1、数学试题（理科）第卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数 的虚部是 A. B. C. D. 2.若集合 ，集合 则 的元素个数为 A. 3 B.4 C. 5 D.63.某高校调查了400名大学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，根据此直方图，这400名大学生中每周的自习时间不少于25小时的人数是 A.80 B.100 C.120 D. 1404.设D是线段BC的中点，且 ，则 A. B. C. D. 5.已知直线与圆 交于A,B两点，
2、且与轴、轴分别交于C,D两点，则 A. B. C. D. 6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A. B. C. D. 7.设 满足约束条件 ，则 的最大值为 A. B. C. D. 8.执行如图所示的程序框图，若输入的 值为 ，则输出的值为 A. B. C. D. 9.若函数 的图象关于直线对称，则 的递增区间是 A. B. C. D. 10.已知三棱锥 的每个顶点都在球O的球面上，底面，且，则球O的表面积为 A. B. C. D. 11.若函数的图象上不存在不同的两点，使得此函数的图象在这两点处的切线相互垂直，则称函数具有T性质，下列函数
3、中具有T性质的是 A. B. C. D. 12.直线 与双曲线 的左右两支分别交于B,C两点，A为右顶点，O为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为 A. B. C. D. 第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.若函数 在 上递减，在 上递增，则 . 14.若 的展开式中 的系数为1，则 .15.从集合 中任取3个不同的元素，分别记为 ，则 的概率为 .16.我国南宋著名的数学家秦九韶在他的著作数书九章卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步，欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为
4、13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为 平方千米.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分) 某体育场一角的看台共有20排座位，且此看台的座位是这样排列的：第一排由2个座位，从第二排起每一排都比前一排多1个座位，记 表示第 排的座位数. （1）确定此看台共有多少个座位；（2）设数列 的前20项的和为 ，求的值.18.(本小题满分12分)已知某企业1月份到6月份的利润X（单位：万元）受到市场的影响，是一个随机变量，每个月的利润互不影响，且X的分布列如图所示： （1）求第1个月和第2个月的利润不都高于9万元的概率；（2）求每个月的平均利
5、润；（3）求证：4,5,6月份的总利润是1,2,3月份的总利润的3倍的概率为 .19.(本小题满分12分) 在四棱锥 中，底面 是梯形， ,点E是线段AB上的一点， 平面 ，为等腰直角三角形， （1）求证： 平面 ;（2）若点Q是侧棱PC上的一点，且四面体 与四面体 的体积相等，求二面角 的余弦值.20.(本小题满分12分) 如图，在平面直角坐标中，椭圆 经过点 ，且与圆 外切，过原点 的直线 的倾斜角为钝角，且直线 交椭圆M于B,C两点，A为椭圆的右顶点. （1）求椭圆M的方程；（2）若 的面积为 ，求直线的斜率.21.(本小题满分12分) 设函数 （1）讨论函数 的单调区间；（2）若存在
6、，对任意的 ，使得成立，求的取值范围.请考生从第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选的题目.如果多做，则按所做的第一个题计分.22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲 如图，过点A分别作的切线AP与割线AC，P为切点，AC与交于B,C两点，圆心O在 的内部，,PC与BD交于点N. （1）在线段BC上是否存在一点M,使A,P,O,M四点共圆？若存在，请确定点M的位置，若不存在，请说明理由.（2）若CP=CD,证明：CB=CN.23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲在直角坐标系 中，圆 的方程为，以O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C的极坐标方程；（2）直线 与圆C交于点M,N,求线段MN的长.24.(本小题满分10分)不等式选讲 已知 ，M为不等式的解集. （1）求M；（2）求证：当时，.