1、北京市四中2011-2012学年上学期高二年级期末测验数学试卷（理科）（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）试卷分为两卷，卷（I）100分，卷（II）50分卷（I）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 1. 抛物线的焦点坐标为 A. （1，0）B. （0，1）C. （2，0）D. （0，2） 2. 若为异面直线，直线，则与的位置关系是 A. 相交B. 异面C. 平行D. 异面或相交 3. 已知，且，则实数的值是 A. -2B. 2C. D. 4. 若双曲线的离心率为2，则等于 A. 2B. C. D. 1 5. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A. 2B
2、. 1C. D. 6. 已知ABC的顶点B，C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，则椭圆的另一个焦点在BC边上，则ABC的周长是 A. B. 6C. D. 12 7. 过点（2，4），与抛物线有且仅有一个公共点的直线有 A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条 8. 双曲线的一个焦点是（0，3），那么的值是 A. 1B. 1C. D. 9. 已知直线和平面，在下列命题中真命题是 A. 若内有无数多条直线垂直于内的一条直线，则B. 若内有不共线的三点到的距离相等，则C. 若是异面直线，则D. 若 10. 过抛物线的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p的值是 A.
3、 2B. 4C. D. 11. 在正方体中，P是侧面内一动点，若点P到直线BC的距离与点P到直线的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是 A. 直线B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线 12. 已知直线与曲线有公共点，则的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 13. 一个圆柱的侧面展开图是一个边长为1的正方形，则该圆柱的体积是_。 14. 已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是_。 15. 已知三棱锥S-ABC中，SA平面ABC，ABBC，SA=AB=1，BC=，则该三棱锥外接球的表面积等于_。 16.
4、 已知椭圆的两焦点为，点满足，则的取值范围为_，直线与椭圆C的公共点个数是_。三、解答题：本大题共2小题，每小题12分，共24分 17. 已知直三棱柱中，ABAC，D，E，F分别为，BC的中点。 （1）求证：DE平面ABC； （2）求证：平面AEF； （3）求二面角的大小。 18. 已知椭圆的右焦点为（3，0），离心率为。 （1）求椭圆的方程。 （2）设直线与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段，的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，求的值。卷（II）一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 1. 已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离
5、之和的最小值为 A. B. 3C. D. 2. 长方体的8个顶点在同一球面上，且AD=2，AD=，则顶点A，B间的球面距离是 A. B. C. D. 3. 如图，平面平面，直线，A，C是内不同的两点，B，D是内不同的两点，且A，B，C，D，M，N分别是线段AB，CD的中点，下列判断正确的是 A. 当|CD|=2|AB|时，M，N两点不可能重合B. M，N两点可能重合，但此时直线AC与不可能相交C. 当AB与CD相交，直线AC平行于时，直线BD可以与相交D. 当AB，CD是异面直线时，直线MN可能与平行二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 4. 如图，已知正方体中，E是棱的中点，则异
6、面直线与AE所成角的余弦值是_。 5. 已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为_。 6. 如图，直角坐标系所在的平面为，直角坐标系（其中轴与轴重合）所在的平面为，已知平面内有一点P（，2），则点P在平面内的射影P在坐标系中的坐标为_，已知平面内的曲线C的方程是，则曲线C在平面内的射影C在坐标系中的方程是_。三、解答题：本大题共2小题，每小题10分，共20分 7. 如图，平面PAC平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC=16，PA=PC=10。 （1）设G是OC的中点，证明：FG/平面B
7、OE； （2）问在ABO内是否存在一点M，使FM平面BOE。若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。 8. 设，椭圆方程为，抛物线方程为，如图所示，过点F（0，）作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点。 （1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程； （2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）。【试题答案】卷（I） 1-5 CDADB6-10 CBACA11-12 DB 13. 14. 15. 16. ；0 17. 解：（1）取
8、的中点G，则DGAB，EGAC，所以平面GDE平面ABC，所以DE平面ABC。 （2）连结AF，则AF平面。 ，所以平面AEF。 （3）以A为坐标原点，分别以AB，AC，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则为平面AEF的法向量。 又，设平面的法向量为，则 。 解得，取，则，从而 ，即二面角是。 18. 解：（1）由题意得，得。 结合，解得，。 所以，椭圆的方程为。 （2）由，得。 设，则， 依题意，OMON， 易知，四边形为平行四边形，所以， 因为， 所以。 即， 解得。卷（II）1-3 ACB 4. ；5. 6. （2，2）； 7. 证明：（1）设PE中点为H，连结FH、GH。 则因为
9、FHBE，GHOE，所以平面FGH平面BOE，所以FG平面BOE。 （2）以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则F（4，0，3）。 设点M的坐标为（），则平面BOE的法向量为。 又因为，解得。 在平面直角坐标系中，OAB内部区域可表示为不等式组，所以点M在OAB内部。 点M坐标是。 8. 解：（1）由得， 当得，G点的坐标为（4，）， 法一：，与抛物线联立， =0，解得； 法二：由椭圆方程得点的坐标为（，0）， 根据抛物线光学性质，即，即椭圆和抛物线的方程分别为和； （2）过A作轴的垂线与抛物线只有一个交点P，以PAB为直角的RtABP只有一个，同理，以PBA为直角的RtABP只有一个。若以APB为直角，设P点坐标为（），A、B两点的坐标分别为和（，0）， 关于的二次方程有一大于等于1的解，有两解， 即以APB为直角的RtABP有两个， 因此抛物线上存在四个点使得ABP为直角三角形。