1、第 41 练 坐标系与参数方程题型分析高考展望 高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识体验高考1(2016课标全国甲)在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为(x6)2y225.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；(2)直线 l 的参数方程是xtcos，ytsin(t 为参数)，l 与 C 交于 A、B 两点，AB 10，求 l 的斜率解(1)由 xcos，ysin 可得圆
2、C 的极坐标方程 212cos 110.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为(R)设 A，B 所对应的极径分别为 1，2，将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得 212cos 110.于是 1212cos，1211.AB|12|122412144cos244.由 AB 10得 cos238，tan 153.所以 l 的斜率为 153 或 153.2(2015江苏)已知圆 C 的极坐标方程为 22 2sin4 40，求圆 C 的半径解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 O，以极轴为 x 轴的正半轴，建立直角坐标系 xOy.圆 C 的极坐标方程为 22 222 s
3、in 22 cos 40，化简，得 22sin 2cos 40.则圆 C 的直角坐标方程为 x2y22x2y40，即(x1)2(y1)26，所以圆 C 的半径为 6.高考必会题型题型一 极坐标与直角坐标的互化直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位如图，设 M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(，)，则xcos，ysin，2x2y2，tan yxx0.例 1 在极坐标系中，曲线 C1：(2cos sin)1 与曲线 C2：a(a0)的一个交点在极轴上，求 a 的值解(2cos sin)1，即 2cos si
4、n 1 对应的普通方程为 2xy10，a(a0)对应的普通方程为 x2y2a2.在 2xy10 中，令 y0，得 x 22.将22，0 代入 x2y2a2 得 a 22.点评(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一(2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性变式训练 1 在以 O 为极点的极坐标系中，直线 l 与曲线 C 的极坐标方程分别是 cos(4)3 2和 sin28cos，直线 l 与曲线 C 交于点 A、B，求线段 AB 的长解 cos(4)cos cos 4sin sin 4 22 cos 22 si
5、n 3 2，直线 l 对应的直角坐标方程为 xy6.又sin28cos，2sin28cos，曲线 C 对应的直角坐标方程是 y28x.解方程组xy6，y28x，得x2，y4 或x18，y12，所以 A(2，4)，B(18,12)，所以 AB 1822124216 2.即线段 AB 的长为 16 2.题型二 参数方程与普通方程的互化1直线的参数方程过定点 M(x0，y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为xx0tcos，yy0tsin(t 为参数)2圆的参数方程圆心在点 M(x0，y0)，半径为 r 的圆的参数方程为xx0rcos，yy0rsin(为参数，02)3圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x
6、2a2y2b21 的参数方程为xacos，ybsin(为参数)(2)抛物线 y22px(p0)的参数方程为x2pt2，y2pt(t 为参数)例 2(2015福建)在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为x13cos t，y23sin t(t 为参数)在极坐标系(与平面直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴)中，直线 l 的方程为 2sin4 m(mR)(1)求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程；(2)设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2，求 m 的值解(1)消去参数 t，得到圆 C 的普通方程为(x1)2(y2)29.由 2s
7、in4 m，得 sin cos m0.所以直线 l 的直角坐标方程为 xym0.(2)依题意，圆心 C 到直线 l 的距离等于 2，即|12m|22，解得 m32 2.点评(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方法有代入消参法，加减消参法，平方消参法等(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若 x、y 有范围限制，要标出 x、y 的取值范围变式训练 2 已知直线 l 的参数方程为x42t，yt2(t 为参数)，P 是椭圆x24y21 上的任意一点，求点 P 到直线 l 的距离的最大值解 由于直线 l 的参数方程为x
8、42t，yt2(t 为参数)，故直线 l 的普通方程为 x2y0.因为 P 为椭圆x24y21 上的任意一点，故可设 P(2cos，sin)，其中 R.因此点 P 到直线 l 的距离是d|2cos 2sin|12222 2sin45.所以当 k4，kZ 时，d 取得最大值2 105.题型三 极坐标、参数方程的综合应用解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等例 3(2015课标全国)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：xtcos，ytsin(t 为参数，t0)，其中 0，在以 O 为极点，
