称该圆锥曲线上存在“”点，现给出四个圆锥曲线：=1 x2=1 +=1 +=1，其中存在“”点的圆锥曲线有（）ABCD二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9（5分）抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是10（5分）命题“xR，x2+x80”的否定为
3、11（5分）已知双曲线的中心在原点，焦距为2，实轴长为2，则该双曲线的标准方程是12（5分）椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|=，F1PF2的大小为13（5分）过点（0，4）且与直线y=4相切的圆的圆心轨迹方程是14（5分）已知椭圆+=1（ab0）的右焦点为F，斜率为1的直线过F且交椭圆于A、B两点，若+与=（3，1）共线，则此椭圆的离心率为三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）15（10分）已知椭圆C的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且C上一点到C的两个焦点的距离之和为4（1）求椭圆C的方程；（2）已知斜率为的直线l与C相切，求直
4、线l的方程16（10分）若抛物线C：y2=2px的焦点在直线l：2x+y2=0上（1）求抛物线C的方程；（2）求直线l被抛物线C所截的弦长17（10分）已知椭圆C：（ab0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，且过点（）求椭圆C的标准方程；（）M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ分别过点F1，F2，且这两条直线互相垂直，求证：为定值一、选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）18（5分）命题p：tR，使得直线xy+t=0与圆x2+y2=1相交；命题q：m0，双曲线=1的离心率为则下面结论正确的是（）Ap是假命题Bq是真命题Cpq是假命题Dpq是真命
5、题19（5分）设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a0）的焦点F，且和y轴交于点A，若OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（）Ay2=4xBy2=4xCy2=8xDy2=8x20（5分）过抛物线C：y=ax2（a0）的焦点F作直线交C于P，Q两点，若线段PF与QF的长度分别为m，n，则m2+n2的最小值为（）AB2a2Ca2D二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）21（5分）经过点A（3，1）作直线l，它与双曲线y2=1只有一个公共点，这样的直线l有条22（5分）曲线的极坐标方程=sincos化为直角坐标方程为23（5分）抛物线y=x2+3上存在关于直线y=x对称的相
6、异两点A，B，则|AB|等于三、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）24（10分）已知椭圆C：+=1（ab0）经过点（1，），离心率为（）求椭圆C的方程；（）直线y=k（x1）（k0）与椭圆C交于A，B两点，点M是椭圆C的右顶点直线AM与直线BM分别与y轴交于点P，Q，试问以线段PQ为直径的圆是否过x轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由25（10分）设椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点，从每条曲线上至少取两个点，将其坐标记录于表中： x 32 4 y2 04（1）求C1、C2的标准方程；（2）设直线l与椭圆C1交于不同两点M、N，且，请
7、问是否存在这样的直线l过抛物线C2的焦点F？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1（5分）抛物线y2=8x的准线方程为（）Ax=2Bx=2Cy=2Dy=2考点：抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：抛物线y2=8x的开口向左，2p=8，从而可得抛物线y2=8x的准线方程解答：解：抛物线y2=8x的开口向左，2p=8，抛物线y2=8x的准线方程为x=2故选A点评：本题考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题2（5分）双曲线y2=1的渐近线方程为（）Ay=2xBy=xCy=xDy=
8、x考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出双曲线y2=1的a，b，由双曲线=1的渐近线方程为y=x，即可得到解答：解：双曲线y2=1的a=，b=1，由双曲线=1的渐近线方程为y=x，则所求渐近线方程为y=x故选D点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题3（5分）已知点M的极坐标为，下列所给四个坐标中能表示点M的坐标是（）ABCD考点：点的极坐标和直角坐标的互化 专题：计算题分析：由于 和是终边相同的角，故点M的极坐标也可表示为解答：解：点M的极坐标为，由于 和是终边相同的角，故点M的坐标也可表示为，故选D点评：本题考查点
9、的极坐标、终边相同的角的表示方法，是一道基础题4（5分）“m8”是“方程=1表示双曲线”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；简易逻辑分析：根据双曲线的定义以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论解答：解：若方程=1表示双曲线，则（m10）（m8）0，即m10或m8“m8”是“方程=1表示双曲线”的充分而不必要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用双曲线的定义求出m的取值范围是解决本题的关键，比较基础5（5分）若椭圆+=1（ab0）的右焦点与抛物线
