1、压轴大题突破练(三)函数与导数(1)1已知函数 f(x)(x22ax2)ex.(1)函数 f(x)在 x0 处的切线方程为 2xyb0，求 a，b 的值；(2)当 a0 时，若曲线 yf(x)上存在三条斜率为 k 的切线，求实数 k 的取值范围解(1)f(x)(x22ax2)ex，f(0)2e02,2b0，得 b2.f(x)(x22ax22x2a)exx2(22a)x22aex，f(0)22a2，得 a2，a2，b2.(2)f(x)x2(22a)x22aex，令 h(x)f(x)，依题意知存在 k 使 h(x)k 有三个不同的实数根，h(x)(x22ax22x2a2x2a2)exx2(42a)
2、x44aex，令 h(x)x2(42a)x44aex0，得 x12，x22a2.由 a0 知 x1x2，则 f(x)在(，2)，(2a2，)上单调递增，在(2,2a2)上单调递减当 x时，f(x)0，当 x时，f(x)，f(x)的极大值为 f(2)e2(2a2)，f(x)的极小值为 f(2a2)e2a2(22a)，此时 e2a2(22a)ke2(2a2)2(2016四川)设函数 f(x)ax2aln x，其中 aR.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)确定 a 的所有可能取值，使得 f(x)1xe1x 在区间(1，)内恒成立(e2.718为自然对数的底数)解(1)f(x)2ax1x2ax21x
3、(x0)当 a0 时，f(x)0 时，由 f(x)0，有 x 12a.此时，当 x0，12a 时，f(x)0，f(x)单调递增(2)令 g(x)1x 1ex1，s(x)ex1x.则 s(x)ex11.而当 x1 时，s(x)0，所以 s(x)在区间(1，)内单调递增又由 s(1)0，有 s(x)0，从而当 x1 时，g(x)0.当 a0，x1 时，f(x)a(x21)ln xg(x)在区间(1，)内恒成立时，必有 a0.当 0a1.由(1)有 f12a 0，所以此时 f(x)g(x)在区间(1，)内不恒成立当 a12时，令 h(x)f(x)g(x)(x1)当 x1 时，h(x)2ax1x1x2
4、e1xx1x1x21xx32x1x2x22x1x20.因此，h(x)在区间(1，)内单调递增又因为 h(1)0，所以当 x1 时，h(x)f(x)g(x)0，即 f(x)g(x)恒成立综上，a12，.3已知函数 f(x)x2ln x.(1)求曲线 f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数 f(x)的单调递减区间；(3)设函数 g(x)f(x)x2ax，a0，若 x(0，e时，g(x)的最小值是 3，求实数 a 的值(e 为自然对数的底数)解(1)f(x)x2ln x，f(x)2x1x.f(1)1.又f(1)1，曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 y1x1，即 xy0.
5、(2)函数 f(x)x2ln x 的定义域为(0，)，由 f(x)2x1x0，得 0 x 22.函数 f(x)x2ln x 的单调递减区间是(0，22)(3)g(x)axln x，g(x)ax1x，令 g(x)0，得 x1a.当1ae，即 0a1e时，g(x)ax1x0 在(0，e上恒成立，则 g(x)在(0，e上单调递减，g(x)ming(e)ae13，a4e(舍去)当 01ae，即 a1e时，列表如下：x(0，1a)1a(1a，e)eg(x)0g(x)极小值1ln aae1由表知，g(x)ming(1a)1ln a3，ae2，满足条件综上，所求实数 ae2，使得当 x(0，e时 g(x)有
6、最小值 3.4(2016山西右玉一中冲刺压轴卷)已知函数 f(x)2xaln x2(a0)(1)若曲线 yf(x)在点 P(1，f(1)处的切线与直线 yx2 垂直，求函数 yf(x)的单调区间；(2)若对x(0，)都有 f(x)2(a1)成立，试求实数 a 的取值范围；(3)记 g(x)f(x)xb(bR)，当 a1 时，函数 g(x)在区间e1，e上有两个零点，求实数b 的取值范围解(1)直线 yx2 的斜率为 1，函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)2x2ax，f(1)212a11，解得 a1，f(x)2xln x2，f(x)x2x2，由 f(x)0 得 x2，由 f(x)0 得 0 x0)，由 f(x)0 得 x2a，由 f(x)0 得 0 x2(a1)成立，f(2a)2(a1)，即22aaln 2a22(a1)，aln 2aa，ln 2a1,0a0)，g(x)x2x2x2，由 g(x)0 得 x1，由 g(x)0 得 0 x1.g(x)的单调递增区间是(1，)，单调递减区间为(0,1)，当 x1 时，g(x)取得极小值 g(1)函数 g(x)在区间e1，e上有两个零点，ge10，ge0，g10，解得 1b2ee1.b 的取值范围是(1，2ee1