1、反馈练习一、选择题1若向量a(1，2)，b(2，1,2)，a，b夹角的余弦值为，则等于()A2B2C2或 D2或答案C解析cosa，b，所以2或2若a、b、c是非零空间向量，则下列命题中的真命题是()A(ab)c(bc)aB若ab|a|b|，则abC若acbc，则abD若aabb，则ab答案B解析(ab)c是与c共线的向量，(bc)a是与a共线的向量，a与c不一定共线，故A假；若ab|a|b|，则a与b方向相反，ab，故B真；若acbc，则(ab)c0，即(ab)c，不能得出ab，故C假；若aabb，则|a|b|，方向不确定，故得不出ab，D假3已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab
2、，则与的值可以是()A2， B，C3,2 D2,2答案A解析ab，存在实数k，使bka，即(6,21,2)(kk,0,2k)，或故选A4同时垂直于a(2,2,1)，b(4,5,3)的单位向量是()ABCD或答案D解析设所求向量为c(x，y，z)，则检验知选D点评检验时，先检验A(或B)，若A不满足，则排除A、D；再检验B，若A满足，则排除B，C，只要看D是否成立5已知矩形ABCD，PA平面ABCD，则以下等式中可能不成立的是()A0B0C0 D0答案B解析DA平面PABDAPB0；同知0；PA平面ABCDPACD0；若0，则BDPC，又BDPA，BD平面PAC，故BDAC，但在矩形ABCD中不
3、一定有BDAC，故选B6已知ABCD是四面体，O是BCD内一点，则()是O为BCD重心的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既非充分也非必要条件答案C解析设E为CD中点，()()()，即O为BCD的重心反之也成立7如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中能作为平面AEF的法向量的是()A(1，2,4)B(4,1，2)C(2，2,1)D(1,2，2)答案B解析设平面AEF的法向量n(x，y，z)，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则A(1,0,0)，E(1,1，)，F(，0,1)故(0,
4、1，)，(，0,1)由即所以当z2时，n(4,1，2)，故选B8a(1t,1t，t)，b(2，t，t)，则|ba|的最小值是()ABCD答案C解析ba(1t,2t1,0)，|ba|2(1t)2(2t1)25t22t252，|ba|min9如图ABCDA1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是()ABD平面CB1D1BAC1BDCAC1平面CB1D1D异面直线AD与CB1所成的角为60答案D解析正方体中，BDB1D1，且BD面CB1D1，知BD平面CB1D1，A正确；AC1在面ABCD内的射影为AC，又ACBD，由三垂线定理知AC1BD故B正确；同理可得AC1B1D1，AC1CD1，且B1D1C
5、D1D1，AC1平面CB1D1，故C正确；由ADBC知，B1CB为AD与CB1所成的角，应为45，故D错误10已知ABC的顶点A(1，1,2)，B(5，6,2)，C(1,3，1)，则AC边上的高BD的长等于()A3 B4 C5 D6答案C解析解法一：设D(x，y，z)，则(x1，y1，z2)，(x5，y6，z2)，(0,4，3)，且，|5解法二：设，D(x，y，z)，则(x1，y1，z2)(0,4，3)，x1，y41，z23(4,45，3)，又(0,4，3)，4(45)3(3)0，|511已知正方体ABCDABCD中，点F是侧面CDDC的中心，若xy，则xy等于()A0 B1C D答案A解析如
6、图所示，xy，xy，xy，xy012(2014开滦二中期中)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，AC2，BC，D、E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为()A BC D答案A解析取AC中点F，则DF綊BE，DEBF，BF与平面BB1C1C所成的角为所求，AB1，BC，AC2，ABBC，又ABBB1，AB平面BCC1B1，作GFAB交BC于G，则GF平面BCC1B1，FBG为直线BF与平面BCC1B1所成的角，由条件知BGBC，GFAB，tanFBG，FBG二、填空题13|a|b|c|1，abc0，则acbcab_答案解析设acbcabx，则2x(ab)c
7、(bc)a(ca)b|c|2|a|2|b|23，x14给出命题：在ABCD中，；在ABC中，若0，则ABC是锐角三角形；在梯形ABCD中，E、F分别是两腰BC、DA的中点，则()；在空间四边形ABCD中，E、F分别是边BC、DA的中点，则()以上命题中，正确命题的序号是_答案解析本题考查向量的有关运算满足向量运算的平行四边形法则，正确；|cosA0A90，但B、C无法确定，ABC是否是锐角三角形无法确定，错误；符合梯形中位线，正确；如图：；22()2，则()15如图所示，在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱CC1的中点，则异面直线D1E与AC所成角的余弦值是_答案解析如图，建
