1、充分条件与必要条件编稿：张希勇 审稿：李霞【学习目标】1理解充分条件、必要条件、充要条件的定义；2会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件；3会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件表达命题之间的关系.4.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明.【要点梳理】要点一、充分条件与必要条件 充要条件的概念符号与的含义 “若，则”为真命题，记作：；“若，则”为假命题，记作：.充分条件、必要条件与充要条件若，称是的充分条件，是的必要条件.如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件.要点诠释：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理
2、可以得到.“若，则”为真命题；是的充分条件；是的必要条件以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达.要点二、充分条件、必要条件与充要条件的判断从逻辑推理关系看命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件；若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件；若，且，即，则、互为充要条件；若，且，则是的既不充分也不必要条件.从集合与集合间的关系看若p：xA，q：xB， 若AB，则是的充分条件，是的必要条件；若A是B的 真子集，则是的充分不必要条件；若A=B，则、互为充要条件；若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件.要点诠释：充要条件
3、的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行：确定哪是条件，哪是结论；尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件，最后判断条件是结论的什么条件.要点三、充要条件的证明 要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）要点诠释：对于命题“若，则”如果是的充分条件，则原命题“若，则”与其逆否命题“若，则”为真命题；如果是的必要条件，则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为真命题；如果是的充要条件，则四种命题均为真命题.【典型例题】类型一：充分条件、必要条件、充要条
4、件的判定例1. “x0”的_条件【解析】，故，但，“x0”的充分而不必要条件【点评】判定充要条件的基本方法是定义法，即“定条件找推式下结论”；有时需要将条件等价转化后再判定.举一反三：【变式1】指出下列各题中，是的什么条件？(1) : ， : ；(2) : ，: 抛物线过原点(3) : 一个四边形是矩形，: 四边形的邻边相等【答案】(1): 或, : 且,是的必要不充分条件；(2)且,是的充要条件；(3)且，是的既不充分条件也不必要条件.【变式2】判断下列各题中是的什么条件.（1）:且, :（2）:, : .【答案】（1）是的充分不必要条件.且时，成立；反之，当时，只要求、同号即可.必要性不成
5、立.（2）是的既不充分也不必要条件在的条件下才有成立.充分性不成立，同理必要性也不成立.【变式3】设甲，乙，丙是三个命题，如果甲是乙的充要条件，丙是乙的充分非必要条件，那么丙是甲的（ ）.A、充分非必要条件 B、必要非充分条件C、充要条件 D、既不充分也不必要条件【答案】A；【解析】由已知有甲乙，丙乙且乙丙.于是有丙乙甲，且甲丙（否则若甲丙，而乙甲丙，与乙丙矛盾）故丙甲且甲丙，所以丙是甲的充分非必要条件.例2.设条件甲为“”， 条件乙为“”那么甲是乙的（ ）A、充分不必要条件 B、必要不充分条件C、充要条件 D、既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分别解不等式得条件甲为，乙为，BA所以甲是乙
6、的必要不充分条件【点评】先对已知条件进行等价转化化简，然后由定义判断；不等式（解集）表示的条件之间的相互关系可以借助集合间的关系判断.举一反三：【高清课堂：充分条件与必要条件394804例2】【变式1】已知p：0x3，q：|x-1|2，则p是q的（ ）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件xO3-112PQ【答案】q：|x-1|2，解得-1x3，亦即q：-1x3.如图，在数轴上画出集合P=(0,3)，Q=(-1,3)，从图中看PQ， pq，但qp，所以选择（A）.【变式2】下列各小题中，是的什么条件？（在“充分非必要条件”，“必要非充分条件”，“充
7、要条件”“既不充分也不必要条件”中选一种）(1) :，:或；(2) :， :或；（3）:，:关于的方程有实数根.【答案】(1) ，即:，又且，所以是的充分不必要条件.(2) ， 或，即:或，又且，即所以是的充分必要条件.（3）关于的方程有实数根， 即，:，又且，故是的必要不充分条件.【高清课堂：充分条件与必要条件394804例3】【变式3】设，则条件“”的一个必要不充分条件为（ ） A. B. C. D.【答案】A类型二：充要条件的探求与证明例3. 设x、yR，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy0.【解析】（1）充分性：若xy=0，那么x=0，y0；x0，y=0；x=0，y=
8、0，于是|x+y|=|x|+|y|如果xy0，即x0，y0或x0，y0，当x0，y0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|.当x0，y0时，|x+y|=(x+y)=x+(y)=|x|+|y|.总之，当xy0时，有|x+y|=|x|+|y|.（2）必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x、yR，得(x+y)2=(|x|+|y|)2，即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2，|xy|=xy，xy0.综上可得|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy0.【点评】充要条件的证明关键是根据定义确定哪是已知条件，哪是结论，然后搞清楚充分性是证明哪一个命题，必要性是证明哪一个命题.判断命题的充要关系
9、有三种方法：（1）定义法；（2）等价法，即利用与；与；与的等价关系，对于条件或结论是不等关系（否定式）的命题，一般运用等价法.（3）利用集合间的包含关系判断，若，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件.举一反三：【变式1】已知a, b, c都是实数，证明ac0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.【答案】（1）充分性:若ac0，方程ax2+bx+c=0有两个相异实根，设为x1, x2, ac0, x1x2=0, x20，则x1x2=0，ac0综上可得ac0是方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.【变式2】求关于x的方程a
10、x2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件.【答案】（1）a=0时适合.（2）当a0时，显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，则必须满足；若方程有两个负的实根，则必须满足综上知，若方程至少有一个负的实根，则a1；反之，若a1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a1类型三：充要条件的应用例4.已知若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围.【答案】【解析】由解得又由解得p是q的充分不必要条件，所以或解得【点评】解决这类参数的取值范围问题，应尽量运用集合法求解，即先化简集合A、B，再由它们的因果关系，得到A与B的包含关系，进而得到相关不等式组，解之即可.举一反三：【变式1】已知命题p：1cx0)，命题q：x7或x1，并且p是q的既不充分又不必要条件，则c的取值范围是_【答案】0c2【解析】命题p对应的集合Ax|1cx0，同理，命题q对应的集合Bx|x7或x0，综上所述得0c2.【变式2】已知p：AxR|x2ax10，q：BxR|x23x20，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围【答案】2a2【解析】BxR|x23x20x|1x2，p是q的充分不必要条件，即AB，可知或方程x2ax10的两根要在区间1,2内a240或，得2a2.