1、2015-2016学年北京五十五中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1已知全集U为实数集，集合A=x|x22x30，B=x|y=ln（1x），则图中阴影部分表示的集合为（）Ax|1x3Bx|x3Cx|x1Dx|1x12复数在复平面上对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3若a=20.5，b=log3，c=ln，则（）AbcaBbacCabcDcab4已知d为常数，p：对于任意nN*，an+2an+1=d；q：数列 an是公差为d的等差数列，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充
2、要条件D既不充分也不必要条件5为了得到函数y=sin3x+cos3x图象，可将函数图象（）A向左平移个单位B向右平移个单位C向右平移个单位D向左平移个单位6执行如图所示的程序框图，如果输入的N是10，那么输出的S是（）A2B1C1D217若函数f（x）=，若f（a）f（a），则实数a的取值范围是（）A（1，0）（0，1）B（，1）（1，+）C（1，0）（1，+）D（，1）（0，1）8设等差数列an的前n项和为Sn，在同一个坐标系中，an=f（n）及Sn=g（n）的部分图象如图所示，则（）A当n=4时，Sn取得最大值B当n=3时，Sn取得最大值C当n=4时，Sn取得最小值D当n=3时，Sn取得最
3、大值二填空题（本题共6小题，每题5分，共30分.）9等比数列an满足a1+a2=3，a2+a3=6，则a7=10在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c若a=4，b=5，ABC的面积为则c=； sinA=11已知角的终边上一点坐标为（3，4），则cos（2）的值是12如图，阴影区域是由函数y=cosx的一段图象与x轴围成的封闭图形，则该阴影区域的面积是13私家车具有申请报废制度一车主购买车辆时花费15万，每年的保险费、路桥费、汽油费等约1.5万元，每年的维修费是一个公差为3000元的等差数列，第一年维修费为3000元，则该车主申请车辆报废的最佳年限（使用多少年的年平均费用最少）是年1
4、4定义在（0，+）上的函数f（x）满足：当x1，3）时，；f（3x）=3f（x）（i）f（6）=；（ii）若函数F（x）=f（x）a的零点从小到大依次记为x1，x2，xn，则当a（1，3）时，x1+x2+x2n1+x2n=三、解答题（共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15函数部分图象如图所示（）求f（x）的最小正周期及解析式；（）求函数f（x）的单调递减区间；（）设g（x）=f（x）2cos2x，求函数g（x）在区间上的值域16设数列an的前n项和为Sn，且满足Sn=2an1（nN*）（）求数列an的通项公式；（）求数列的前n项和Tn；（）数列bn满足bn+1=an+b
5、n（nN*），且b1=3若不等式对任意nN*恒成立，求实数t的取值范围17在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA平面ABCD，PABE，AB=PA=4，BE=2（）求证：CE平面PAD；（）求PD与平面PCE所成角的正弦值；（）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF平面PCE？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由18已知，其中a0（）若函数f（x）在x=3处取得极值，求a的值；（）求f（x）的单调区间；（）若f（x）在0，+）上的最大值是0，求a的取值范围19已知椭圆的离心率为，右顶点为A（）求椭圆C的方程；（）若直线l经过C的左焦点F1且与C相交于B，D两点，求ABD面积的最
6、大值及相应的直线l的方程20已知函数f（x）=（）若曲线y=f（x）在点（x0，f（x0）处的切线方程为axy=0，求x0的值；（）当x0时，求证：f（x）x；（）问集合xR|f（x）bx=0（bR且为常数）的元素有多少个？（只需写出结论）2015-2016学年北京五十五中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1已知全集U为实数集，集合A=x|x22x30，B=x|y=ln（1x），则图中阴影部分表示的集合为（）Ax|1x3Bx|x3Cx|x1Dx|1x1【考点】Venn图表达集合的关系及运算