8、立空间直角坐标系，则A(4,0,0)，C(0,4,0)，D1(0,0,4)，E(0,4,2)，(4,4,0)，(0,4，2)cos，异面直线D1E与AC所成角的余弦值为16若ABC中，ACB90，BAC60，AB8，PC平面ABC，PC4，M是AB上一点，则PM的最小值为_答案2解析由条件知PC、AC、BC两两垂直，设a，b，c，则abbcca0，BAC60，AB8，|a|CA8cos604，|b|CB8sin604|c|PC4，设xx(ba)，则cax(ba)(1x)axbc，|2(1x)2|a|2x2|b|2|c|22(1x)xab2xbc2(1x)ac16(1x)248x21632(2x
9、2x1)64228，当x时，|2取最小值28，|min2三、解答题17如图，正方体ABCDABCD中，点E是上底面ABCD的中心，用，表示向量，解析(1)(2)()18如图所示，已知空间四边形ABCD，P、Q分别是ABC和BCD的重心求证：PQ平面ACD证明P、Q分别是ABC和BCD的重心()，即PQAD，又PQ平面ACD，AD平面ACD，PQ平面ACD19在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，点D是AB的中点(1)求证：ACBC1；(2)求证：AC1平面CDB1；(3)求AC1与CB1所成角的余弦值解析直三棱柱ABCA1B1C1底面三边长AC3，BC4，AB5，A
10、C、BC、C1C两两垂直如图所示，以C为坐标原点，直线CA、CB、CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4)，D(，2,0)(1)(3,0,0)，(0，4,4)0，ACBC1(2)设CB1与C1B的交点为E，连接DE，则E(0,2,2)(，0,2)，(3,0,4)，DEAC1DE平面CDB1，AC1平面CDB1，AC1平面CDB1(3)(3,0,4)，(0,4,4)，cos异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为20长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4，AD6，AA14，M是A1C1的中点，P在
11、线段BC上，且CP2，Q是DD1的中点，求：(1)M到直线PQ的距离；(2)M到平面AB1P的距离解析如图，建立空间直角坐标系Bxyz，则A(4,0,0)，M(2,3,4)，P(0,4,0)，Q(4,6,2)(1)(2，3,2)，(4，2，2)，在上的射影为，故M到PQ的距离为(2)设n(x，y，z)是平面AB1P的法向量，则n，n，(4,0,4)，(4,4,0)，因此可取n(1,1,1)，由于(2，3，4)，那么点M到平面AB1P的距离为d，故M到平面AB1P的距离为点评求点P到直线l的距离时，在直线l上任取一点Q，则在l上射影的长度为m|cos，n|(n为直线l的一个方向向量)，即m，于是
12、P到l的距离d21(2014浙江理，20)如图，在四棱锥ABCDE中，平面ABC平面BCDE，CDEBED90，ABCD2，DEBE1，AC(1)证明：DE平面ACD；(2)求二面角BADE的大小解析(1)在直角梯形BCDE中，DEBE1，CD2，BDBC，在三角形ABC中，AB2，BC，AC，ACBC平面ABC平面BCOE，而平面ABC平面BCDEBCACBC，AC平面BCDE，ACDE，又DEDC，DE平面ACD(2)由(1)知分别以、为x轴、z轴正方向过C作CMDE，以CM为y轴建立空间直角坐标系则B(1,1,0)，A(0,0，)，D(2,0,0)，E(2,1,0)(1,1，)，(2,0
13、，)，(0,1,0)设平面ABD的法向量n1(x1，y1，z1)，由n1n10，解得n1(1,1，)设平面ADE的法向量n2(x2，y2，z2)，则n2n20，解得：n2(1,0，)设二面角BADE的大小为，易知为锐角，cos|cosn1，n2|，二面角BADE的平面角为22(2014浙北名校联盟联考)已知在长方体ABCDABCD中，点E为棱CC上任意一点，ABBC2，CC1(1)求证：平面ACCA平面BDE；(2)若点P为棱CD的中点，点E为棱CC的中点，求二面角PBDE的余弦值解析(1)ABCD为正方形，ACBD，CC平面ABCD，BDCC，又CCACC，BD平面ACCA，BD平面BDE，平面BDE平面ACCA(2)以DA为x轴，以DC为y轴，以DD为z轴建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，E(0,2，)，P(0,1,1)，设平面BDE的法向量为m(x，y，z)，(2,2,0)，(0,2，)，令x1，则y1，z4，m(1，1,4)，设平面PBD的法向量为n(x，y，z)，(0,1,1)，令x1，则y1，z1，n(1，1,1)，cosm，n，二面角PBDE的余弦值为