1、北京四中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.1（5分）设集合M=0，1，2，N=x|x23x+20，则MN=（）A1B2C0，1D1，22（5分）设a=，b=，c=，则（）AabcBbacCacbDbca3（5分）已知i是虚数单位，a，bR，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=sin3x的图象（）A向右平移个单位B向左平移个单位C向右平移个单位D向左平移个单位5（5分）函数y=的图象大致为（）ABCD
2、6（5分）设x，yR，向量=（x，1），=（1，y），=（2，4）且，则|+|=（）ABCD107（5分）已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）kx+k只有一个零点，则k的取值范围是（）A（，1）（1，+）B（1，1）C0，1D（，10，18（5分）设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，bR，ab0，若f（x）|f（）|对一切xR 恒成立，则下列结论正确的是（）f（）=0；既不是奇函数也不是偶函数；f（x）的单调递增区间是k+，k+（kZ）；存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交ABCD二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9（5分）在等差数列an中，已知a4+a
3、8=16，则该数列前11项和S11=10（5分）如图，阴影区域是由函数y=cosx的一段图象与x轴围成的封闭图形，则该阴影区域的面积是11（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且 a=15，b=10，A=60，则cosB=12（5分）已知实数x，y满足2x+2y=1，则x+y的最大值是13（5分）若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的取值范围14（5分）设集X是实数集R上的子集，如果x0R满足：对a0，都xX，使得0|xx0|a，那么称x0为集合X的聚点，用Z表示整数集，则给出下列集合：|nZ，n0；x|xR，x0；|nZ，n0；整数集Z其中以0为聚点的
4、集合的序号有（写出所有正确集合的序号）三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15（13分）已知函数f（x）=2（cosxsinx）sinx，xR（）求函数f（x）的最小正周期与单调增区间；（）求函数f（x）在0，上的最大值与最小值16（13分）已知数列an满足：a1=1，2an+1=2an+1，nN+数列bn的前n项和为Sn，Sn=9，nN+（）求数列an，bn的通项公式；（）设cn=anbn，nN+求数列cn的前n项和Tn17（13分）已知函数f（x）=（1+x）22aln（1+x）（aR）（）求f（x）的单调区间；（）若a=1，x0，1，求函数y=f（x）图
5、象上任意一点处切线斜率k的取值范围18（13分）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？19（14分）已
6、知函数f（x）=ln（2ax+1）+2ax（aR）（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若y=f（x）在3，+）上为增函数，求实数a的取值范围20（14分）已知Sn=A|A=（a1，a2，a3，an），ai=0或1，i=1，2，n（n2），对于U，VSn，d（U，V）表示U和V中相对应的元素不同的个数（）令U=（0，0，0，0），存在m个VS5，使得d（U，V）=2，写出m的值；（）令，U，VSn，求证：d（U，W）+d（V，W）d（U，V）；（）令U=（a1，a2，a3，an），若VSn，求所有d（U，V）之和北京四中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析
7、一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.1（5分）设集合M=0，1，2，N=x|x23x+20，则MN=（）A1B2C0，1D1，2考点：交集及其运算 专题：集合分析：求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论解答：解：N=x|x23x+20=x|（x1）（x2）0=x|1x2，MN=1，2，故选：D点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础2（5分）设a=，b=，c=，则（）AabcBbacCacbDbca考点：对数值大小的比较 专题：函数的性质及应用分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出解答：解：a=1，b=0，0c=1，acb故选：C点评：本题考查了指数函数与对数函数的单调
