1、2016-2017学年内蒙古乌兰察布市集宁一中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1设复数z满足（z2i）（2i）=5，则z=（）A2+3iB23iC3+2iD32i2命题“x0，x2+x0”的否定是（）Ax00，x02+x00Bx00，x02+x00Cx0，x2+x0Dx0，x2+x03等比数列an的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）ABCD4在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=2B=120，C=30，则a=（）A1BCD25定积分（2x+ex）d
2、x的值为（）Ae+2Be+1CeDe16由曲线与直线x=4，y=0围成的曲边梯形的面积为（）ABCD167用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A方程x2+ax+b=0没有实根B方程x2+ax+b=0至多有一个实根C方程x2+ax+b=0至多有两个实根D方程x2+ax+b=0恰好有两个实根8过P（4，1）的直线l与双曲线仅有一个公共点，则这样的直线l有（）条A1B2C3D49已知三棱锥OABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且=， =， =，用，表示，则等于（）AB）CD10不等式x22x+5a23a对任意实数x恒成立，则实数a的取
3、值范围为（）A1，4B（，25，+）C（，14，+）D2，511已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的任意一点，则|PF1|PF2|的最大值是（）A9B16C25D12已知a0，函数f（x）=（x22ax）ex，若f（x）在1，1上是单调减函数，则a的取值范围是（）A0aBaCaD0a二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13抛物线y2=x的焦点和准线的距离等于14已知双曲线过点且渐近线方程为y=x，则该双曲线的标准方程是15已知f（x）=x2+3xf（2），则f（2）=16观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+
4、b5=11，则a10+b10=三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17等差数列an中，a2=4，a4+a7=15（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=2an2+n，求b1+b2+b3+b10的值18已知f（x）=ax3+bx2+c的图象经过点（0，1），且在x=1处的切线方程是y=x（1）求y=f（x）的解析式；（2）求y=f（x）的单调递增区间19设ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（ab+c）=ac（）求B（）若sinAsinC=，求C20如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E
5、在CC1上且C1E=3EC（1）证明：A1C平面BED；（2）求二面角A1DEB的余弦值21椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点（）求椭圆C的方程；（）当F2AB的面积为时，求直线的方程22已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2x+2（）如果函数g（x）的单调递减区间为（，1），求函数g（x）的解析式；（）对一切的x（0，+），2f（x）g（x）+2恒成立，求实数a的取值范围2016-2017学年内蒙古乌兰察布市集宁一中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只
6、有一个是符合题目要求的）1设复数z满足（z2i）（2i）=5，则z=（）A2+3iB23iC3+2iD32i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数代数形式的除法运算化简，则z可求【解答】解：由（z2i）（2i）=5，得：，z=2+3i故选：A2命题“x0，x2+x0”的否定是（）Ax00，x02+x00Bx00，x02+x00Cx0，x2+x0Dx0，x2+x0【考点】命题的否定【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“x0，x2+x0”的否定为：x00，x02+x00故选：B3等比数列an的前
7、n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）ABCD【考点】等比数列的前n项和【分析】设等比数列an的公比为q，利用已知和等比数列的通项公式即可得到，解出即可【解答】解：设等比数列an的公比为q，S3=a2+10a1，a5=9，解得故选C4在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=2B=120，C=30，则a=（）A1BCD2【考点】正弦定理【分析】由已知利用正弦定理可求c的值，利用三角形内角和定理可求A，再利用余弦定理即可解得a的值【解答】解：b=2B=120，C=30，由正弦定理可得：c=2，A=180BC=30，利用余弦定理可得：a2=b2+c22bcco
