1、北京六十七中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1（4分）已知圆的方程为x2+y24x+2y4=0，则圆的半径为（）A3B9CD32（4分）如果两直线ab，且a平面，则b与的位置关系是（）A相交Bb或bCbDb3（4分）已知过点A（2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y1=0平行，则m的值为（）A0B8C2D104（4分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A6B9C12D185（4分）用a、b、c表示三条不同的直线，y表示平
2、面，给出下列命题，其中真命题的是（）若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；若ay，by，则ab；若ay，by，则abABCD6（4分）直线l与两直线y=1，xy7=0分别交于P，Q两点，线段PQ的中点是（1，1）则P点的坐标为（）A（6，1）B（2，1）C（4，3）D（4，1）7（4分）若直线kxy4k=0与曲线有公共的点，则实数k的取值范围（）ABCD8（4分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（）AACBEBEF平面ABCDC三棱锥ABEF的体积为定值DAEF的面积与BEF的面积相等二、填空题：（每小题4分，
3、共24分）9（4分）已知直线l在y轴上的截距为2且倾斜角为45，则直线l方程为；若圆C的圆心为（2，2），且与直线l相切，则圆C方程是为10（4分）已知直线l经过点A（0，4），且与直线2xy3=0垂直，那么直线l的方程是11（4分）如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1底面ABC，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为12（4分）已知平面，和直线m，则满足下列条件中 （填上所有正确的序号）能使 m成立m，m；m；13（4分）已知圆O：（x2）2+（y+4）2=2，点P是圆O上的一动点，则的最大值是； 的最小值是14（4分）如图，在棱长为
4、1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是三、解答题：（共44分，其中15题10分，16题12分，17题12分，18题10分）15（10分）在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，E，F分别为棱AD、，AB的中点（）求证：EF平面C1BD；（）求证：平面CAA1C1平面C1BD16（12分）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（1，4），B（2，1），C（2，3）（）在ABC中，求边AC中线所在直线方程；（）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标及边BC的长度；（）求
5、ABC的面积17（12分）如图，已知直角梯形ABCD中，E为CD边中点，且AECD，又G，F分别为DA，EC的中点，将ADE沿AE折叠，使得DEEC（1）求证：AE平面CDE；（2）求证：FG平面BCD；（3）在线段DC上找一点R，使得平面AER平面DCB，并说明理由18（10分）已知圆C：x2+（y3）2=4，一动直线l过A（1，0）与圆C相交于P、Q两点，M是PQ中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于N（）求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；（）当时，求直线l的方程；（）探索是否与直线l的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由北京六十七中2014-2015学年高二上学期期中数
6、学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1（4分）已知圆的方程为x2+y24x+2y4=0，则圆的半径为（）A3B9CD3考点：圆的一般方程 专题：计算题；直线与圆分析：圆x2+y24x+2y4=0，即（x2）2+（y+1）2=9，由此可得圆的半径解答：解：圆x2+y24x+2y4=0，即（x2）2+（y+1）2=9，故此圆的半径为3，故选：A点评：本题主要考查把圆的一般方程化为标准方程，求圆的半径，属于中档题2（4分）如果两直线ab，且a平面，则b与的位置关系是（）A相交Bb或bCbDb考点：空间中直
7、线与平面之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离分析：若两直线ab，且a平面，根据线面平行的性质定理及线面平行的判定定理，分b和b两种情况讨论，可得b与的位置关系解答：解：若a平面，a，=b则直线ab，故两直线ab，且a平面，则可能b若b，则由a平面，令a，=c则直线ac，结合ab，可得bc，由线面平行的判定定理可得b故两直线ab，且a平面，则可能b故选：B点评：本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，熟练掌握空间直线与平面平行的判定定理和性质定理是解答的关键3（4分）已知过点A（2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y1=0平行，则m的值为（）A0B8C2D10考点：斜率的计算公