8、性，属于基础题3（5分）已知i是虚数单位，a，bR，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件考点：复数相等的充要条件；充要条件 专题：简易逻辑分析：利用复数的运算性质，分别判断“a=b=1”“（a+bi）2=2i”与“a=b=1”“（a+bi）2=2i”的真假，进而根据充要条件的定义得到结论解答：解：当“a=b=1”时，“（a+bi）2=（1+i）2=2i”成立，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分条件；当“（a+bi）2=a2b2+2abi=2i”时，“a=b=1”或“a=b=1”，故“a=b=1”是“（
9、a+bi）2=2i”的不必要条件；综上所述，“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分不必要条件；故选A点评：本题考查的知识点是充要条件的定义，复数的运算，难度不大，属于基础题4（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=sin3x的图象（）A向右平移个单位B向左平移个单位C向右平移个单位D向左平移个单位考点：函数y=Asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质分析：根据 函数y=sin3x+cos3x=sin3（x+），利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，可得结论解答：解：函数y=sin3x+cos3x=sin（3x+）=sin3（x+），将函数
10、y=sin3x的图象向左平移个单位可得函数y=sin3x+cos3x的图象，故选：D点评：本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基础题5（5分）函数y=的图象大致为（）ABCD考点：余弦函数的图象；奇偶函数图象的对称性 专题：三角函数的图像与性质分析：由于函数y=为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A，利用极限思想（如x0+，y+）可排除B，C，从而得到答案D解答：解：令y=f（x）=，f（x）=f（x），函数y=为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A；又当x0+，y+，故可排除B；当x+，y0，故可排除C；而D均满足以上分析故选D点评：本题考查奇偶函数图象的对称性，考查极限
11、思想的运用，考查排除法的应用，属于中档题6（5分）设x，yR，向量=（x，1），=（1，y），=（2，4）且，则|+|=（）ABCD10考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示 专题：计算题分析：由两个向量垂直的性质可得2x4=0，由两个向量共线的性质可得42y=0，由此求出 x=2，y=2，以及的坐标，从而求得|的值解答：解：向量=（x，1），=（1，y），=（2，4）且，则有2x4=0，42y=0，解得 x=2，y=2，故=（3，1 ）故有|=，故选B点评：本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题7（5分
12、）已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）kx+k只有一个零点，则k的取值范围是（）A（，1）（1，+）B（1，1）C0，1D（，10，1考点：函数零点的判定定理 专题：函数的性质及应用分析：由题意可得函数y=f（x）的图象和直线y=k（x1）只有一个交点，数形结合求得k的范围解答：解：由题意可得函数y=f（x）的图象（红线部分）和直线y=k（x1）（蓝线部分）只有一个交点直线y=k（x1）经过定点（1，0），斜率为k当 0x1时，f（x）=1，当x1时，f（x）=1，0），如图所示：故 k（，10，1，故选：D点评：本题主要考查函数的零点与方程根的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题8（5
13、分）设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，bR，ab0，若f（x）|f（）|对一切xR 恒成立，则下列结论正确的是（）f（）=0；既不是奇函数也不是偶函数；f（x）的单调递增区间是k+，k+（kZ）；存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交ABCD考点：两角和与差的正弦函数；复合三角函数的单调性 专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：由题意知，f（）是f（x）的最大值或最小值，且f（x）的周期为；=为个周期，f（）=0；由f（）=sin（+）=0可得（kZ），则既不是奇函数也不是偶函数；若f（）是f（x）的最大值，则k+，k+（kZ）是f（x）的单调减区间；由a，b，结