10、y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（）A+=1B+=1C+=1D+=1考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先根据抛物线的方程求得焦点坐标，进而求得椭圆的半焦距c，根据椭圆的离心率求得a，最后根据a和c的关系求得b解答：解：抛物线y2=8x，p=4，焦点坐标为（2，0），椭圆的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，椭圆的半焦距c=2，即a2b2=4，e=，a=4，b=2，椭圆的标准方程为+=1，故选：B点评：本题主要考查了椭圆的标准方程的问题同时考查抛物线的方程和性质，要熟练掌握椭圆方程中a，b和c的关系，求椭圆的方程时才能做到游刃有余6（5分）设椭圆C：+=
11、1（ab0）两个焦点分别为F1，F2，若C上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则椭圆C的离心率等于（）ABCD考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：据|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，不妨设|PF1|=4m，|F1F2|=3m，|PF2|=2m，再进行分类讨论，确定曲线的类型，从而求出曲线r的离心率解答：解：根据|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，不妨设|PF1|=4m，|F1F2|=3m，|PF2|=2m，|PF1|+|PF2|=6m|F1F2|=3m，此时曲线为椭圆，且曲线r的离心率等于=故选：A点评：本题主要
12、考查了圆锥曲线的共同特征关键是利用圆锥曲线的定义来解决属于基础题，7（5分）已知点P是抛物线y2=2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点，则|PA|+|PM|的最小值是（）A5BC4DAD考点：抛物线的定义 专题：计算题分析：先根据抛物线的方程求得焦点坐标和准线方程，延长PM交准线于H点推断出|PA|=|PH|，进而表示出|PM|，问题转化为求PF|+|PA|的最小值，由三角形两边长大于第三边可知，|PF|+|PA|FA|，直线FA与 抛物线交于P0点，可得P0，分析出当P重合于P0时，|PF|+|PA|可取得最小值，进而求得|FA|，则|PA|+|PM|的最小值可得解答：解：依题意可知焦点
13、F（，0），准线 x=，延长PM交准线于H点则|PF|=|PH|PM|=|PH|=|PF|，|PM|+|PA|=|PF|+|PA|，我们只有求出|PF|+|PA|最小值即可由三角形两边长大于第三边可知，|PF|+|PA|FA|，设直线FA与 抛物线交于P0点，可计算得P0 （3，），另一交点（，）舍去当P重合于P0时，|PF|+|PA|可取得最小值，可得|FA|=则所求为|PM|+|PA|=故选B点评：本题主要考查了抛物线的简单性质考查了考生分析问题的能力，数形结合的思想的运用8（5分）若有两个焦点F1，F2的圆锥曲线上存在点P，使|PF1|=3|PF2|成立，则称该圆锥曲线上存在“”点，现给
14、出四个圆锥曲线：=1 x2=1 +=1 +=1，其中存在“”点的圆锥曲线有（）ABCD考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质 专题：计算题；阅读型；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：分别求出曲线的焦点坐标，设出P（x，y），运用两点的距离公式化简整理得到P的轨迹方程，联立曲线方程，消去y，解关于x的方程，注意曲线的范围，判断即可得到解答：解：对于，=1的焦点F1（4，0），F2（4，0），设P（x，y），则由|PF1|=3|PF2|可得（x+4）2+y2=9，化简得x2+y210x+16=0，代入双曲线的方程，消去y，得3x2（10x16x2）=12，即为2x25x+2=0，解得x=2或，由双曲
15、线的范围可得x2，故存在P，则正确；对于，x2=1的焦点F1（4，0），F2（4，0），则P（x，y）的轨迹方程为x2+y210x+16=0，代入双曲线的方程，消去y，得15x2（10x16x2）=15，即为16x210x+1=0，解得x=或，由双曲线的范围为x1，故不存在点P，则不正确；对于，+=1的焦点F1（，0），F2（，0），设P（x，y），则由|PF1|=3|PF2|可得（x+）2+y2=9，化简得x2+y2x+2=0，代入椭圆方程，消去y得2x2x+81=0，可得判别式大于0，两根之积为9，由椭圆的范围可得|x|3，故不存在P，则不正确；对于，+=1的焦点F1（2，0），F2（2，
16、0），设P（x，y），则由|PF1|=3|PF2|可得（x+2）2+y2=9，化简得x2+y25x+8=0，代入椭圆方程，消去y得2x215x+36=0，可得x=6或，由椭圆的范围可得|x|，即有x=成立，故存在P，则正确故选B点评：本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查轨迹方程的求法，注意联立方程求解时，别忽视圆锥曲线的范围，具有一定的运算量，属于中档题和易错题二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9（5分）抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是2考点：抛物线的简单性质 专题：计算题分析：根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线的方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到准线的距离解
