1、广东省揭阳市2015届高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合A=4，5，6，8，B=3，5，7，8，则AB中元素的个数为( )A5B6C7D8考点：并集及其运算 专题：集合分析：根据并集的运算计算即可解答：解：A=4，5，6，8，B=3，5，7，8，AB=3，4，5，6，7，8，故则AB中元素的个数为6个，故选：B点评：本题考查了集合的运算，属于基础题2已知复数z=（87i）（3i），则z在复平面内对应的点位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩
2、充和复数分析：利用复数的运算法则、几何意义即可得出解答：解：复数z=（87i）（3i）=24i21，则z在复平面内对应的点（21，24）位于第二象限故选；B点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题3“ab”是“a2b2”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可解答：解：若a=1，b=1，满足ab，但a2b2不成立，若a=1，b=0，满足a2b2，但ab不成立，故“ab”是“a2b2”的既不充分也不必要条件，故选：D点评：本题主要考查充分条件和必要条件
3、的判断，比较基础4双曲线=1（a0）的离心率为( )ABC2D考点：双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求得双曲线的b=2a，由双曲线的a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到解答：解：双曲线=1（a0）的b=2a，c=a，即有e=故选A点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，属于基础题5已知=（sin，cos），=（2，1），若，则tan的值为( )A2B2CD考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系 专题：平面向量及应用分析：由向量垂直的性质得=2sin+cos=0，从而cos=2sin，由此能求出tan=解答：解：=（sin，cos），=（2，1
4、），=2sin+cos=0，cos=2sin，tan=故选：C点评：本题考查角的正切值的求法，是基础题，解题时要注意向量垂直的性质的合理运用6已知函数y=logax（a0，a1）的图象经过点（2，），则其反函数的解析式为( )Ay=4xBy=log4xCy=2xDy=（）x考点：反函数 专题：函数的性质及应用分析：由对数函数的图象过定点求出a的值，然后化指数式为对数式，再把x，y互换求得原函数的反函数解答：解：y=logax（a0，a1）的图象经过点（2，），解得a=4y=log4x，则x=4y，把x，y互换得到函数y=log4x的反函数为y=4x故选：A点评：本题考查了对数函数的运算性质，考
5、查了函数的反函数的求法，是基础题7某单位200名职工的年龄分布情况如图示，该单位为了解职工每天的睡眠情况，按年龄用分层抽样方法从中抽取40名职工进行调查则应从4050岁的职工中抽取的人数为( )A8B12C20D30考点：分层抽样方法 专题：概率与统计分析：根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论解答：解：由图表关系知，若抽取40名职工，则应从4050岁的职工中抽取的人数为4030%=12，故选：B点评：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键比较基础8不等式组表示的平面区域的面积为( )A14B5C3D7考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：先画出满足条
6、件的平面区域，再求出交点的坐标，根据三角形的面积公式求出即可解答：解：画出满足条件表示的平面区域，如图示：平面区域的面积是4=7，故选：D点评：本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题9设l、m是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是( )A若ml，m，则lB若m，lm，则lC若，l，m，则lmD若m，m，l，l，则考点：空间中直线与平面之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离分析：利用空间直线的位置关系以及线面平行、面面平行的判定定理对选项分别分析解答解答：解：对于A，若ml，m，则l可能在内，故A错误；对于B，若m，lm，则l可能在内，故B错误；对于C
7、，若，l，得到l，结合m，得到lm；故C正确；对于D，若m，m，l，l，则与可能相交；故D错误；故选C点评：本题考查了空间直线的位置关系以及线面平行、面面平行的判定定理，关键是熟练掌握定理10对任意的a、bR，定义：mina，b=；maxa，b=则下列各式中恒成立的个数为( )mina，b+maxa，b=a+bmina，bmaxa，b=ab（mina，b）（maxa，b）=ab（mina，b）（maxa，b）=abA 1B2C3D4考点：进行简单的合情推理 专题：推理和证明分析：本题根据函数的定义，分类研究a，b的大小，可得到取小函数与取大函数mina，b，maxa，b的值，从而得到本题结论解