14、合三角函数的图象可得，不存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交解答：解：f（x）=asin2x+bcos2x=sin（2x+），又f（x）|f（）|对一切xR 恒成立，f（）是f（x）的最大值或最小值，f（x）的周期为，=为个周期，f（）=0；由f（）=sin（+）=0，则（kZ），则既不是奇函数也不是偶函数；若f（）是f（x）的最大值，则k+，k+（kZ）是f（x）的单调减区间；a，b，不存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交故选A点评：本题考查了三角函数的图象及由图象可得到的性质，用到了数形结合的思想，属于中档题二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9（5分
15、）在等差数列an中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=88考点：等差数列的前n项和 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：由等差数列的性质知S11=（a1+a11）=，由此能够求出结果解答：解：等差数列an中，a4+a8=16，S11=（a1+a11）=88故答案为：88点评：本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答10（5分）如图，阴影区域是由函数y=cosx的一段图象与x轴围成的封闭图形，则该阴影区域的面积是2考点：定积分 专题：导数的综合应用分析：由题意，利用定积分的几何意义，所求阴影区域的面积是S=，即可得出结论解答：解：由
16、题意，阴影区域的面积是S=sinx=2故答案为：2点评：本题考查了运用定积分求曲边梯形的面积，属于基础题11（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且 a=15，b=10，A=60，则cosB=考点：正弦定理 专题：计算题；解三角形分析：由正弦定理可得，可求sinB，然后结合大边对大角及同角平方关系即可求解解答：解：a=15，b=10，A=60由正弦定理可得，sinB=abABB为锐角cosB=故答案为：点评：本题主要考查了正弦定理及同角平方关系的简单应用，属于基础试题12（5分）已知实数x，y满足2x+2y=1，则x+y的最大值是2考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应
17、用分析：实数x，y满足2x+2y=1，利用基本不等式可得，化简即可得出解答：解：实数x，y满足2x+2y=1，=2，化为x+y2当且仅当x=y=1时取等号则x+y的最大值是2故答案为：2点评：本题考查了基本不等式的性质、指数运算性质，属于基础题13（5分）若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的取值范围（，1考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：先根据 ，确定交点坐标为（1，2）要使直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则m1，由此可得结论解答：解：由题意，由 ，可求得交点坐标为（1，2）要使直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件 ，如图所示可得m1则实数
18、m的取值范围 （，1故答案为：（，1点评：本题考查线性规划知识的运用，考查学生的理解能力，属于基础题14（5分）设集X是实数集R上的子集，如果x0R满足：对a0，都xX，使得0|xx0|a，那么称x0为集合X的聚点，用Z表示整数集，则给出下列集合：|nZ，n0；x|xR，x0；|nZ，n0；整数集Z其中以0为聚点的集合的序号有（写出所有正确集合的序号）考点：元素与集合关系的判断 专题：新定义分析：由已知中关于集合聚点的定义，我们逐一分析四个集合中元素的性质，并判断是否满足集合聚点的定义，进而得到答案解答：解：中，集合|nZ，n0中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大，在
19、a的时候，不存在满足得0|x|a的x，0不是集合|nZ，n0的聚点集合x|xR，x0，对任意的a，都存在x=（实际上任意比a小得数都可以），使得0|x|=a0是集合x|xR，x0的聚点集合|nZ，n0中的元素是极限为0的数列，对于任意的a0，存在n，使0|x|=a0是集合|nZ，n0的聚点对于某个a1，比如a=0.5，此时对任意的xZ，都有|x0|=0或者|x0|1，也就是说不可能0|x0|0.5，从而0不是整数集Z的聚点故答案为：点评：本题考查的知识点是集合元素的性质，其中正确理解新定义集合的聚点的含义，是解答本题的关键三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.1