8、sA=12+42=4，解得：a=2故选：D5定积分（2x+ex）dx的值为（）Ae+2Be+1CeDe1【考点】定积分【分析】根据微积分基本定理计算即可【解答】解：（2x+ex）dx=（x2+ex）|=（1+e）（0+e0）=e故选：C6由曲线与直线x=4，y=0围成的曲边梯形的面积为（）ABCD16【考点】定积分在求面积中的应用【分析】曲线与直线x=4，y=0围成的曲边梯形的面积可用定积分计算，先求出图形横坐标范围，再求即可【解答】解：由曲线与直线x=4，y=0围成的曲边梯形的面积为：=x|04=故选B7用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的
9、假设是（）A方程x2+ax+b=0没有实根B方程x2+ax+b=0至多有一个实根C方程x2+ax+b=0至多有两个实根D方程x2+ax+b=0恰好有两个实根【考点】反证法与放缩法【分析】直接利用命题的否定写出假设即可【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x2+ax+b=0没有实根故选：A8过P（4，1）的直线l与双曲线仅有一个公共点，则这样的直线l有（）条A1B2C3D4【考点】双曲线的简单性质【分析】将P的坐标代入双曲线的方程，判断P在双曲线的开口之内，再由题意可得这样的直线l与双曲
10、线的两条渐近线平行，即可得到所求条数【解答】解：由P（4，1）代入双曲线方程可得1=31，可得P在双曲线的开口之内，由过P（4，1）的直线l与双曲线仅有一个公共点，可得这样的直线l与双曲线的两条渐近线平行，则这样的直线l有2条故选：B9已知三棱锥OABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且=， =， =，用，表示，则等于（）AB）CD【考点】向量的三角形法则【分析】根据所给的图形，在图形中看出要求的向量可以怎么得到，用减法把向量先变化成已知向量的差的形式，再利用向量的加法法则，得到结果【解答】解：由题意知=（+）=， =， =，=（）故选：D10不等式x22x+5a23a对任意实数x恒成立，则
11、实数a的取值范围为（）A1，4B（，25，+）C（，14，+）D2，5【考点】二次函数的性质【分析】将问题转化为a23a4，解出即可【解答】解：令f（x）=x22x+5=（x1）2+4，f（x）最小值=4，若不等式x22x+5a23a对任意实数x恒成立，只需a23a4，解得：1a4，故选：A11已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的任意一点，则|PF1|PF2|的最大值是（）A9B16C25D【考点】椭圆的应用【分析】设P（x0，y0），|PF1|PF2|=25，由此可求出|PF1|PF2|的最大值【解答】解：设P（x0，y0），|PF1|PF2|=25，|PF1|PF2|的最大值是25
12、，故选C12已知a0，函数f（x）=（x22ax）ex，若f（x）在1，1上是单调减函数，则a的取值范围是（）A0aBaCaD0a【考点】函数单调性的判断与证明【分析】首先，求导数，然后，令导数为非正数，结合二次函数知识求解【解答】解：f（x）=x22（a1）x2aex，f（x）在1，1上是单调减函数，f（x）0，x1，1，x22（a1）x2a0，x1，1，设g（x）=x22（a1）x2a，故选：C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13抛物线y2=x的焦点和准线的距离等于0.5【考点】抛物线的简单性质【分析】利用抛物线中参数的几何意义，即可得到结论【解答】
13、解：抛物线y2=x中2p=1，p=0.5抛物线y2=x的焦点和准线的距离等于0.5故答案为：0.514已知双曲线过点且渐近线方程为y=x，则该双曲线的标准方程是x2y2=1【考点】双曲线的标准方程【分析】设双曲线方程为y2x2=，代入点，求出，即可求出双曲线的标准方程【解答】解：设双曲线方程为y2x2=，代入点，可得3=，=1，双曲线的标准方程是x2y2=1故答案为： x2y2=115已知f（x）=x2+3xf（2），则f（2）=8【考点】导数的运算【分析】把给出的函数求导，在其导函数中取x=2，则f（2）可求，再求出f（2）即可【解答】解：f（x）=x2+3xf（2），f（x）=2x+3f（
14、2）令x=2可得 f（2）=4+3f（2），f（2）=2，f（x）=x26x，f（2）=412=8，故答案为：816观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，则a10+b10=123【考点】类比推理；等差数列的通项公式【分析】观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，所求值为数列中的第十项根据数列的递推规律求解【解答】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，第十项为123，即a10+b10=12
15、3，故答案为：123三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17等差数列an中，a2=4，a4+a7=15（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=2an2+n，求b1+b2+b3+b10的值【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可得出（2）利用等差数列求和公式即可得出【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，a2=4，a4+a7=15a1+d=4，2a1+9d=15，解得a1=3，d=1an=n+2（2）bn=2an2+n=2（n+2）2+n=3n+2b1+b2+b3+b10=18518已知f（x）=ax3+