7、【分析】由韦恩图中阴影部分表示的集合为A（RB），然后利用集合的基本运算进行求解即可【解答】解：A=x|x22x30=x|1x3，B=x|y=ln（1x）=x|1x0=x|x1，则UB=x|x1，由韦恩图中阴影部分表示的集合为A（UB），A（UB）=x|1x3，故选：A2复数在复平面上对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、复数的几何意义即可得出【解答】解： =在复平面上对应的点位于第二象限故选：B3若a=20.5，b=log3，c=ln，则（）AbcaBbacCabcDcab【考点】对数值
8、大小的比较【分析】利用对数函数的单调性即可得出【解答】解：a=20.5，1，0b=log31，c=ln0，abc故选：C4已知d为常数，p：对于任意nN*，an+2an+1=d；q：数列 an是公差为d的等差数列，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】先根据命题的否定，得到p和q，再根据充分条件和必要的条件的定义判断即可【解答】解：p：对于任意nN*，an+2an+1=d；q：数列 an是公差为d的等差数列，则p：nN*，an+2an+1d；q：数列 an不是公差为d的等差数列，由pq，即an+2an+1
9、不是常数，则数列 an就不是等差数列，若数列 an不是公差为d的等差数列，则不存在nN*，使得an+2an+1d，即前者可以推出后者，前者是后者的充分条件，即后者可以推不出前者，故选：A5为了得到函数y=sin3x+cos3x图象，可将函数图象（）A向左平移个单位B向右平移个单位C向右平移个单位D向左平移个单位【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换；两角和与差的余弦函数【分析】根据 函数y=sin3x+cos3x=sin3（x+），利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，可得结论【解答】解：函数y=sin3x+cos3x=sin（3x+）=sin3（x+），将函数y=sin3x的图象向
10、左平移个单位可得函数y=sin3x+cos3x的图象，故选：A6执行如图所示的程序框图，如果输入的N是10，那么输出的S是（）A2B1C1D21【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图可知程序框图的功能是求，S=+的值，用裂项法即可得解【解答】解：模拟执行程序框图，可得N=10，S=0，k=1S=，满足条件k10，k=2，S=+，满足条件k10，k=3，S=+，满足条件k10，k=10，S=+=+=1，不满足条件k10，退出循环，输出S的值为1故选：C7若函数f（x）=，若f（a）f（a），则实数a的取值范围是（）A（1，0）（0，1）B（，1）（1，+）C（1，0）（1，+）D（，1）（0，
11、1）【考点】对数值大小的比较【分析】由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论【解答】解：由题意故选C8设等差数列an的前n项和为Sn，在同一个坐标系中，an=f（n）及Sn=g（n）的部分图象如图所示，则（）A当n=4时，Sn取得最大值B当n=3时，Sn取得最大值C当n=4时，Sn取得最小值D当n=3时，Sn取得最大值【考点】数列的函数特性【分析】由图象可知可能：a7=0.7，S7=0.8，a8=0.4a7=0.7，S7=0.8，S8=0.4a7=0.8，S7=0.7，a8=0.4a7=0.8，S7=0.7，S8=0.4分别利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可判断出【解答】解：由
12、图象可知可能：a7=0.7，S7=0.8，a8=0.4，由a7=0.7，a8=0.4，可得d=1.1，a1=7.3S7=0，与S7=0.8，矛盾，舍去a7=0.7，S7=0.8，S8=0.4由S7=0.8，S8=0.4，可得a8=0.4，=0.4，解得a1=0.5，a8=0.5+7d，解得d=0.40.7=0.3，矛盾，舍去a7=0.8，S7=0.7，a8=0.4由a7=0.8，S7=0.7，可得=0.7，解得a1=1，0.8=1+6d，解得d=0.3，而0.4（0.8）=0.4，矛盾，舍去a7=0.8，S7=0.7，S8=0.4由a7=0.8，S7=0.7，可得，解得a1=10.8=1+6d