8、答：解：对任意的a、bR，定义：mina，b=；maxa，b=，mina，b取a，b中的最小值，maxa，b取a，b的最大值mina，b，maxa，b分别取出a，b中的一个最大值与一个最小值，mina，b+maxa，b=a+b，（mina，b）（maxa，b）=ab，故成立；若ab，则有：mina，bmaxa，b=ab，若ab，则mina，bmaxa，b=baab，故不一定成立；若ab，且b0，则有：（mina，b）（maxa，b）=ab，若ab，且a0，（mina，b）（maxa，b）=baab故不一定成立故选B点评：本题考查了新定义函数的理解和分类讨论的数学思想，本题难度不大，属于基础题二
9、、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分（一）必做题（11-13题）11不等式x23x100的解集为x|2x5考点：一元二次不等式的解法 专题：不等式的解法及应用分析：把不等式x23x100化为（x5）（x+2）0，求出解集即可解答：解：不等式x23x100可化为（x5）（x+2）0，解得2x5；该不等式的解集为x|2x5故答案为：x|2x5点评：本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目12在ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，B=2A，cosA=，则b=2考点：正弦定理 专题：解三角形分析：由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式求得
10、sinA和sinB的值，再利用正弦定理求得b的值解答：解：ABC中，由cosA=，B=2A，可得sinA=，sinB=sin2A=2sinAcosA=2=再由正弦定理可得=，即=，求得b=2，故答案为：点评：本题主要考查正弦定理、同角三角函数的基本关系，二倍角公式，属于基础题13已知函数f（x）=x3对应的曲线在点（ak，f（ak）（kN*）处的切线与x轴的交点为（ak+1，0），若a1=1，则=3考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：计算题；导数的概念及应用；等差数列与等比数列分析：求出函数的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程，再令y=0，结合等比数列的定义可得，数列an是
11、首项a1=1，公比的等比数列，再由等比数列的求和公式计算即可得到所求值解答：解：由f（x）=3x2得曲线的切线的斜率，故切线方程为，令y=0得，故数列an是首项a1=1，公比的等比数列，又=，所以故答案为：3点评：本题考查导数的运用：求切线的方程，主要考查导数的几何意义，同时考查等比数列的定义和求和公式，运用点斜式方程求得切线方程是解题的关键（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14在极坐标系中，直线sin（+）=2被圆=4截得的弦长为4考点：简单曲线的极坐标方程 专题：常规题型；转化思想分析：先利用三角函数的和角公式展开直线的极坐标方程的左式，再利用直角
12、坐标与极坐标间的关系，即利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，进行代换即得直角坐标方程，最后利用直角坐标中直线与圆的关系求出截得的弦长即可解答：解：sin（+）=2，sin+cos=2，化成直角坐标方程为：x+y2=0，圆=4化成直角坐标方程为x2+y2=16，圆心到直线的距离为：截得的弦长为：2=故答案为：点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化【几何证明选讲选做题】15如图，BE、CF分别为钝角ABC的两条高，已知AE=1，AB=3，CF=4，则BC边的长为考点：相似
13、三角形的性质 专题：选作题；立体几何分析：先求出BE，再利用BEACFA，求出AC，可得EC，利用勾股定理求出BC解答：解：依题意，AE=1，AB=3，得，因BEACFA得，所以AF=2，AC=6，所以EC=7，所以故答案为：点评：本题考查相似三角形的性质，考查学生的计算能力，正确运用相似三角形的性质是关键三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16已知函数f（x）=2sin（x+）（0，xR）的最小正周期为（1）求的值；（2）若f（）=，（0，），求cos2的值考点：正弦函数的图象 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：（1）直接利用正弦型函数的
14、周期关系式求出结论（2）利用（1）所确定的函数关系式进一步对关系式中的角进行恒等变换，利用三角函数的诱导公式求出结果解答：解：（1）函数f（x）=2sin（x+）（0，xR）的最小正周期为，由得=2；（2）由：得，=点评：本题考查的知识要点：利用正弦型函数周期的关系式确定函数的解析式，函数关系式中角的恒等变换的应用17如图是某市今年1月份前30天空气质量指数（AQI）的趋势图（1）根据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在图4中补全这些数据的频率分布直方图；分组频数 频率 20，40）40，60）60，80）80，100）100，120）120，140）140，160）160，180）180.