16、bx2+c的图象经过点（0，1），且在x=1处的切线方程是y=x（1）求y=f（x）的解析式；（2）求y=f（x）的单调递增区间【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）由f（x）=ax3+bx2+c的图象经过点（0，1），得c=1，由导数的几何意义得f（1）=3a+2b=1，易求切点（1，1），代入函数解析式可得a+b+1=1，联立可解；（2）解不等式f（x）0可得增区间，注意写成区间形式；【解答】解：（1）f（x）=ax3+bx2+c的图象经过点（0，1），则c=1，f（x）=3ax2+2bx，f（1）=3a+2b=1，切点为（1，1），则f（x）=ax
17、3+bx2+c的图象经过点（1，1），得a+b+1=1，联立解得a=1，b=1，f（x）=x3x2+1；（2）f（x）=3x22x0得x0或x，单调递增区间为（，0），（，+）19设ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（ab+c）=ac（）求B（）若sinAsinC=，求C【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数【分析】（I）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosB，将关系式代入求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（II）由（I）得到A+C的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简
18、cos（AC），变形后将cos（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（AC）的值，利用特殊角的三角函数值求出AC的值，与A+C的值联立即可求出C的度数【解答】解：（I）（a+b+c）（ab+c）=（a+c）2b2=ac，a2+c2b2=ac，cosB=，又B为三角形的内角，则B=120；（II）由（I）得：A+C=60，sinAsinC=，cos（A+C）=，cos（AC）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosCsinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=+2=，AC=30或AC=30，则C=15或C=4520如图，正四棱柱ABCDA1B
19、1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC（1）证明：A1C平面BED；（2）求二面角A1DEB的余弦值【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定【分析】（1）以DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，由向量法能证明A1C平面BED（2）由，得到平面A1DE的法向量，同理得平面BDE的法向量为，由向量法能求出二面角A1DEB的余弦值【解答】解：（1）如图，以DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A1（2，0，4），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），E（0，2，1），A1C平面BED（2），设平面A1DE的
20、法向量为，由及，得2x+2y3z=0，2x4z=0，取同理得平面BDE的法向量为，cos=，所以二面角A1DEB的余弦值为21椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点（）求椭圆C的方程；（）当F2AB的面积为时，求直线的方程【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）由于椭圆过点，离心率为，可得，即，即可解出（2）对直线l的斜率分类讨论，与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出【解答】解：（1）椭圆过点，又离心率为，联立得a2=4，b2=3椭圆的方程为：（2）当直线的倾斜角为时，=，不适合题意当
21、直线的倾斜角不为时，设直线方程l：y=k（x+1），代入得：（4k2+3）x2+8k2x+4k212=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则，|AB|=点F2到直线l的距离d=，=，化为17k4+k218=0，解得k2=1，k=1，直线方程为：xy+1=0或x+y+1=022已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2x+2（）如果函数g（x）的单调递减区间为（，1），求函数g（x）的解析式；（）对一切的x（0，+），2f（x）g（x）+2恒成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算【分析】（）根据函数的单调区间可知，1是导函数所对应方程的两个根，从而可求出a的
22、值；（）2xlnx3x2+2ax1+2在x（0，+）上恒成立将a分离可得alnx，设h（x）=lnx，利用导数研究h（x）的最大值，可求出a的取值范围【解答】解：（）g（x）=3x2+2ax1由题意3x2+2ax10的解集是（，1），即3x2+2ax1=0的两根分别是，1将x=1或代入方程3x2+2ax1=0得a=1，g（x）=x3x2x+2（）由题意知，2xlnx3x2+2ax1+2在x（0，+）上恒成立即alnx，设h（x）=lnx，则令h（x）=0，得x=1，x=（舍），当0x1时，h（x）0；当x1时，h（x）0当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）max=2，a2，即a的取值范围是2，+）2017年3月8日