20、5（13分）已知函数f（x）=2（cosxsinx）sinx，xR（）求函数f（x）的最小正周期与单调增区间；（）求函数f（x）在0，上的最大值与最小值考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；三角函数的最值 专题：三角函数的图像与性质分析：根据题意、二倍角的正弦、余弦公式、两角和的正弦公式运算化简f（x），（）由三角函数的周期公式求出周期，再由正弦函数的单调递增区间求出此函数的增区间；（）由x的范围求出求出的范围，再由正弦函数的性质求出次函数的最大值、最小值解答：解：由题意得，f（x）=2sinxcosx2sin2x=，（）f（x）的最小正周期为：T=，令得，所以函数f（x）的单调增区间
21、是；（）因为，所以，所以，即，所以0f（x）1，当且仅当x=0时，f（x）取最小值f（x）min=f（0）=0，当且仅当时，即时最大值点评：本题考查正弦函数的单调性、最值，以及三角恒等变换的公式的应用，考查了整体思想的应用16（13分）已知数列an满足：a1=1，2an+1=2an+1，nN+数列bn的前n项和为Sn，Sn=9，nN+（）求数列an，bn的通项公式；（）设cn=anbn，nN+求数列cn的前n项和Tn考点：数列的求和；数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：（）根据数列的递推关系即可求数列an，bn的通项公式；（）求出数列cn的通项公式，利用错位相减法即可求出数列cn的前n项
22、和Tn解答：解：（）由2an+1=2an+1得an+1an=，又a1=1，所以数列an是以1为首项，为公差的等差数列，于是an=a1+（n1）d=，当n=1时，b1=S1=9=93=6，当n2时，Sn1=，则bn=SnSn1=9=，又n=1时，=6=b1，所以bn=（）由（）知an=，bn=，所以cn=anbn=（n+1），所以Tn=2（）1+3（）0+4（）1+（n+1）（）n2 （1）等式两边同乘以得Tn=2（）0+3（）1+4（）2+（n+1）（）n1（2）（1）（2）得Tn=2（）1+（）0+（）1+（）n2（n+1）（）n1=6+（n+1）（）n1，所以Tn=（）n2点评：本题主要考
23、查数列的通项公式以及数列的求和，利用错位相减法是解决本题的关键17（13分）已知函数f（x）=（1+x）22aln（1+x）（aR）（）求f（x）的单调区间；（）若a=1，x0，1，求函数y=f（x）图象上任意一点处切线斜率k的取值范围考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的综合应用分析：（）先求函数的定义域，然后求导函数，令导数等于0，判定导数符号从而求出函数的单调区间；（）求切线斜率的取值范围即先求h（x）=f（x）=2（1+x）（x1），的取值范围，可利用导数研究h（x）的范围，即可求出k的取值范围解答：解：（）函数的定义域为（1，+）f（x）=2（x
24、+1）=，当a0时，f（x）0在（1，+）上恒成立，于是f（x）在定义域内单调递增当a0时，f（x）=0得x1=1+，x2=11（舍），当x变化时，f（x），f（x）变化情况如下 x（1，1+）1+ （1+，+）f（x）+f（x）递减极小值递增所以f（x）的单调递增区间是 （1+，+），单调递减区间是（1，1+）综上，当a0时，f（x）单调递增区间是（1，+），当a0时，f（x）的单调递增区间是 （1+，+），单调递减区间是（1，1+）（）当a=1时，f（x）=（1+x）22ln（1+x）（，令h（x）=f（x）=2（1+x）（x1），则h（x）=2+0，故h（x）为区间0，1）上增函数，所以
25、h（x）=f（x）0，3，根据导数的几何意义可知k0，3点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及导数的几何意义，同时考查了计算能力，属于中档题18（13分）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车
26、上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？考点：余弦定理 专题：解三角形分析：（1）根据正弦定理即可确定出AB的长；（2）设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，由余弦定理可得；（3）设乙步行的速度为 v m/min，从而求出v的取值范围解答：解：（1）在ABC中，因为cosA=，cosC=，所以sinA=，sinC=，从而sinB=sin（A+C）=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=由正弦定理，得AB=1040m所以索道AB的长为1040m（2）假设乙出