8、式 专题：计算题分析：因为过点A（2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y1=0平行，所以，两直线的斜率相等解答：解：直线2x+y1=0的斜率等于2，过点A（2，m）和B（m，4）的直线的斜率K也是2，=2，解得 ，故选 B点评：本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应用4（4分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A6B9C12D18考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可解答：解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为4；
9、底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V=634=12故选C点评：本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算能力5（4分）用a、b、c表示三条不同的直线，y表示平面，给出下列命题，其中真命题的是（）若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；若ay，by，则ab；若ay，by，则abABCD考点：空间中直线与直线之间的位置关系 专题：证明题分析：判断线与线、线与面、面与面之间的关系，可将线线、线面、面面平行（垂直）的性质互相转换，进行证明，也可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析解答：解：根据平行直线的传递性可知正确；在长方体模型中容易观察出中a、
10、c还可以平行或异面；中a、b还可以相交；是真命题，故答案应选：C点评：在判断空间线面的关系，常常把他们放在空间几何体中来直观的分析，在判断线与面的平行与垂直关系时，正方体是最常用的空间模型，大家一定要熟练掌握这种方法6（4分）直线l与两直线y=1，xy7=0分别交于P，Q两点，线段PQ的中点是（1，1）则P点的坐标为（）A（6，1）B（2，1）C（4，3）D（4，1）考点：两条直线的交点坐标；中点坐标公式 专题：直线与圆分析：设P（x，1），由于线段PQ的中点坐标为（1，1），可得Q（2x，3）把Q代入直线xy7=0，解得x即可得出解答：解：设P（x，1），线段PQ的中点坐标为（1，1），Q（
11、2x，3）把Q代入直线xy7=0可得2x（3）7=0，解得x=2P（2，1）故选：B点评：本题考查了直线点斜式、中点坐标公式，属于基础题7（4分）若直线kxy4k=0与曲线有公共的点，则实数k的取值范围（）ABCD考点：直线与圆的位置关系 专题：计算题；直线与圆分析：曲线表示x2+y2=4（y0），即圆的上半圆，直线kxy4k=0恒过定点（4，0），利用点到直线的距离公式可得结论解答：解：曲线表示x2+y2=4（y0），即圆的上半圆，直线kxy4k=0恒过定点（4，0）当直线与x2+y2=4（y0）相切时，k=直线kxy4k=0与曲线有公共的点时，实数k的取值范围是故选D点评：本题考查直线与圆
12、的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题8（4分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（）AACBEBEF平面ABCDC三棱锥ABEF的体积为定值DAEF的面积与BEF的面积相等考点：棱柱的结构特征 专题：计算题分析：AACBE，可由线面垂直证两线垂直；BEF平面ABCD，可由线面平行的定义证线面平行；C三棱锥ABEF的体积为定值，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；D由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故AEF的面积与BEF的面积相等不正确解答：解：AACBE，由题意及图形知，AC面D
13、D1B1B，故可得出ACBE，此命题正确，不是正确选项；BEF平面ABCD，由正方体ABCDA1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF平面ABCD，此命题正确，不是正确选项；C三棱锥ABEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B距离是定值，故可得三棱锥ABEF的体积为定值，此命题正确，不是正确选项；D由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故AEF的面积与BEF的面积相等不正确，故D是错误的综上应选D故选D点评：本题考查棱柱的结构特征，解答本题关键是正确理解正方体的几何性质，且能根据这些
14、几何特征，对其中的点线面和位置关系作出正确判断熟练掌握线面平行的判断方法，异面直线所成角的定义以及线面垂直的证明是解答本题的知识保证二、填空题：（每小题4分，共24分）9（4分）已知直线l在y轴上的截距为2且倾斜角为45，则直线l方程为y=x+2；若圆C的圆心为（2，2），且与直线l相切，则圆C方程是为（x+2）2+（y2）2=2考点：圆的标准方程；直线的截距式方程 专题：计算题；直线与圆分析：先求出直线的斜率，进而利用斜截式即可求出；先由已知条件求出圆的半径，进而利用圆的标准方程即可得出解答：解：直线l倾斜角为45，斜率k=tan45=1，直线l的方程为y=x+2，所求的圆是以点（2，2）为