17、答：解：根据题意可知焦点F（1，0），准线方程x=1，焦点到准线的距离是1+1=2故答案为2点评：本题主要考查了抛物线的简单性质考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用属基础题10（5分）命题“xR，x2+x80”的否定为xR，x2+x80考点：命题的否定 专题：简易逻辑分析：直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可解答：解：因为特称命题的否定是全称命题所以，命题“xR，x2+x80”的否定为：xR，x2+x80故答案为：xR，x2+x80点评：本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查11（5分）已知双曲线的中心在原点，焦距为2，实轴长为2，则该双曲线的标准方程是x2
18、y2=1或y2x2=1考点：双曲线的标准方程 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由已知得，由此能求出双曲线方程解答：解：由已知得，解得a=1，c=，b=1，当焦点在x轴时，双曲线方程为x2y2=1当焦点在y轴时，双曲线方程为y2x2=1故答案为：x2y2=1或y2x2=1点评：本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线简单性质的合理运用12（5分）椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|=2，F1PF2的大小为120考点：椭圆的简单性质 专题：计算题；压轴题分析：第一问用定义法，由|PF1|+|PF2|=6，且|PF1|=4，易得|P
19、F2|；第二问如图所示：角所在三角形三边已求得，用余弦定理求解解答：解：|PF1|+|PF2|=2a=6，|PF2|=6|PF1|=2在F1PF2中，cosF1PF2=，F1PF2=120故答案为：2；120点评：本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题，这类题是常考类型，难度不大，考查灵活，特别是对曲线的定义和性质考查的很到位13（5分）过点（0，4）且与直线y=4相切的圆的圆心轨迹方程是x2=16y考点：轨迹方程 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先设出动圆圆心的坐标，根据题意可知圆心到定点（0，4）到直线y=4的距离都等于半径，进而利用抛物线的定义可求得x和y的关系式解答：
20、解：设动圆圆心坐标为（x，y）动圆过定点（0，4）且与直线y=4相切，圆心到定点（0，4）到直线y=4的距离都等于半径，根据抛物线的定义可知动圆圆心的轨迹方程是x2=16y故答案为：x2=16y点评：本题考查轨迹方程，利用抛物线的定义来求轨迹方程是关键14（5分）已知椭圆+=1（ab0）的右焦点为F，斜率为1的直线过F且交椭圆于A、B两点，若+与=（3，1）共线，则此椭圆的离心率为考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：直线与椭圆方程联立用未达定理的A、B两点坐标的关系，据向量共线的条件得椭圆中a，b，c的关系，从而求得椭圆的离心率解答：解：设椭圆方程为，则直线AB的方程为
21、y=xc，代入椭圆方程的，化简得（a2+b2）x22a2cx+a2c2a2b2=0令A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，+=（x1+x2，y1+y2），与=（3，1）共线3（y1+y2）+（x1+x2）=0，又y1=x1c，y2=x2c，3（x1+x22c）+（x1+x2）=0，x1+x2=c，=ca2=3b2c=a，故离心率e=故答案为：点评：考查向量共线为圆锥曲线提供已知条件；处理直线与圆锥曲线位置关系常用的方法是直线与圆锥曲线方程联立用韦达定理三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）15（10分）已知椭圆C的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，
22、且C上一点到C的两个焦点的距离之和为4（1）求椭圆C的方程；（2）已知斜率为的直线l与C相切，求直线l的方程考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）设椭圆C的标准方程为，由离心率公式和a，bc的关系和椭圆的定义，得到方程组，解得a，b，即可得到椭圆方程；（2）设直线为y=，则由题意得，根据直线与曲线相切得=0，求得直线解答：解：（1）设椭圆C的标准方程为，由题意解得a=2，b=1所以椭圆C的标准方程（2）设直线为y=，则由题意得得2x2+4mx+4m24=0=16m28（4m24）=0解得m=故直线方程为点评：本题主要考查椭圆方程的求法，和直线与圆锥曲线的综合问题，属
23、于中档题目16（10分）若抛物线C：y2=2px的焦点在直线l：2x+y2=0上（1）求抛物线C的方程；（2）求直线l被抛物线C所截的弦长考点：抛物线的简单性质 专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）求出抛物线的焦点坐标，代入即可求得p=2，进而得到抛物线的方程；（2）联立直线和抛物线方程，运用韦达定理，结合抛物线的定义，即可求得弦长解答：解：（1）抛物线C：y2=2px的焦点为（，0），由题意可得，p2=0，解得p=2，即有抛物线方程为y2=4x；（2）由直线2x+y2=0和抛物线y2=4x，消去y，可得x23x+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），即有x1+x2=