27、发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2=（100+50t）2+（130t）22130t（100+50t）=200（37t270t+50）=20037（t）2+，因0t，即0t8，故当t=min时，甲、乙两游客距离最短（3）由正弦定理，得BC=500m，乙从B出发时，甲已经走了50（2+8+1）=550m，还需走710m才能到达C设乙步行的速度为 v m/min，由题意得33，解得，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙不行的速度应控制在范围内点评：此题考查了余弦定理，锐角三角函数定义，以及勾股定理，利用了
28、分类讨论及数形结合的思想，属于解直角三角形题型19（14分）已知函数f（x）=ln（2ax+1）+2ax（aR）（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若y=f（x）在3，+）上为增函数，求实数a的取值范围考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 专题：导数的综合应用分析：（1）令f（x）=0解得a，再验证是否满足取得极值的条件即可（2）由y=f（x）在3，+）上为增函数，可得f（x）=0，在3，+）上恒成立对a分类讨论即可得出解答：解：（1）=x=2为f（x）的极值点，f（2）=0，即，解得a=0又当a=0时，f（x）=x（x2），可知：x=2为f（x）的极值点成
29、立（2）y=f（x）在3，+）上为增函数，f（x）=0，在3，+）上恒成立当a=0时，f（x）=x（x2）0在3，+）上恒成立，f（x）在3，+）上为增函数，故a=0符合题意当a0时，由函数f（x）的定义域可知：必须2ax+10对x3恒成立，故只能a0，2ax2+（14a）x（4a2+2）0在区间3，+）上恒成立令g（x）=2ax2+（14a）x（4a2+2），其对称轴为a0，从而g（x）0在区间3，+）上恒成立，只要g（3）0即可由g（3）=4a2+6a+10，解得a0，综上所述，a的取值范围为点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、分类讨论的思想方法等是解题的关键20（14分）已知S
30、n=A|A=（a1，a2，a3，an），ai=0或1，i=1，2，n（n2），对于U，VSn，d（U，V）表示U和V中相对应的元素不同的个数（）令U=（0，0，0，0），存在m个VS5，使得d（U，V）=2，写出m的值；（）令，U，VSn，求证：d（U，W）+d（V，W）d（U，V）；（）令U=（a1，a2，a3，an），若VSn，求所有d（U，V）之和考点：计数原理的应用 专题：计算题；证明题；综合题；压轴题；新定义分析：（）根据d（U，V）可知m=C52；（）根据ai=0或1，i=1，2，n，分类讨论ai=0，bi=0时，|ai|+|bi|=0=|aibi|；当ai=0，bi=1时，|ai
31、|+|bi|=1=|aibi|；当ai=1，bi=0时，|ai|+|bi|=1=|aibi|； 当ai=1，bi=1时，|ai|+|bi|=2|aibi|=0，可证，|ai|+|bi|aibi|，再相加即可证明结论；（）易知Sn中共有2n个元素，分别记为vk（k=1，2，3，2n，v=（b1，b2，b3，bn）bi=0的vk共有2n1个，bi=1的vk共有2n1个然后求和即可解答：解：（）VS5，d（U，V）=2，C52=10，即m=10；（）证明：令U=（a1，a2，a3，an），V=（b1，b2，b3，bn）ai=0或1，bi=0或1；当ai=0，bi=0时，|ai|+|bi|=0=|ai
32、bi|当ai=0，bi=1时，|ai|+|bi|=1=|aibi|当ai=1，bi=0时，|ai|+|bi|=1=|aibi|当ai=1，bi=1时，|ai|+|bi|=2|aibi|=0故，|ai|+|bi|aibi|d（U，W）+d（V，W）=（a1+a2+a3+an）+（b1+b2+b3+bn）=（|a1|+|a2|+|a3|+|an|）+（|b1|+|b2|+|b3|+|bn|）|a1b1|+|a2b2|+|a3b3|+|anbn|=d（U，V）；（）解：易知Sn中共有2n个元素，分别记为vk（k=1，2，3，2n，v=（b1，b2，b3，bn）bi=0的vk共有2n1个，bi=1的vk共有2n1个d（U，V）=2n1（|a10|+|a11|+|a20|+a21|+|a30|+|a31|+|an0|+|an1|=n2n1d（U，V）=n2n1点评：此题是个难题本题是综合考查集合推理综合的应用，这道题目的难点主要出现在读题上，需要仔细分析，以找出解题的突破点题目所给的条件其实包含两个定义，第一个是关于Sn的，其实Sn中的元素就是一个n维的坐标，其中每个坐标值都是0或者1，也可以这样理解，就是一个n位数字的数组，每个数字都只能是0和1，第二个定义d（U，V）
