1、第4课时指数函数与对数函数课后训练巩固提升A组1.化简2lg(lga100)2+lg(lga)的结果为()A.1B.2C.3D.0解析:2lg(lga100)2+lg(lga)=(lg2100lga)2+lg(lga)=2lg100+lg(lga)2+lg(lga)=2.答案:B2.关于函数f(x)=12x与函数g(x)=log12|x|在区间(-,0)内的单调性的描述正确的是()A.f(x)和g(x)都单调递增B.f(x)和g(x)都单调递减C.f(x)单调递增,g(x)单调递减D.f(x)单调递减,g(x)单调递增解析:f(x)=12x在区间(-,0)内单调递减,g(x)=log12|x|
2、为偶函数,当x(0,+)时,g(x)=log12x单调递减,所以g(x)在区间(-,0)内单调递增.答案:D3.已知f(x)是函数y=log2x的反函数,则y=f(1-x)的图象是()解析:因为f(x)是函数y=log2x的反函数,所以f(x)=2x.所以y=f(1-x)=21-x=12x-1,其函数的图象可由函数y=12x的图象向右平移1个单位长度得到,故选C.答案:C4.函数f(x)=x+log2x的零点所在区间为()A.0,18B.18,14C.14,12D.12,1解析:因为在4个选项中,只有f14f12bcB.acbC.cabD.cba解析:因为y=log0.6x在区间(0,+)内为
3、减函数,所以log0.60.61.同理,ln0.5ln1=0,即b0.又00.60.50.60,所以0ccb.答案:B6.已知关于x的方程|3x+1-2|=m有两个实数解,则实数m的取值范围是()A.(0,+)B.0,2C.(0,2)D.(2,+)解析:画出函数f(x)=|3x+1-2|的图象(图略),由图象可知,要使直线y=m与f(x)的图象有两个不同的交点,需满足0m1,则函数f(x)的零点为.解析:当x1时,由f(x)=2x-1=0,解得x=0;当x1时,由f(x)=1+log2x=0,解得x=12,又因为x1,所以此时方程无解.综上,函数f(x)的零点只有0.答案:08.函数f(x)=
4、log2xlog2(2x)的最小值为.解析:由题意得x0,所以f(x)=log2xlog2(2x)=12log2xlog2(4x2)=12log2x(log24+2log2x)=log2x+(log2x)2=log2x+122-14-14.当且仅当x=22时,有f(x)min=-14.答案:-149.已知函数f(x)=ax-x-a(a0,且a1)有且仅有两个零点,则实数a的取值范围是.解析:分a1与0a1时,两个函数的图象有两个交点;当0a0,判断函数f(x)的单调性;(2)若abf(x)的解集.解:(1)当a0,b0时,因为y1=a2x,y2=b3x在R上都单调递增,所以函数f(x)在R上单
5、调递增;当a0,b0时,函数f(x)在R上单调递增.(2)f(x+1)-f(x)=a2x+2b3x0.当a0时,32x-a2b,解得xlog32-a2b;当a0,b0时,32x-a2b,解得xlog32-a2b.故当a0时,所求的解集为xxlog32-a2b;当a0,b0时,所求的解集为xx0),且关于x的方程g(x)=m+f(x)在区间1,2上有解,求m的取值范围.(1)证明:任取x1,x2(-,+),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=log2(2x1+1)-log2(2x2+1)=log22x1+12x2+1.因为x1x2,所以02x1+12x2+11,所以log22x1+12x2+1
6、0,所以f(x1)f(x2).所以函数f(x)在区间(-,+)内单调递增.(2)解:因为g(x)=m+f(x),所以g(x)-f(x)=m.设h(x)=g(x)-f(x)=log2(2x-1)-log2(2x+1)=log22x-12x+1=log21-22x+1.设1x1x22,则32x1+112x2+115,即-23-22x1+1-22x2+1-25,131-22x1+11-22x2+135,log213h(x1)h(x2)log235,即h(x)在区间1,2上单调递增且值域为log213,log235.要使g(x)-f(x)=m有解,需mlog213,log235.故m的取值范围为log