13、，解得d=0.3，a8=0.80.3=1.1，S8=0.71.1=0.4，满足条件an=a1+（n1）d=10.3（n1）=1.30.3n0，解得=4+，因此当n=4时，Sn取得最大值故选：A二填空题（本题共6小题，每题5分，共30分.）9等比数列an满足a1+a2=3，a2+a3=6，则a7=64【考点】等比数列的通项公式【分析】根据等比数列的通项公式分别化简a1+a2=3，a2+a3=6后得到首项和公比的两个关系式，分别记作和，然后即可求出公比，把公比代入即可求出首项，根据求出的首项和公比，利用等比数列的通项公式求出a7的值即可【解答】解：由a1+a2=a1（1+q）=3，a2+a3=a1
14、q（1+q）=6，得：q=2，把q=2代入得到a1=1，则a7=26=64故答案为：6410在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c若a=4，b=5，ABC的面积为则c=； sinA=【考点】三角形中的几何计算【分析】利用三角形的面积公式求出sinC，然后求出cosC，利用余弦定理求出c的值，利用正弦定理求出sinA【解答】解：因为a=4，b=5，ABC的面积为所以，所以sinC=，所以cosC=由余弦定理可知，c2=a2+b22abcosC=16+2520=21所以c=由正弦定理可知sinA=故答案为：；11已知角的终边上一点坐标为（3，4），则cos（2）的值是【考点】二倍角的余
15、弦；任意角的三角函数的定义【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得 cos 的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos（2）的值【解答】解：角的终边上一点坐标为（3，4），cos=，则cos（2）=cos2=（2cos21）=12cos2=12=，故答案为：12如图，阴影区域是由函数y=cosx的一段图象与x轴围成的封闭图形，则该阴影区域的面积是2【考点】定积分【分析】由题意，利用定积分的几何意义，所求阴影区域的面积是S=，即可得出结论【解答】解：由题意，阴影区域的面积是S=sinx=2故答案为：213私家车具有申请报废制度一车主购买车辆时花费15万，每年的保险费、路桥费、汽油费等约1.5万元
16、，每年的维修费是一个公差为3000元的等差数列，第一年维修费为3000元，则该车主申请车辆报废的最佳年限（使用多少年的年平均费用最少）是10年【考点】等差数列的性质【分析】设这辆汽车报废的最佳年限n年，年平均费用： =0.15n+1.65，利用均值定理能求出这辆汽车报废的最佳年限【解答】解：设这辆汽车报废的最佳年限n年，第n年的费用为an，则an=1.5+0.3n，前n年的总费用为：Sn=15+1.5n+=0.15n2+1.65n+15，年平均费用： =0.15n+1.652+1.65=4.65，当且仅当0.15n=，即n=10时，年平均费用取得最小值这辆汽车报废的最佳年限10年故答案为：10
17、14定义在（0，+）上的函数f（x）满足：当x1，3）时，；f（3x）=3f（x）（i）f（6）=3；（ii）若函数F（x）=f（x）a的零点从小到大依次记为x1，x2，xn，则当a（1，3）时，x1+x2+x2n1+x2n=6（3n1）【考点】数列的求和；函数的值；函数的零点【分析】（i）由于f（3x）=3f（x），可得f（6）=3f（2），又当x=2时，f（2）=21=1，即可得到f（6）（ii）如图所示，由题意当x0，1）时，不必考虑利用已知可得：当x3，6时，由，可得，f（x）0，3；同理，当x（6，9）时，f（x）0，3；此时f（x）0，3分别作出y=f（x），y=a，则F（x）=f
18、（x）a在区间（3，6）和（6，9）上各有一个零点，分别为x1，x2，且满足x1+x2=26，依此类推：x3+x4=218，x2n1+x2n=223n利用等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解：当1x2时，0f（x）1；当2x3时，0f（x）1，可得当x1，3）时，f（x）0，1（i）f（3x）=3f（x），f（6）=3f（2），又当x=2时，f（2）=21=1，f（6）=31=3（ii）当时，则13x3，由可知：同理，当时，0f（x）1，因此不必要考虑当x3，6时，由，可得，f（x）0，3；同理，当x（6，9）时，由，可得，f（x）0，3；此时f（x）0，3作出直线y=a，a（1，3）则F
