1、专题集训作业(四)一、选择题1(2015武汉调研)设F为抛物线C：x212y的焦点，A，B，C为抛物线上不同的三点，若0，则|FA|FB|FC|()A3B9C12 D18答案D解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，因为A，B，C为抛物线上不同的三点，则A，B，C可以构成三角形抛物线C：x212y的焦点为F(0,3)，准线方程为y3.因为0，所以利用平面向量的相关知识可得点F为ABC的重心，从而有x1x2x30，y1y2y39.又根据抛物线的定义可得|FA|y1(3)y13，|FB|y2(3)y23，|FC|y3(3)y33，所以|FA|FB|FC|y13y23y33y1y
2、2y3918.2(2015唐山调研)已知点F是椭圆C：y21的左焦点，点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为(4,3)，则当|PQ|PF|取最大值时，点P的坐标为()A(，0) B(0，1)C(，) D(，0)答案B解析由题意知椭圆的左焦点为F(1,0)，设椭圆的右焦点为E，则E(1,0)，根据椭圆的定义，知|PF|2|PE|，所以|PQ|PF|PQ|2|PE|2(|PQ|PE|)，易知|PQ|PE|QE|，当且仅当P是QE的延长线与椭圆的交点，即P的坐标为(0，1)时，等号成立，故|PQ|PF|的最大值为2|QE|235，此时点P的坐标为(0，1)3(2015南昌调研)若正数a，b满足1，则的
3、最小值为()A16 B25C36 D49答案A解析因为a，b0，1，所以abab，所以4b16a20.又4b16a4(b4a)4(b4a)()204()204236，当且仅当且1，即a，b3时取等号所以362016.4若、，且sinsin0，则下面结论正确的是()A B0C2答案D解析令f(x)xsinx，x，f(x)为偶函数，且当x0，时，f(x)0，f(x)在0，上为增函数，在，0上为减函数sinsin0f(|)f(|)|22.5(2015九江模拟)在ABC中，|3，|2，点D满足23，BAC60，则()A B.C. D答案D解析因为23，所以，所以().所以()()()222223cos
4、6032.6(2015太原模拟)已知函数f(x)log2x，若在1,8上任取一个实数x0，则不等式1f(x0)2成立的概率是()A. B.C. D.答案C解析1f(x0)21log2x022x04，所求概率为.7(2015广州调研)棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为()A. B.C. D.答案C解析所得图形是一个正八面体，可将它分割为两个四棱锥，棱锥的底面为正方形且边长为a，高为正方体边长的一半，V2(a)2.8(2015保定模拟)已知函数f(x)满足f(x)1，当x0,1时，f(x)x，若在区间(1,1上方程f(x)mxm0有两个不同的实根，则实数m的取值范
5、围是()A0，) B，)C0，) D(0，答案D解析方程f(x)mxm0有两个不同的实根等价于方程f(x)m(x1)有两个不同的实根，等价于直线ym(x1)与函数f(x)的图像有两个不同的交点因为当x(1,0)时，x1(0,1)，所以f(x)1，所以f(x)在同一平面直角坐标系内作出直线ym(x1)与函数f(x)，x(1,1的图像，由图像可知，当直线ym(x1)与函数f(x)的图像在区间(1,1上有两个不同的公共点时，实数m的取值范围为(0，二、填空题9过点(1，)的直线l将圆(x2)2y24分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k_.答案解析由题意得，劣弧所对圆心角最小，则劣弧对
6、应的弦长最短，此时圆心到直线l的距离最大，所以当圆心(2,0)与点(1，)的连线与直线l垂直时，弦长最短此时直线l的斜率k.10设抛物线y22x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|2，则BCF与ACF的面积之比_.答案解析如图所示，设过点M(，0)的直线方程为yk(x)，代入y22x并整理，得k2x2(2k22)x3k20.则x1x2.因为|BF|2，所以|BB|2.不妨设x22是方程的一个根，可得k2，所以x12.11(2015山西四校联考)若函数f(x)2sin(2x)，且f()f()，则函数f(x)图像的对称轴为_答案x(kZ)解析
7、易知函数f(x)的最小正周期为，而f()f()，所以f(x)图像的一条对称轴为x，故函数f(x)的图像的对称轴为x(kZ)12(2015河北五校联考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(2)0，当x0时，xf(x)f(x)0，则不等式xf(x)0的解集是_答案(，2)(0,2)解析显然x0，故不等式xf(x)0与不等式0时，g(x)0，此时g(x)为增函数，又g(2)0，所以不等式g(x)0的解集为(，2)(0,2)，即不等式xf(x)b0)的两个焦点分别为F1，F2，设P为椭圆上一点，F1PF2的外角平分线所在的直线为l，过F1，F2分别作l的垂线，垂足分别为R，S，当P在椭圆上运动时，
8、R，S所形成的图形的面积为_答案a2解析如图，PF1M中，PRF1M且PR是F1PM的平分线，所以|MP|F1P|，可得|PF1|PF2|PM|PF2|MF2|，根据椭圆的定义，可得|PF1|PF2|2a，所以|MF2|2a，即动点M到点F2的距离为定值2a，因为R为F1M的中点，O为F1F2的中点，所以R的轨迹是以点O为圆心，半径为a的圆同理点S的轨迹是以点O为圆心，半径为a的圆故R，S所形成的图形的面积为a2.三、解答题14已知cos，cos()，且0.(1)求tan2的值；(2)求.解析(1)由cos，0，得sin.tan4.于是tan2.(2)由0，得00)，原式x2xcos10，故c
9、os.又由cos1,1得x2x10，得x.所以|bc|min.16(2015福建八县联考)已知xR，函数f(x)2xk2x，kR.(1)若函数f(x)为奇函数，且f(2m1)f(m22m4)0，求实数m的取值范围；(2)若对任意的x0，)都有f(x)2x成立，求实数k的取值范围解析(1)函数f(x)为奇函数且xR，f(0)0，即20k200，解得k1，f(x)2x2x.f(x)2xln22xln2(2x2x)ln20，f(x)在(，)上是增函数f(2m1)f(m22m4)0，即f(2m1)f(m22m4)，2m1(m22m4)，m.(2)x0，)，2xk2x2x，即22xk1，k122x对任意
10、的x0，)恒成立，k(122x)max.又t122x14x在0，)上单调递减，t1400，k0.17(2015北京房山期末)已知椭圆M的对称轴为坐标轴，离心率为，且抛物线y24x的焦点是椭圆M的一个焦点(1)求椭圆M的方程；(2)设直线l与椭圆M相交于A，B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆M上，O为坐标原点求点O到直线l的距离的最小值解析(1)由题意，抛物线的焦点为(，0)，设椭圆方程为1(ab0)则c，由e，得a2，所以b22.所以椭圆M的方程为1.(2)当直线l斜率存在时，设直线方程为ykxm，则由消去y，得(12k2)x24kmx2m240.16k2m24(12k2)(2m24)8(24k2m2)0.设A，B，P点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x0，y0)，则x0x1x2，y0y1y2k(x1x2)2m，由于点P在椭圆M上，所以1.从而1，化简，得2m212k2，经检验满足式又因为点O到直线l的距离为d.当且仅当k0时等号成立当直线l无斜率时，由对称性知，点P一定在x轴上，从而点P的坐标为(2,0)或(2,0)，直线l的方程为x1，所以点O到直线l的距离为1.所以点O到直线l的距离最小值为.