7、213,log235.B组1.下列区间中,函数f(x)=|ln(2-x)|在其上单调递增的是()A.(-,1B.-1,43C.0,32D.1,2)解析:当2-x1,即x1时,f(x)=|ln(2-x)|=ln(2-x),此时函数f(x)在区间(-,1上单调递减.当02-x1,即1x2时,f(x)=|ln(2-x)|=-ln(2-x),此时函数f(x)在区间1,2)内单调递增,故选D.答案:D2.两个函数的图象经过平移后能够重合,称这两个函数为“同形”函数,给出下列四个函数:f1(x)=2log2(x+1),f2(x)=log2(x+2),f3(x)=log2x2,f4(x)=log2(2x),
8、则是“同形”函数的是()A.f2(x)与f4(x)B.f1(x)与f3(x)C.f1(x)与f4(x)D.f3(x)与f4(x)解析:因为f4(x)=log2(2x)=1+log2x,所以f2(x)=log2(x+2)的图象沿着x轴先向右平移2个单位长度得到y=log2x的图象,再沿着y轴向上平移1个单位长度可得到f4(x)=log2(2x)=1+log2x的图象,根据“同形”函数的定义,f2(x)与f4(x)为“同形”函数.f3(x)=log2x2=2log2|x|与f1(x)=2log2(x+1)不“同形”,故选A.答案:A3.已知函数f(x)=|lnx|,0e,若a,b,c互不相等,且f
9、(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是.解析:画出函数f(x)的图象如图所示.设f(a)=f(b)=f(c)=m,不妨设abc,则直线y=m与函数f(x)的图象交点的横坐标从左到右依次为a,b,c.由图象易知0a1bece2,所以f(a)=|lna|=-lna,f(b)=|lnb|=lnb.因此-lna=lnb,lna+lnb=0,lnab=ln1,于是ab=1.所以abc=c(e,e2).答案:(e,e2)4.如图,矩形ABCD的三个顶点A,B,C分别在函数y=log22x,y=x12,y=22x的图象上,且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A的纵坐标为2,则点D的坐标为.解析:由题
10、中图象可知,点A(xA,2)在函数y=log22x的图象上,所以2=log22xA,xA=222=12.点B(xB,2)在函数y=x12的图象上,所以2=xB12,即xB=4.由点B为(4,2),可知点C为(4,yC).又点C(4,yC)在函数y=22x的图象上,所以yC=224=14.又xD=xA=12,yD=yC=14,所以点D的坐标为12,14.答案:12,145.已知函数f(x)=loga(1-x)+loga(x+3)(0a0,x+30,解得-3x1.故函数f(x)的定义域为(-3,1).(2)函数f(x)可化为f(x)=loga(1-x)(x+3)=loga(-x2-2x+3)=lo
11、ga-(x+1)2+4.因为-3x1,所以0-(x+1)2+44.因为0a0,解得-1x1,故函数f(x)的定义域为(-1,1).(2)函数f(x)为奇函数.理由如下:f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,对任意的x(-1,1),有f(-x)=2-x-12-x+1+log21-x1+x=1-2x1+2x-log21+x1-x=-f(x),f(x)为奇函数.(3)要求函数g(x)的零点,即求方程g(x)=0的解.由f(1-x2)+f3x2=0及f(x)为奇函数,可得f3x2=-f(1-x2)=f(x2-1),任取x1,x2(-1,1),且x1x2,f(x1)-f(x2)=2x1-12x1+1+log21+x11-x1-2x2-12x2+1+log21+x21-x2=2(2x1-2x2)(2x1+1)(2x2+1)+log21+x11-x11-x21+x2.-1x1x21,2(2x1-2x2)(2x1+1)(2x2+1)0,01+x11-x11-x21+x21,log21+x11-x11-x21+x20,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),f(x)在定义域(-1,1)内为增函数,由f3x2=f(x2-1),得3x2=x2-1,解得x=2或x=-12.验证当x=2时,1-x2-1,不符合题意,当x=-12时,符合题意.函数g(x)的零点为x=-12.