24、3，由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p=3+2=5则直线l被抛物线C所截的弦长为5点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法的运用，同时考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，属于中档题17（10分）已知椭圆C：（ab0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，且过点（）求椭圆C的标准方程；（）M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ分别过点F1，F2，且这两条直线互相垂直，求证：为定值考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程 专题：综合题；圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）由离心率为，即可得a2=2b2，从而C：，再把点代入椭圆
25、方程即可求得b2，进而得到a2（）由（）写出焦点F1，F2的坐标，设直线MN的方程为y=k（x+2），由直线MN与直线PQ互相垂直得直线PQ的方程为，设M（x1，y1），N（x2，y2）联立直线MN与椭圆方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理及弦长公式可用k表示|MN|，同理可表示出|PQ|，计算即可得到为定值解答：（）解：由已知，得所以a2=2b2所以C：，即x2+2y2=2b2因为椭圆C过点，所以，得b2=4，a2=8所以椭圆C的方程为（）证明：由（）知椭圆C的焦点坐标为F1（2，0），F2（2，0）根据题意，可设直线MN的方程为y=k（x+2），由于直线MN与直线PQ互相垂直，则直线PQ的
26、方程为设M（x1，y1），N（x2，y2）由方程组消y得（2k2+1）x2+8k2x+8k28=0则 ，所以|MN|=同理可得|PQ|=所以=点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题及椭圆方程的求解，韦达定理及弦长公式是解决该类题目的基础，应熟练掌握一、选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）18（5分）命题p：tR，使得直线xy+t=0与圆x2+y2=1相交；命题q：m0，双曲线=1的离心率为则下面结论正确的是（）Ap是假命题Bq是真命题Cpq是假命题Dpq是真命题考点：复合命题的真假 专题：简易逻辑分析：根据直线与圆的位置关系判断出命题p的真假，根据双曲线的性质判断出命题q的真假，进而
27、得到答案解答：解：由得：2x2+2tx+t21=0，=4t2+8，tR，使得判别式0，故命题p是真命题；双曲线=1中a=b=|m|=m，c=m，e=，故命题q为真命题故pq是真命题，故选：D点评：本题考查了直线与圆的位置关系以及双曲线的性质，考查了复合命题的判断，是一道基础题19（5分）设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a0）的焦点F，且和y轴交于点A，若OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（）Ay2=4xBy2=4xCy2=8xDy2=8x考点：抛物线的标准方程 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先根据抛物线方程表示出F的坐标，进而根据点斜式表示出直线l的方程，求得A的坐
28、标，进而利用三角形面积公式表示出三角形的面积建立等式取得a，则抛物线的方程可得解答：解：抛物线y2=ax（a0）的焦点F坐标为，则直线l的方程为，它与y轴的交点为A，所以OAF的面积为，解得a=8所以抛物线方程为y2=8x，故选C点评：本题主要考查了抛物线的标准方程，点斜式求直线方程等考查学生的数形结合的思想的运用和基础知识的灵活运用20（5分）过抛物线C：y=ax2（a0）的焦点F作直线交C于P，Q两点，若线段PF与QF的长度分别为m，n，则m2+n2的最小值为（）AB2a2Ca2D考点：抛物线的简单性质 专题：不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出抛物线的焦点和准线方程，
29、设出直线PQ的方程，代入抛物线方程，运用韦达定理，结合抛物线的定义，求得m，n的式子，以及m+n，mn的关系式，运用配方，即可得到最小值解答：解：抛物线C：y=ax2（a0）的焦点F（0，），准线方程为y=，设PQ直线方程是y=kx+，则x1，x2是方程ax2kx的两根，可设x10，x20，P（x1，ax12），Q（x2，ax22），x1+x2=，x1x2=，由抛物线的定义可得m=ax12+，n=ax22+，m+n=a（x1+x2）22ax1x2+=+，mn=a2x12x22+（x12+x22）=+=，则m2+n2=（m+n）22mn=，当且仅当k=0，取得最小值，且为故选：D点评：本题考查抛
30、物线的定义、方程和性质，主要考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，具有一定的运算量，属于中档题和易错题二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）21（5分）经过点A（3，1）作直线l，它与双曲线y2=1只有一个公共点，这样的直线l有2条考点：双曲线的简单性质 专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：分为两类考虑：直线的斜率不存在；与渐近线平行的直线，即可得到结论解答：解：当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x=3，直线与双曲线相切，满足题意；因为a=3，b=1，所以双曲线的渐近线方程为y=x，则A在渐近线y=x上，可作出一条与渐近线y=x平行的直线，即与双曲线只有一个交点；故