19、（x）=f（x）a在区间（3，6）和（6，9）上各有一个零点，分别为x1，x2，且满足x1+x2=26，依此类推：x3+x4=218，x2n1+x2n=223n当a（1，3）时，x1+x2+x2n1+x2n=4（3+32+3n）=6（3n1）三、解答题（共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15函数部分图象如图所示（）求f（x）的最小正周期及解析式；（）求函数f（x）的单调递减区间；（）设g（x）=f（x）2cos2x，求函数g（x）在区间上的值域【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性【分析】（）由函数图象观察可知A，函数的周期T=2（）=，
20、由周期公式可得，由点（，2）在函数图象上，解得=2k+，kZ结合范围|，求得的值，从而可得函数解析式；（）令2k+2x+2k+，kZ，即可解得函数f（x）的单调递减区间（）先求g（x）=2sin（2x），当x时，可求2x，利用正弦函数的性质可得所求值域【解答】解：由函数图象观察可知：A=2，函数的周期T=2（）=，由周期公式可得：=2由点（，2）在函数图象上，可得：2sin（2+）=2，可得：=2k+，kZ|，=f（x）的解析式为：f（x）=2sin（2x+）（）令2k+2x+2k+，kZ，即可解得函数f（x）的单调递减区间为：k+，k+，kZ（）g（x）=f（x）2cos2x=2sin（2x
21、+）2cos2x=sin2xcos2x=2sin（2x），当x时，2x，可得：sin（2x），1函数g（x）=2sin（2x）在区间上的值域为：1，216设数列an的前n项和为Sn，且满足Sn=2an1（nN*）（）求数列an的通项公式；（）求数列的前n项和Tn；（）数列bn满足bn+1=an+bn（nN*），且b1=3若不等式对任意nN*恒成立，求实数t的取值范围【考点】数列的求和；函数恒成立问题【分析】（I）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；（II）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出；（III）利用“累加求和”可得bn，由不等式，化为t+n1，再利用二次函数的单调性
22、即可得出【解答】解：（I）Sn=2an1（nN*），当n=1时，a1=S1=2a11，解得a1=1当n2时，an=SnSn1=2an1（2an11）=2an2an1，化为an=2an1，数列an是等比数列，首项为1，公比为2an=2n1（II）=数列的前n项和Tn=+，=+，=1+2=1=3，Tn=6（III）数列bn满足bn+1=an+bn（nN*），且b1=3bn+1bn=an=2n1，bn=（bnbn1）+（bn1bn2）+（b2b1）+b1=2n2+2n3+1+3=+3=2n1+2不等式，化为n1+t，t+n1，令g（n）=+n1=+g（3）=，实数t的取值范围是17在如图所示的几何体
23、中，四边形ABCD为正方形，PA平面ABCD，PABE，AB=PA=4，BE=2（）求证：CE平面PAD；（）求PD与平面PCE所成角的正弦值；（）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF平面PCE？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角【分析】（）设PA中点为G，连结EG，DG，可证四边形BEGA为平行四边形，又正方形ABCD，可证四边形CDGE为平行四边形，得CEDG，由DG平面PAD，CE平面PAD，即证明CE平面PAD（）如图建立空间坐标系，设平面PCE的一个法向量为=（x，y，z），由，令x=1，则可得=（1，1
24、，2），设PD与平面PCE所成角为a，由向量的夹角公式即可得解（）设平面DEF的一个法向量为=（x，y，z），由，可得，由=0，可解a，然后求得的值【解答】（本小题共14分）解：（）设PA中点为G，连结EG，DG因为PABE，且PA=4，BE=2，所以BEAG且BE=AG，所以四边形BEGA为平行四边形所以EGAB，且EG=AB因为正方形ABCD，所以CDAB，CD=AB，所以EGCD，且EG=CD所以四边形CDGE为平行四边形所以CEDG因为DG平面PAD，CE平面PAD，所以CE平面PAD（）如图建立空间坐标系，则B（4，0，0），C（4，4，0），E（4，0，2），P（0，0，4），D（