15、200 合计 30 1（2）当空气质量指数（AQI）小于100时，表示空气质量优良某人随机选择当月（按30天计）某一天到达该市，根据以上信息，能否认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%？（图中纵坐标1/300即，以此类推）考点：频率分布直方图 专题：应用题；概率与统计分析：（1）根据图中数据，列出频率分布表，画出频率分布直方图即可；（2）由频率分布表，得出该市本月前30天中空气质量优良的天数，计算任意1天空气质量优良的概率即可解答：解：（1）根据图中数据，列出频率分布表如下； 分组频数 频率 20，40）2 40，60）5 60，80）7 80，100） 5100，120） 2120，
16、140） 5140，160）1 160，180） 1180.200 2 合计 30 1根据频率分布表，画出频率分布直方图，如下；（2）由频率分布表知，该市本月前30天中空气质量优良的天数为2+5+7+5=19，此人到达当天空气质量优良的概率：；可以认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%点评：本题考查了列频率分布表与画频率分布直方图的应用问题，也考查了利用频率估计概率的应用问题，是基础题目18如图5，已知BCD中，BCD=90，BC=CD=1，AB=，AB平面BCD，E、F分别是AC、AD的中点（1）求证：平面BEF平面ABC；（2）设平面BEF平面BCD=l，求证CDl；（3）求四棱锥
17、BCDFE的体积V考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离分析：（1）利用线面垂直的判定与性质定理可证：CD平面ABC，再利用三角形的中位线定理可得：EFCD再利用线面垂直的判定、面面垂直的判定即可证明；（2）由CDEF，利用线面平行的判定定理可得：CD平面BEF，再利用线面平行的性质定理即可证明；（3）解法1：由（1）知EFCD，利用三角形相似的性质可得：，得到，求出VBACD即可得出解法2：取BD中点G，连接FC和FG，则FGAB，利用线面垂直的性质可得：FG平面BCD，由（1）知EF平面ABC，利用V=VFEBC+VFBCD即可得出；解答：（1）证明：
18、AB平面BCD，CD平面BCD，ABCD，又BCCD，ABBC=B，CD平面ABC，又E、F分别是AC、AD的中点，EFCDEF平面ABC又EF平面BEF，平面BEF平面ABC（2）证明：CDEF，CD平面BEF，EF平面BEF，CD平面BEF，又CD平面BCD，且平面BEF平面BCD=l，CDl（2）解法1：由（1）知EFCD，AEFACD，=解法2：取BD中点G，连接FC和FG，则FGAB，AB平面BCD，FG平面BCD，由（1）知EF平面ABC，V=VFEBC+VFBCD=点评：本题考查了线面面面垂直与平行的判定与性质定理、三角形的中位线定理、三角形相似的性质三棱锥的体积计算公式，考查了
19、推理能力与计算能力，考查了空间想象能力，属于中档题19已知Sn为数列an的前n项和，Sn=nan3n（n1）（nN*），且a2=12（1）求a1的值；（2）求数列an的通项公式；（3）求证：+考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：（1）在数列递推式中，取n=2，结合已知a2=12求得数列首项；（2）在数列递推式中，取n=1得另一递推式，作差后可得数列an为等差数列，由等差数列的通项公式得答案；（3）求出等差数列的前n项和，取倒数后利用裂项相消法求出+得答案解答：（1）解：由Sn=nan3n（n1），得a1+a2=2a232（21），即a1=a26，a2=12，a1=126=6；（2）
20、解：由Sn=nan3n（n1），得Sn1=（n1）an13（n1）（n2）（n2），两式作差得：an=nan（n1）an16n+6，即anan1=6（n2）数列an是以6为首项，以6为公差的等差数列，an=6+6（n1）=6n；（3）证明：，则，+=点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题20已知抛物线C：x2=2py（p0）的焦点为F，点P是直线y=x与抛物线C在第一象限的交点，且|PF|=5（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l：y=kx+m与抛物线C有唯一公共点M，且直线l与抛物线的准线交于点Q，试探究，在坐标平面内是否存在点N，使得以MQ为
21、直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由考点：抛物线的简单性质 专题：常规题型；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）设点P（m，m）（m0），根据抛物线的定义和点P在抛物线C上构建关于m，p的方程，解方程组即可求出抛物线的方程；（2）假设存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，由直线l：y=kx+m与抛物线C有唯一公共点M知，直线l与抛物线C相切，利用导数求出直线l的方程，进而求出Q点坐标，根据直径所对的圆周角为直角，利用求出N点坐标解答：解：（1）解法1：点P是直线y=x与抛物线C在第一象限的交点，设点P（m，m）（m0），抛物线C的准线为，由|PF|=5结合抛物线的定