31、满足条件的直线共有2条故答案为：2点评：本题考查了直线与双曲线有一个公共点的情况，做题时极容易丢平行渐近线的情况，做题时一定要细心属于基础题型22（5分）曲线的极坐标方程=sincos化为直角坐标方程为x2+y2+xy=0考点：简单曲线的极坐标方程 专题：坐标系和参数方程分析：直接利用x2+y2=2，sin=y，cos=x把曲线的极坐标方程转化成直角坐标方程解答：解：由于曲线的极坐标方程=sincos，所以：2=sincos由于：x2+y2=2，sin=y，cos=x所以曲线的直角坐标方程为：x2+y2=yx即：x2+y2+xy=0故答案为：x2+y2+xy=0点评：本题考查的知识要点：曲线的
32、极坐标方程与直角坐标方程的转化，属于基础题型23（5分）抛物线y=x2+3上存在关于直线y=x对称的相异两点A，B，则|AB|等于3考点：二次函数的性质 专题：函数的性质及应用分析：设AB的方程为y=x+b，代入抛物线y=x2+3化简利用根与系数的关系可得x1+x2=1，x1x2=b3，根据AB的中点（，+b） 在直线x+y=0上，求出b值，由|AB|=求得结果解答：解：由题意可得，可设AB的方程为 y=x+b，代入抛物线y=x2+3化简可得 x2+x+b3=0，x1+x2=1，x1x2=b3，故AB的中点为（，+b），根据中点在直线x+y=0上，+（+b）=0，b=1，故 x1x2=2，|A
33、B|=3，故答案为：3点评：本题考查直线和圆的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，弦长公式的应用，求得 x1+x2=1，x1x2=2，是解题的关键三、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）24（10分）已知椭圆C：+=1（ab0）经过点（1，），离心率为（）求椭圆C的方程；（）直线y=k（x1）（k0）与椭圆C交于A，B两点，点M是椭圆C的右顶点直线AM与直线BM分别与y轴交于点P，Q，试问以线段PQ为直径的圆是否过x轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）由椭圆C：+=1（ab0）经过点（1
34、，），离心率为，建立方程组，即可求椭圆C的方程；（）直线y=k（x1）（k0）代入椭圆方程，求出P，Q的坐标，利用以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点N（x0，0），则等价于=0恒成立，即可得出结论解答：解：（）由题意得，解得a=2，b=1所以椭圆C的方程是 （4分）（）以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点直线y=k（x1）（k0）代入椭圆可得（1+4k2）x28k2x+4k24=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=，x1x2=又因为点M是椭圆C的右顶点，所以点M（2，0）由题意可知直线AM的方程为y=（x2），故点P（0，）直线BM的方程为y=（x2），故点Q（0，）若以线段
35、PQ为直径的圆过x轴上的定点N（x0，0），则等价于=0恒成立又因为=（x0，），=（x0，），所以=x02+=0恒成立又因为（x12）（x22）=x1x22（x1+x2）+4=，y1y2=k（x11）（x21）=，所以x02+=3=0解得x0=故以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点（，0） （14分）点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查恒过定点问题，综合性强25（10分）设椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点，从每条曲线上至少取两个点，将其坐标记录于表中： x 32 4 y2 04（1）求C1、C2的标准方程；（2）设直线l与椭圆C1交于
36、不同两点M、N，且，请问是否存在这样的直线l过抛物线C2的焦点F？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：计算题；压轴题分析：（1）设抛物线C2：y2=2px（p0），由题意知C2：y2=4x（2分）设，把点（2，0）（，）代入得解得，由此可知C1的方程（2）假设存在这样的直线l过抛物线焦点F（1，0），设其方程为x1=my，设M（x1，y1），N（x2，y2），由得x1x2+y1y2=0由消去x，得（m2+4）y2+2my3=0，然后由根的判别式和根与系数的关系可知假设成立，即存在直线l过抛物线焦点Fl的方程为：2xy2=0解答：解：（1）设抛物线C
37、2：y2=2px（p0），则有，据此验证5个点知只有（3，）、（4，4）在统一抛物线上，易求C2：y2=4x（2分）设，把点（2，0）（，）代入得解得C1方程为（5分）（2）假设存在这样的直线l过抛物线焦点F（1，0）设其方程为x1=my，设M（x1，y1），N（x2，y2），由得x1x2+y1y2=0（*）（7分）由消去x，得（m2+4）y2+2my3=0，=16m2+480x1x2=（1+my1）（1+my2）=1+m（y1+y2）+m2y1y2；=（9分）将代入（*）式，得解得（11分），假设成立，即存在直线l过抛物线焦点Fl的方程为：2xy2=0（12分）点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答