15、圆心且与直线l相切，半径r=圆的方程为（x+2）2+（y2）2=2故答案为y=x+2；（x+2）2+（y2）2=2点评：熟练掌握直线方程的四种形式和圆的标准方程是解题的关键10（4分）已知直线l经过点A（0，4），且与直线2xy3=0垂直，那么直线l的方程是x+2y8=0考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系 专题：计算题；直线与圆分析：由题意可求出直线l的斜率，由点斜式写出直线方程化简即可解答：解：直线l与直线2xy3=0垂直，直线l的斜率为，则y4=x，即x+2y8=0故答案为：x+2y8=0点评：本题考查了直线方程的求法，属于基础题11（4分）如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长和底面
16、边长均为2，且侧棱AA1底面ABC，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为考点：简单空间图形的三视图 专题：计算题分析：易得等边三角形的高，那么左视图的面积=等边三角形的高侧棱长，把相关数值代入即可求解解答：解：三棱柱的底面为等边三角形，边长为2，作出等边三角形的高CD后，等边三角形的高CD=，侧（左）视图的面积为2=2故选：B三棱柱的底面为等边三角形，边长为2，作出等边三角形的高后，组成直角三角形，底边的一半为1，等边三角形的高为；侧（左）视图的面积为：2=2故答案为：2点评：解决本题的关键是得到求左视图的面积的等量关系，难点是得到侧面积的宽度12（4分）已知平面，
17、和直线m，则满足下列条件中 （填上所有正确的序号）能使 m成立m，m；m；考点：平面与平面之间的位置关系 专题：证明题；空间位置关系与距离分析：利用线面垂直的判定方法，可得m，能使m成立，即可得出结论解答：解：利用线面垂直的判定方法，可得m，能使m成立，故答案为：点评：本题考查直线与平面平行的判定，一般有两种思路：判定定理和定义，要注意根据条件选择使用13（4分）已知圆O：（x2）2+（y+4）2=2，点P是圆O上的一动点，则的最大值是； 的最小值是7考点：圆的标准方程；两点间距离公式的应用 专题：直线与圆分析：（1）首先求出圆心到原点的距离，进一步求出最大值（2）利用直线和圆相切求出最值，进
18、一步求出最小值解答：解：（1）已知圆O：（x2）2+（y+4）2=2，O（2，4），R=则：=（2）利用直线和圆的关系：设直线方程为：y=kx则：当直线与圆相切时：解得：k=1或7所以：故答案为：7点评：本题考查的知识点：与圆有关的最值问题，直线与圆的位置关系14（4分）如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是考点：直线与平面平行的性质 专题：空间位置关系与距离分析：分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，易证平面A1MN平面AEF，由题意知点P必在线段MN上，由
19、此可判断P在M或N处时A1P最长，位于线段MN中点处时最短，通过解直角三角形即可求得解答：解：如下图所示：分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，M、N、E、F为所在棱的中点，MNBC1，EFBC1，MNEF，又MN平面AEF，EF平面AEF，MN平面AEF；AA1NE，AA1=NE，四边形AENA1为平行四边形，A1NAE，又A1N平面AEF，AE平面AEF，A1N平面AEF，又A1NMN=N，平面A1MN平面AEF，P是侧面BCC1B1内一点，且A1P平面AEF，则P必在线段MN上，在RtA1B1M中，A1M=，同理，在RtA1B1N中，求得A1N=，A1MN为等腰三角
20、形，当P在MN中点O时A1PMN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长，A1O=，A1M=A1N=，所以线段A1P长度的取值范围是故答案为：点评：本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P点位置三、解答题：（共44分，其中15题10分，16题12分，17题12分，18题10分）15（10分）在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，E，F分别为棱AD、，AB的中点（）求证：EF平面C1BD；（）求证：平面CAA1C1平面C1BD考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 专题：证明题；空间位置关
21、系与距离分析：（）利用三角形中位线的性质，证明EFBD，再利用线面平行的判定定理证明EF平面C1BD；（）证明BD平面CAA1C1，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面CAA1C1平面C1BD解答：证明：（）E，F分别为AD，AB的中点，EF是ABD的中位线，EFBD（3分）又EF面C1BD，BD面C1BD（4分）EF面C1BD（5分）（）长方体ABCDA1B1C1D1，AA1面ABCD，BD面ABCD，AA1BD（7分）ACBD，AA1AC=A，BD平面CAA1C1，BD平面C1BD，平面CAA1C1平面C1BD点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，（）中的关键