9、x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：2sin，曲线C3：2 3cos.(1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标；(2)若 C1 与 C2 相交于点 A，C1 与 C3 相交于点 B，求 AB 的最大值解(1)曲线 C2 的直角坐标方程为 x2y22y0，曲线 C3 的直角坐标方程为 x2y22 3x0.联立x2y22y0，x2y22 3x0，解得x0，y0或x 32，y32.所以 C2 与 C3 交点的直角坐标为(0,0)和32，32.(2)曲线 C1 的极坐标方程为(R，0)，其中 0.因此 A 的极坐标为(2sin，)，B 的极坐标为(2 3cos，)所以 AB|2sin 2 3c
10、os|4sin3.当 56 时，AB 取得最大值，最大值为 4.点评(1)利用参数方程解决问题，要理解参数的几何意义(2)解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用变式训练 3(2015陕西)在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为x312t，y 32 t(t 为参数)以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为 2 3sin.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)P 为直线 l 上一动点，当 P 到圆心 C 的距离最小时，求 P 的直角坐
11、标解(1)由 2 3sin，得 22 3sin，从而有 x2y22 3y，所以 x2(y 3)23.(2)设 P312t，32 t，又 C(0，3)，则 PC312t 232 t 3 2 t212，故当 t0 时，PC 取得最小值，此时，P 点的直角坐标为(3,0)高考题型精练1已知圆的极坐标方程为 4cos，圆心为 C，点 P 的极坐标为(4，3)，求 CP 的长解 由 4cos 得 24cos，即 x2y24x，即(x2)2y24，圆心 C(2,0)，又由点 P 的极坐标为(4，3)可得点 P 的直角坐标为(2,2 3)，CP2222 3022 3.2(2015安徽改编)在极坐标系中，求圆
12、 8sin 上的点到直线 3(R)距离的最大值解 圆 8sin 化为直角坐标方程为 x2y28y0，即 x2(y4)216，直线 3(R)化为直角坐标方程为 y 3x，结合图形知圆上的点到直线的最大距离可转化为圆心到直线的距离再加上半径圆心(0,4)到直线 y 3x 的距离为|04|32122，又圆的半径 r4，所以圆上的点到直线的最大距离为 6.3在极坐标系中，已知三点 M(2，3)、N(2,0)、P(2 3，6)(1)将 M、N、P 三点的极坐标化为直角坐标；(2)判断 M、N、P 三点是否在一条直线上解(1)由公式xcos，ysin 得 M 的直角坐标为(1，3)，N 的直角坐标为(2,
13、0)，P 的直角坐标为(3，3)(2)kMN 321 3，kNP 3032 3.kMNkNP，M、N、P 三点在一条直线上4(2015重庆改编)已知直线 l 的参数方程为x1t，y1t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos 240，34 54，求直线 l 与曲线 C 的交点的极坐标解 直线 l 的直角坐标方程为 yx2，由 2cos 24 得 2(cos2sin2)4，直角坐标方程为 x2y24，把 yx2 代入双曲线方程解得 x2，因此交点为(2,0)，其极坐标为(2，)5以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立
14、极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知直线 l 的参数方程是xt1，yt3(t 为参数)，圆 C 的极坐标方程是4cos，求直线 l 被圆 C 截得的弦长解 直线 l 的参数方程xt1，yt3(t 为参数)化为直角坐标方程是 yx4，圆 C 的极坐标方程 4cos 化为直角坐标方程是 x2y24x0.圆 C 的圆心(2,0)到直线 xy40 的距离为 d 22 2.又圆 C 的半径 r2，因此直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 r2d22 2.6(2016江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为x112t，y 32 t，(t 为参数)，椭圆 C 的参数方程为xcos
15、，y2sin(为参数)设直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长解 直线 l 的方程化为普通方程为 3xy 30，椭圆 C 的方程化为普通方程为 x2y241，联立方程组得 3xy 30，x2y241，解得x11，y10或x217，y28 37，A(1,0)，B17，8 37.故 AB117208 372167.7(2015湖南)已知直线 l：x5 32 t，y 312t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos.(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点 M 的直角坐标为(5，3)，直线 l 与
16、曲线 C 的交点为 A，B，求 MAMB 的值解(1)2cos 等价于 22cos.将 2x2y2，cos x 代入即得曲线 C 的直角坐标方程为 x2y22x0.(2)将x5 32 t，y 312t代入式，得 t25 3t180.设这个方程的两个实根分别为 t1，t2，则由参数 t 的几何意义即知，MAMB|t1t2|18.8已知直线 l 的参数方程是x2t，y4ta(t 为参数)，圆 C 的极坐标方程为 4 2cos4.(1)将圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若圆上有且仅有三个点到直线 l 的距离为 2，求实数 a 的值解(1)由 4 2cos4，得 4cos 4sin，即 24cos 4sin.由xcos，ysin 得 x2y24x4y0，得(x2)2(y2)28.所以圆 C 的直角坐标方程为(x2)2(y2)28.(2)直线 l 的参数方程x2t，y4ta 可化为 y2xa，则由圆的半径为 2 2知，圆心(2，2)到直线 y2xa 的距离恰好为 2.所以|6a|5 2，解得 a6 10.
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