1、2.2.4 点到直线的距离必备知识自主学习1.点到直线的距离(1)公式：点 P(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离 d|Ax0By0C|A2B2.(2)本质：用代数方法求平面内点到直线的距离【思考】能不能直接用直线的斜截式方程求点到直线的距离？提示：不能，必须先化成一般式，再代入公式求距离2两条平行直线间的距离(1)定义：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长(2)公式：直线l1：AxByC10，l2：AxByC20间的距离d_(3)本质：用代数方法求平面内两条平行直线间的距离1222|CC|AB【思考】直线l1，l2的方程具备什么特征时，才能直接应用公式求距离？
2、提示：直线l1，l2的方程必须是一般式，且一次项系数A，B相同1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)点 P(x0，y0)到与 x 轴平行的直线 yb(b0)的距离 dy0b.()(2)点 P(x0，y0)到与 y 轴平行的直线 xa(a0)的距离 d|x0a|.()(3)两直线 2x2ym 与 xy2n 的距离为|m2n|2.()提示：(1).点 P(x0，y0)到与 x 轴平行的直线 yb(b0)的距离应为 d|y0b|，因为 y0 与 b 的大小不确定(2).点 P(x0，y0)到与 y 轴平行的直线 xa(a0)的距离 d|x0a|，式子中加了绝对值，所以正确(3).求两条平行线间的
3、距离必须先把 x 与 y 的系数变为相同形式2原点到直线 x2y50 的距离为()A1 B 3 C2 D 5【解析】选 D.d|0205|1222 5.3两条平行线 l1：3x4y70 和 l2：3x4y120 的距离为()A3 B2 C1 D12【解析】选 C.d|7（12）|32421.4(教材二次开发：例题改编)若第二象限内的点 P(m，1)到直线 xy10 的距离为 2，则 m 的值为_.【解析】由|m11|1212 2，得 m4 或 m0，又因为 m0，所以 m4.答案：4关键能力合作学习类型一 点到直线的距离公式(数学运算)1点 P(1，1)到直线 l：3y2 的距离是()A3 B
4、53 C1 D 222已知点 M(1，4)到直线 l：mxy10 的距离为 3，则实数 m()A0 B34 C3 D0 或343已知点 P(1t，13t)到直线 l：y2x1 的距离为 55，则点 P 的坐标为()A(0，2)B(2，4)C(0，2)或(2，4)D(1，1)4点 P(x，y)在直线 xy40 上，则 x2y2 的最小值是()A8 B2 2 C 2 D16【解析】1.选 B.点 P(1，1)到直线 l 的距离 d|3（1）2|023253.2选 D.点 M 到直线 l 的距离 d|m41|m21|m3|m21，所以|m3|m21 3，解得 m0 或 m34.3选 C.直线 l：y
5、2x1 可化为 2xy10，依题意得|2（1t）（13t）1|22（1）2 55，整理得|t|1，所以 t1 或1.当 t1 时，点 P 的坐标为(2，4)；当 t1 时，点 P 的坐标为(0，2).4选 A.x2y2(（x0）2（y0）2)2，它表示原点到(x，y)距离的平方，x2y2 的最小值即为原点到直线 xy40 的距离的平方，|004|228.应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式；(2)点 P 在直线 l 上时，点到直线的距离为 0，公式仍然适用；(3)直线方程 AxByC0 中，A0 或 B0 公式也成立，但由于直线是特殊直线(
6、与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解 【补偿训练】1.若点(4，a)到直线 4x3y0 的距离不大于 3，则 a 的取值范围是()A13，313 B3，4C(0，10)D(，0)10，)【解析】选 A.由|163a|4232 3，即|3a16|15，所以13 a313.2已知点 A(3，4)，B(6，3)到直线 l：axy10 的距离相等，则实数 a的值等于()A79 B13C79 或13 D79 或13【解析】选 C.由点到直线的距离公式可得|3a41|a21|6a31|a21，化简得|3a3|6a4|，解得实数 a79 或13.3已知点 P(a，b)是第二象限的点，那么它到直线 xy0 的
7、距离是()A 22(ab)B 22(ba)Cba Da2b2【解析】选 B.因为 P(a，b)是第二象限的点，所以 a0.所以 ab0)与 xny30 之间的距离是 5，则 mn()A0 B1 C1 D2【解析】选 A.由直线 x2ym0(m0)与 xny30 平行可得n2 即 n2，又因为直线 x2ym0(m0)与 x2y30 的距离为 5，所以|m3|1222 5，解得 m2 或 m8(舍去)，所以 mn2()20.2到直线 2xy10 的距离等于 55的直线方程为()A2xy0B2xy20C2xy0 或 2xy20D2xy0 或 2xy20【解析】选 D.因为所求与直线 2xy10 的距
