1、-1-第二章 点、直线、平面之间的位置关系 -2-2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系-3-2.1.1 平面-4-2.1.1 平面 课前预习案 课堂探究案 首页 学 习 目 标 思 维 脉 络 1.了解平面的概念,会用图形与字母表示平面.2.能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系.3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理,理解三个公理的地位与作用.-5-2.1.1 平面 课前预习案 课堂探究案 首页 1.平面描述 几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的,是无限延展的 画法 通常把水平的平面画成一个平行四边形,并且其锐角画成45,且横边长等于其邻边长的 2 倍
2、,如图所示;如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强立体感,被遮挡部分用虚线画出来,如图所示 -6-2.1.1 平面 课前预习案 课堂探究案 首页 记法(1)用一个希腊字母,等来表示,如上图中的平面记为平面 (2)用两个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的对角线的顶点)来表示,如图中的平面记为平面 AC 或平面 BD(3)用三个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的不共线的顶点)来表示,如图中的平面记为平面 ABC 或平面 BCD等(4)用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的顶点)来表示,如图中的平面可记为平面 ABCD -7-2.1.1 平面 课前预习案 课堂探究案 首页-8-2.1
3、.1 平面 课前预习案 课堂探究案 首页 2.点、线、面的位置关系的表示 A是点,l,m是直线,是平面.文字语言 符号语言 图形语言 A 在 l 上 Al A 在 l 外 Al A 在 内 A A 在 外 A l 在 内 l l 在 外 l 或 -9-2.1.1 平面 课前预习案 课堂探究案 首页 文字语言 符号语言 图形语言 l,m 相交于 A lm=A l,相交于 A l=A ,相交于 l=l -10-2.1.1 平面 课前预习案 课堂探究案 首页 做一做1 如图,点A 平面ABC;点A 平面BCD;BD 平面ABD;平面ABC平面BCD=.答案:BC-11-2.1.1 平面 课前预习案
4、课堂探究案 首页 3.平面的基本性质公理 内容 图形 符号 作用 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 Al,Bl,且 A,Bl 判定点、直线是否在平面内 公理2 过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面 A,B,C 三点不共线有且只有一个平面 使 A,B,C 确定平面的依据;证明点、线共面 -12-2.1.1 平面 课前预习案 课堂探究案 首页 公理 内容 图形 符号 作用 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P,且 P=l,且Pl 判定两个平面相交的依据;证明点共线与线共点 -13-2.1.1 平面 课前预习案 课堂探
5、究案 首页-14-2.1.1 平面 课前预习案 课堂探究案 首页 做一做2 两个平面重合的条件是()A.有三个公共点B.有无数个公共点 C.有一条公共直线 D.有两条相交公共直线 解析:两条相交直线确定一个平面.答案:D-15-2.1.1 平面 课前预习案 课堂探究案 首页 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)平面就是平行四边形.()(2)若Aa,a,则A.()(3)经过三点有且只有一个平面.()(4)两个平面的交线可能是一条线段.()答案:(1)(2)(3)(4)-16-2.1.1 平面 课前预习案 课堂探究案 首页 探究一 探究二 探究三 思想方
6、法 当堂检测 证明点、线共面 【例1】证明:两两相交且不过同一点的三条直线共面.已知:如图所示,l1l2=A,l2l3=B,l1l3=C.求证:直线l1,l2,l3在同一平面内.思路分析:先由l1与l2确定一个平面,再证明l3在这个平面内.也可以证明l1,l2确定的平面与l2,l3确定的平面重合.证法一:(纳入平面法)l1l2=A,l1和l2确定一个平面.l2l3=B,Bl2.又l2,B.同理可证C.Bl3,Cl3,l3.直线l1,l2,l3在同一平面内.-17-2.1.1 平面 课前预习案 课堂探究案 首页 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测 证法二:(辅助平面法)l1l2=A,l1
7、,l2确定一个平面.l2l3=B,l2,l3确定一个平面.Al2,l2,A.Al2,l2,A.同理可证B,B,C,C.不共线的三个点A,B,C既在平面内,又在平面内.平面和重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.-18-2.1.1 平面 课前预习案 课堂探究案 首页 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测-19-2.1.1 平面 课前预习案 课堂探究案 首页 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测 变式训练1 已知直线ab,la=A,lb=B.求证:a,b,l共面.证法一:如图所示,由已知ab,过a,b有且只有一个平面.al=A,bl=B,A,B,且Al,Bl,l,即a,b,l共面.