22、义得又点P在抛物线C上，m2=2pm（m0）m=2p由联立解得p=2，所求抛物线C的方程式为x2=4y解法2：点P是直线y=x与抛物线C在第一象限的交点，设点P（m，m）（m0），抛物线C的焦点为，由|PF|=5得，即，又点P在抛物线C上，m2=2pm（m0）m=2p由联立解得p=2，所求抛物线C的方程式为x2=4y（2）解法1：由抛物线C关于y轴对称可知，若存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，则点N必在y轴上，设N（0，n），又设点，由直线l：y=kx+m与抛物线C有唯一公共点M知，直线l与抛物线C相切，由得，直线l的方程为，令y=1得，Q点的坐标为，点N在以MQ为直径的圆上，要使方程（
23、*）对x0恒成立，必须有解得n=1，在坐标平面内存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，其坐标为（0，1）解法2：设点M（x0，y0），由l：y=kx+m与抛物线C有唯一公共点M知，直线l与抛物线相切，由得，直线l的方程为，令y=1得，Q点的坐标为，以MQ为直径的圆方程为：分别令x0=2和x0=2，由点M在抛物线C上得y0=1，将x0，y0的值分别代入得：（y1）（y+1）+（x2）x=0（y1）（y+1）+（x+2）x=0联立解得或，在坐标平面内若存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，则点N必为（0，1）或（0，1），将（0，1）的坐标代入式得，左边=2（1y0）+2（y01）=0=右边，
24、将（0，1）的坐标代入式得，左边=不恒等于0，在坐标平面内是存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，点N坐标为为（0，1）点评：本题考查了抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系，这类题目考查比较灵活，解决问题时注意几何关系向代数关系（即坐标关系）的转化21已知函数f（x）=ax，g（x）=lnx，其中aR（1）若函数F（x）=f（x）g（x），当a=1时，求函数F（x）的极值；（2）若函数G（x）=f（sin（x1）g（x）在区间（0，1）上为减函数，求a的取值范围；（3）证明：ln（n+1）考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值 专题：导数的综合应用分析：（1）利用导数研究函数
25、的单调性极值即可得出；（2）解法1：由函数G（x）=f（sin（x1）g（x）=asin（x1）lnx在区间（0，1）上为减函数，可得在（0，1）上恒成立在（0，1）上恒成立，设，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出；解法2：由函数G（x）=f（sin（x1）g（x）=asin（x1）lnx在区间（0，1）上为减函数，可得对x（0，1），（*）恒成立，由x（0，1），可得cos（x1）0，对a分类讨论：当a0时，（*）式显然成立；当a0时，（*）式在（0，1）上恒成立，设h（x）=xcos（x1），利用其单调性即可得出解答：解：（1）当a=1时，函数F（x）=xlnx，（x0），令F（x）=
26、0得x=1，当x（0，1）时F（x）0，当x（1，+）时，F（x）0，即函数F（x）在（0，1）单调递减，在（1，+）单调递增，函数F（x）在x=1处有极小值，F（x）极小=1ln1=1（2）解法1：函数G（x）=f（sin（x1）g（x）=asin（x1）lnx在区间（0，1）上为减函数在（0，1）上恒成立在（0，1）上恒成立，设，则，当x（0，1）时，sin（x1）0，cos（x1）0H（x）0在（0，1）上恒成立，即函数H（x）在（0，1）上单调递减，当x（0，1）时，H（x）H（1）=1，a1解法2：函数G（x）=f（sin（x1）g（x）=asin（x1）lnx在区间（0，1）上为减函数对x（0，1），（*）恒成立，x（0，1），cos（x1）0，当a0时，（*）式显然成立；当a0时，（*）式在（0，1）上恒成立，设h（x）=xcos（x1），易知h（x）在（0，1）上单调递增，h（x）h（1）=1，0a1，综上得a（，1（3）由（2）知，当a=1时，G（x）=sin（x1）lnxG（1）=0，sin（x1）lnx，（*）对kN*有，在（*）式中令得，=，即点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、利用函数的单调性证明不等式，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题