22、是证明EFBD，（）中的关键是证明BD平面CAA1C116（12分）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（1，4），B（2，1），C（2，3）（）在ABC中，求边AC中线所在直线方程；（）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标及边BC的长度；（）求ABC的面积考点：直线的一般式方程与直线的平行关系 专题：直线与圆分析：（1）易得AC边的中点M（，），可得直线BM斜率，进而可得点斜式方程，化为一般式即可；（2）设点D坐标为（x，y），有，解方程组可得D（3，8），由距离公式可得BC；（3）易得直线BC的方程为xy+1=0，可得点A到直线BC的距离d=2，由三角形的面积公式可得解答：解：（1）设
23、AC边的中点为M，则M（，），直线BM斜率k=，直线BM的方程为y+1=（x+2），化为一般式可得9x5y+13=0，AC边中线所在直线的方程为：9x5y+13=0（2）设点D坐标为（x，y），由已知得M为线段BD中点，有，解得，D（3，8），B（2，1），C（2，3）；（3）由B（2，1），C（2，3）可得直线BC的方程为xy+1=0，点A到直线BC的距离d=2，ABC的面积S=42=8点评：本题考查直线的一般式方程和垂直关系，涉及距离公式和三角形的面积，属中档题17（12分）如图，已知直角梯形ABCD中，E为CD边中点，且AECD，又G，F分别为DA，EC的中点，将ADE沿AE折叠，使得D
24、EEC（1）求证：AE平面CDE；（2）求证：FG平面BCD；（3）在线段DC上找一点R，使得平面AER平面DCB，并说明理由考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定 专题：证明题；空间位置关系与距离分析：（1）由已知得DEAE，AEEC根据线面垂直的判定定理，我们可得AE平面CDE；（2）取AB中点H，连接GH，FH，由三角形中位线定理，我们易得到GHBD，FHBC，由面面平行的判定定理得到面FHG面BCD，再由面面平行的定义，得到FG平面BCD；（3）取线段DC中点R，则平面AER平面DCB，根据线面垂直判定定理，及面面垂直判定定理，得到结论解答：证明：（1）由已知得DEAE，AE
25、ECDEEC=E，DE、EC平面DCE（2分）AE平面CDE（4分）（1）取AB中点H，连接GH，FH，GHBD，FHBC，GH面BCD，FH面BCD面FHG面BCD，GF面FHGGF平面BCD（8分）（3）取线段DC中点R，则平面AER平面DCB在DEC中，DE=EC，R为DC中点ERDC （9分）AE平面CDE，DC平面DCEAEDC（10分）又ERAE=E，AE、ER平面AERDC平面AER（11分）DC平面DCB平面AER平面DCB即 取DC中点R时，有平面AER平面DCB （12分）点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，熟练掌握空间
26、直线与平面之间平行及垂直的判定定理、性质定理、定义、几何特征是解答此类问题的关键18（10分）已知圆C：x2+（y3）2=4，一动直线l过A（1，0）与圆C相交于P、Q两点，M是PQ中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于N（）求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；（）当时，求直线l的方程；（）探索是否与直线l的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由考点：直线与圆的位置关系 专题：计算题；分类讨论分析：（）由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径，根据两直线垂直时斜率的乘积为1，由直线m的斜率求出直线l的斜率，根据点A和圆心坐标求出直线AC的斜率，得到直线AC的斜率与直线l的斜率相等，所以得
27、到直线l过圆心；（）分两种情况：当直线l与x轴垂直时，求出直线l的方程；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，写出直线l的方程，根据勾股定理求出CM的长，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线l的距离d，让d等于CM，列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，写出直线l的方程即可；（）根据CMMN，得到等于0，利用平面向量的加法法则化简等于，也分两种情况：当直线l与x轴垂直时，求得N的坐标，分别表示出和，求出两向量的数量积，得到其值为常数；当直线l与x轴不垂直时，设出直线l的方程，与直线m的方程联立即可求出N的坐标，分别表示出和，求出两向量的数量积，也得到其值为常数综上，得到
28、与直线l的倾斜角无关解答：解：（）直线l与直线m垂直，且，kl=3，又kAC=3，所以当直线l与m垂直时，直线l必过圆心C；（）当直线l与x轴垂直时，易知x=1符合题意，当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），即kxy+k=0，因为，所以，则由CM=1，得，直线l：4x3y+4=0从而所求的直线l的方程为x=1或4x3y+4=0；（）因为CMMN，当直线l与x轴垂直时，易得，则，又，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），则由，得N（，），则，=，综上，与直线l的斜率无关，且点评：此题考查学生掌握两直线垂直时斜率满足的条件，灵活运用平面向量的数量积的运算法则化简求值，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，会利用分类讨论的数学思想解决实际问题，是一道综合题