8、证法二:ab,过a,b有且只有一个平面.la=A,过l与a有且只有一个平面.又al=A,bl=B,A,A,B,B.Ba,平面与重合,即a,b,l共面.-20-2.1.1 平面 课前预习案 课堂探究案 首页 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测 证明点共线 【例2】已知ABC在平面外,AB=P,AC=R,BC=Q,如图.求证:P,Q,R三点共线.思路分析:证明P,Q,R三点既在平面ABC内,也在平面内,即得P,Q,R共线.也可以证明Q点既在平面APR内,也在平面内,即点Q在平面APR与平面的交线PR上.证法一:AB=P,PAB,P平面.又AB平面ABC,P平面ABC.由公理3可知点P在平面
9、ABC与平面的交线上,同理可证Q,R也在平面ABC与平面的交线上,P,Q,R三点共线.-21-2.1.1 平面 课前预习案 课堂探究案 首页 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测 证法二:APAR=A,直线AP与直线AR确定平面APR.又AB=P,AC=R,平面APR平面=PR.B平面APR,C平面APR,BC平面APR.QBC,Q平面APR.又Q,QPR,P,Q,R三点共线.-22-2.1.1 平面 课前预习案 课堂探究案 首页 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测-23-2.1.1 平面 课前预习案 课堂探究案 首页 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测 变式训练2 如图
10、所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设A1C平面ABC1D1=E.则B,E,D1三点的关系为 .(填“共线”或“不共线”)-24-2.1.1 平面 课前预习案 课堂探究案 首页 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测 解析:如图所示,连接A1B,BD1,CD1.A1C平面ABC1D1=E,EA1C,E平面ABC1D1.A1C平面A1BCD1,E平面A1BCD1.平面A1BCD1平面ABC1D1=BD1,EBD1,B,E,D1三点共线.答案:共线-25-2.1.1 平面 课前预习案 课堂探究案 首页 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测 证明多线共点 【例3】如图所示,三个平面
11、,两两相交于三条直线,即=c,=a,=b,若直线a和b不平行,求证:a,b,c三条直线必过同一点.思路分析:由a,b都在平面内且不平行,得a,b相交,再证明交点在c上,即证明交点在以c为交线的两个平面,内.-26-2.1.1 平面 课前预习案 课堂探究案 首页 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测 证明:=b,=a,a,b.直线a和b不平行,a,b必相交.如图所示,设ab=P,则Pa,Pb.a,b,P,P.又=c,Pc,即交线c经过点P.a,b,c三条直线相交于同一点.-27-2.1.1 平面 课前预习案 课堂探究案 首页 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测-28-2.1.1 平
12、面 课前预习案 课堂探究案 首页 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测 转化思想在文字语言、图形语言与符号语言中的应用 典例(1)用符号语言表示下列语句,并画出图形.三个平面,相交于一点P,且平面与平面相交于PA,平面与平面相交于PB,平面与平面相交于PC;平面ABD与平面BDC相交于BD,平面ABC与平面ADC相交于AC.(2)用文字语言和符号语言表示右图.-29-2.1.1 平面 课前预习案 课堂探究案 首页 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测【审题视角】(1)根据条件,适当确定其中的某一个平面,然后根据点、线、面的位置关系,将其附着于固定平面上,注意图形的立体感,要将被遮挡
13、部分用虚线表示.(2)用文字语言、符号语言表示一个图形时,应仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何.-30-2.1.1 平面 课前预习案 课堂探究案 首页 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测 解:(1)符号语言表示:=P,=PA,=PB,=PC;图形表示如图所示.符号语言表示:平面ABD平面BDC=BD,平面ABC平面ADC=AC;图形表示如图所示.(2)文字语言:平面内的直线m和n相交于点A;符号语言:m,n,且mn=A.-31-2.1.1 平面 课前预习案 课堂探究案 首页 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测-32-2.1.1 平面 课前预习案 课堂探究案
14、 首页 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测 变式训练 下列四个选项中的图形表示两个相交平面,其中画法正确的是()解析:选项A错误,理由是两平面的交线没画出,且被遮挡的部分未用虚线画出;选项B,C都错误,理由是被遮挡的部分未用虚线画出.D正确.答案:D-33-2.1.1 平面 课前预习案 课堂探究案 首页 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测 1 2341.(2016安徽蚌埠一中高二期中)经过空间任意三点作平面()A.只有一个 B.可作两个 C.可作无数多个 D.只有一个或有无数多个 解析:当三点在一条直线上时,过这三点的平面能作无数个;当三点不在同一条直线上时,过这三点的平面有且
15、只有一个.故选D.答案:D-34-2.1.1 平面 课前预习案 课堂探究案 首页 探究一 探究二 探究三 当堂检测 12 34思想方法 2.(2016河北唐山高二期中)下列图形中不一定是平面图形的是()A.三角形 B.平行四边形 C.梯形 D.四边相等的四边形 解析:利用公理2可知:三角形、平行四边形、梯形一定是平面图形,而四边相等的四边形不一定是平面图形.故选D.答案:D-35-2.1.1 平面 课前预习案 课堂探究案 首页 探究一 探究二 探究三 当堂检测 123 4思想方法 3.已知平面平面=l,点P,P,则点P与直线l的关系是 .答案:Pl-36-2.1.1 平面 课前预习案 课堂探究案 首页 探究一 探究二 探究三 当堂检测 1234 思想方法 4.不重合的三条直线,若相交于一点,最多能确定 个平面.解析:三条直线相交于一点,最多可确定3个平面,如图所示,直线a,b,c相交于点A,直线a,b确定平面,直线b,c确定平面,直线a,c确定平面,共3个平面.答案:3