25、0，4，0），所以=（4，4，4），=（4，0，2），=（0，4，4）设平面PCE的一个法向量为=（x，y，z），所以，可得令x=1，则，所以=（1，1，2）设PD与平面PCE所成角为a，则sin=|cos，|=|=|=所以PD与平面PCE所成角的正弦值是 （）依题意，可设F（a，0，0），则， =（4，4，2）设平面DEF的一个法向量为=（x，y，z），则令x=2，则，所以=（2，a4）因为平面DEF平面PCE，所以=0，即2+2a8=0，所以a=4，点所以 18已知，其中a0（）若函数f（x）在x=3处取得极值，求a的值；（）求f（x）的单调区间；（）若f（x）在0，+）上的最大值是0，求
26、a的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（）函数f（x）（a0）的定义域为（1，+），令f（3）=0，解 得a，经过验证即可（I）先求出函数的导数，再分别讨论当0a1时，当a=1时当a1时的情况，从而求出函数的递减区间；（I）讨论当0a1时，当a1时的函数的单调性，从而求出a的范围【解答】解：（）函数f（x）（a0）的定义域为（1，+），f（x）=ax+1，令f（3）=0，解 得a=经过验证满足条件（II）令f（x）=0，解得x1=0，或x2=当0a1时，x1x2，f（x）与f（x）的变化情况如表x（1，0）0（0，1）1（
27、1，+）f（x）0+0f（x）减极小值增极大值减所以f（x）的单调递减区间是（1，0），（1，+）；单调递增区间为：当a=1时，x1=x2=0，f（x）=0，故f（x）的单调递减区间是（1，+） 当a1时，1x20，f（x）与f（x）的变化情况如下表x（1，1）1（1，0）0（0，+）f（x）0+0f（x）减极小值增极大值减所以f（x）的单调递增减区间是（1，1），（0，+），单调递增区间为：综上，当0a1时，f（x）的单调递增减区间是（1，0），（1，+）；单调递增区间为：当a1时，f（x）的单调递增减区间是（1，1），（0，+）；单调递增区间为：当a=1时，f（x）的单调递减区间是（1，+
28、）（I）由（I）可知：当0a1时，f（x）在（0，+）的最大值是f（1），但f（1）f（0）=0，所以0a1不合题意； 当a1时，f（x）在（0，+）上单调递减，f（x）f（0），可得f（x）在0，+）上的最大值为f（0）=0，符合题意f（x）在0，+）上的最大值为0时，a的取值范围是a|a119已知椭圆的离心率为，右顶点为A（）求椭圆C的方程；（）若直线l经过C的左焦点F1且与C相交于B，D两点，求ABD面积的最大值及相应的直线l的方程【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【分析】（）运用离心率公式和椭圆的a，b，c的关系，解方程可得a，进而得到椭圆方程；（）设经过左焦点F1（，0）的
29、直线方程为x=my，代入椭圆方程，运用韦达定理，和三角形的面积公式，结合基本不等式，即可得到最大值和对应的直线方程【解答】解：（）离心率为，即为=，由b=，a2b2=c2，解得a=，即有椭圆的方程为+=1；（）设经过左焦点F1（，0）的直线方程为x=my，代入椭圆方程可得，（2+m2）y22my3=0，即有y1+y2=，y1y2=，则ABD的面积为+=|AF1|y1y2|=（+）=（6+3），令t=1+m2（t1），即有=，当且仅当t=1即m=0时，取得最大值，则有ABD的面积的最大值为3+，此时直线l的方程为x=20已知函数f（x）=（）若曲线y=f（x）在点（x0，f（x0）处的切线方程为
30、axy=0，求x0的值；（）当x0时，求证：f（x）x；（）问集合xR|f（x）bx=0（bR且为常数）的元素有多少个？（只需写出结论）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（）求函数的导数，根据函数的 切线方程进行求解即可求x0的值；（）构造函数g（x）=，求函数的导数，利用导数证明不等式f（x）x；（）根据函数和方程之间的关系直接求解即可【解答】（）解：，因为切线axy=0过原点（0，0），所以，解得x0=2（）证明：设，则令，解得x=2，当x在（0，+）上变化时，g（x），g（x）的变化情况如下表x（0，2）2（2，+）g（x）0+g（x）所以当x=2时，g（x）取得最小值，所以当时x0时，即f（x）x（）解：当b0时，集合xR|f（x）bx=0的元素个数为0；当时，集合xR|f（x）bx=0的元素个数为1；当时，集合xR|f（x）bx=0的元素个数为2；当时，集合xR|f（x）bx=0的元素个数为32017年1月15日