8、离为 55，所以可得所求直线与已知直线平行，设所求直线方程为 2xyc0(c1)，所以 d|c12212 55，解得 c0 或 c2，故所求直线方程为 2xy0 或 2xy20.类型三 距离的综合应用(数学运算、直观想象)计算三角形面积【典例】已知点 A(1，3)，B(3，1)，C(1，0)，则 ABC 的面积等于()A3 B4 C5 D6【思路导引】计算一条边长和这条边上的高，即第三个顶点到这条边的距离【解析】选 C.设 AB 边上的高为 h，则 SABC12|AB|h，|AB|（31）2（13）2 2 2，AB 边上的高 h 就是点 C 到直线 AB 的距离AB边所在的直线方程为y313
9、x131，即 xy40.点 C 到直线 xy40 的距离为|104|2 52，因此，SABC12 2 2 52 5.求直线方程【典例】已知正方形的中心为直线 2xy20，xy10 的交点，正方形一边所在的直线 l 的方程为 x3y50，求正方形其他三边所在直线的方程【思路导引】先求出正方形中心坐标，利用正方形中心到四边的距离相等及另外三边与已知边 l 平行或垂直求解【解析】设与直线 l：x3y50 平行的边所在的直线方程为 l1：x3yc0(c5).由2xy20，xy10，得正方形的中心坐标为 P(1，0)，由点 P 到两直线 l，l1 的距离相等，得|15|1232|1c|1232，解得 c
10、7 或 c5(舍)，所以 l1：x3y70.又正方形另两边所在直线与 l 垂直，所以设另两边所在直线的方程分别为 3xya0，3xyb0.因为正方形中心到四条边的距离相等，所以|3a|32（1）2|15|1232，得 a9 或 a3，所以另两条边所在的直线方程分别为 3xy90，3xy30.所以另三边所在的直线方程分别为 3xy90，x3y70，3xy30.求过本例中正方形中心且与原点距离最大的直线方程【解析】由例题知，正方形中心坐标为 P(1，0)，则与 OP 垂直的直线到原点的距离最大因为 kOP0，所以此时所求直线方程为 x1.距离公式综合应用的三种常用类型(1)最值问题：利用对称转化为
11、两点之间的距离问题利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值(2)求参数问题：利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值(3)求方程的问题：立足确定直线的几何要素点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解1已知 ABC 中，A(1，1)，B(m，m)(1m4)，C(4，2)，求 m 为何值时，ABC的面积 S 最大？【解析】因为 A(1，1)，C(4，2)，所以|AC|（41）2（21）2 10.又 AC 边所在直线
12、的方程为 x3y20，根据点到直线的距离公式，可得点B(m，m)到直线AC的距离d|m3 m2|10.所以 S12|AC|d12|m3 m 2|12|m322 14|.因为 1m4，所以 1 m 2，12 m 32 12.所以 0m322 1)，则 A(1，0)，D(0，1)，B(b，0)，C(0，b).所以|AD|2，|BC|2 b.梯形的高 h 就是 A 点到直线 l2 的距离，故 h|10b|2|b1|2b12(b1)，由梯形的面积公式得 2 2b2b124，所以 b29，b3.又 b1，所以 b3.从而得直线 l2 的方程是 xy30.课堂检测素养达标1直线 6x8y20 与 6x8y
13、30 间的距离为()A1 B3 C 110 D25【解析】选 C.由平行线间的距离公式可知，直线间的距离为 d|236282 110.2点 P(a，0)到直线 3x4y60 的距离大于 3，则实数 a 的取值范围为()Aa7 Ba3Ca7 或 a3，解得 a7 或 a3.3若直线 l1：xay60 与 l2：()a2x3y2a0 平行，则 l1 与 l2 间的距离为()A 2 B8 23 C 3 D8 33【解析】选 B.由题：直线 l1：xay60 与 l2：()a2x3y2a0 平行，则 3a()a2，即 a22a30 解得 a3 或 a1，当 a3 时，直线 l1：x3y60 与 l2：
14、x3y60 重合；当 a1 时，直线 l1：xy60 与 l2：xy23 0 平行，两直线之间的距离为62328 23.4(教材二次开发：练习改编)若点(2，k)到直线 5x12y60 的距离是 4，则实数 k 的值是_【解析】因为|5212k6|521224，所以|1612k|52，所以 k3 或 k173.答案：3 或1735已知直线 l 经过点(2，3)，且原点到直线 l 的距离等于 2，求直线 l 的方程【解析】当直线 l 的斜率不存在时，直线的方程为 x2，符合原点到直线 l 的距离等于 2.当直线 l 的斜率存在时，设所求直线 l 的方程为 y3k(x2)，即 kxy2k30，由 d|002k3|1k22，得 k 512，即直线 l 的方程为 5x12y260.
