1、14.1 坐标系与参数方程 第1课时 坐标系基础知识 自主学习课时作业题型分类 深度剖析内容索引 基础知识 自主学习设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：_的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.1.平面直角坐标系知识梳理 2.极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念 在平面内取一个定点O，叫作极点，从O点引一条射线Ox，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向).这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系.xx 0，yy0对于平面内任意一点M，用表示线段OM的长，表示以Ox为始边、OM为终边的角度，叫作点M
2、的，叫作点M的，有序实数对(，)叫做点的极坐标，记作M(，).当点M在极点时，它的极径0，极角可以取任意值.极径极角(2)极坐标与直角坐标的互化 设M为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(，).由图可知下面关系式成立：_或_.这就是极坐标与直角坐标的互化公式.xcos，ysin 2x2y2，tan yxx03.常见曲线的极坐标方程曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆 _ 圆心为(r,0)，半径为r的圆 _ 圆心为(r，)，半径为r的圆 _ r(02)2rcos ()222rsin (0)2过极点，倾斜角为的直线(R)或(R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线 _ 过点(
3、a，)，与极轴平行的直线 _ sin a(0)cos a(22)2考点自测 点(2，2)在直角坐标系下的坐标为(2cos 2，2sin 2)，即(0,2).过点(0,2)且与x轴平行的直线方程为y2.即为sin 2.1.(2016北京西城区模拟)求在极坐标系中，过点(2，2)且与极轴平行的直线方程.解答 2.在极坐标系中，已知两点 A、B 的极坐标分别为(3，3)、(4，6)，求AOB(其中 O 为极点)的面积.解答 由题意知 A、B 的极坐标分别为(3，3)、(4，6)，则AOB 的面积 SAOB12OAOBsinAOB1234sin 63.3.在以O为极点的极坐标系中，圆4sin 和直线s
4、in a相交于A，B两点.当AOB是等边三角形时，求a的值.解答 题型分类 深度剖析题型一 极坐标与直角坐标的互化例1(1)以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求线段y1x(0 x1)的极坐标方程.xcos，ysin，y1x 化成极坐标方程为 cos sin 1，即 1cos sin.解答 0 x1，线段在第一象限内(含端点)，02.(2)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为sin2cos 和sin 1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C1和C2交点的直角坐标.解答 因为xcos，ysin，由sin2cos，得2sin2c
5、os，所以曲线C1的直角坐标方程为y2x.由sin 1，得曲线C2的直角坐标方程为y1.由y2x，y1得x1，y1，故曲线 C1 与曲线 C2 交点的直角坐标为(1,1).思维升华(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：极点与原点重合；极轴与x轴的正半轴重合；取相同的单位长度.(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式xcos 及ysin 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如cos，sin，2的形式，进行整体代换.跟踪训练1(1)曲线C的直角坐标方程为x2y22x0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐
6、标方程.解答 将x2y22，xcos 代入x2y22x0，得22cos 0，整理得2cos.(2)求在极坐标系中，圆2cos 垂直于极轴的两条切线方程.解答 由2cos，得22cos，化为直角坐标方程为x2y22x0，即(x1)2y21，其垂直于x轴的两条切线方程为x0和x2，相应的极坐标方程为(R)和cos 2.2题型二 求曲线的极坐标方程例2 将圆x2y21上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出曲线C的方程；解答 设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得xx1，y2y1.由y211，得 x2(y2)21，即曲线 C 的方程
7、为 x2y241.21x(2)设直线l：2xy20与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.解答 思维升华 求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设P(，)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程.跟踪训练 2 在极坐标系中，已知圆 C 经过点 P(2，4)，圆心为直线sin3 32 与极轴的交点，求圆 C 的极坐标方程.解答 题型三 极坐标方程的应用例3(2015课标全国)在直角坐标系xO
8、y中，直线C1：x2，圆C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1，C2的极坐标方程；解答 因为xcos，ysin，所以C1的极坐标方程为cos 2，C2的极坐标方程为22cos 4sin 40.将 4代入 22cos 4sin 40，得 23 240，解得 12 2，2 2.故 12 2，即 MN 2.所以C2MN 的面积为12.(2)若直线 C3 的极坐标方程为 4(R)，设 C2 与 C3 的交点为 M，N，求C2MN 的面积.由于C2的半径为1，所以C2MN为等腰直角三角形，解答 思维升华(1)已知极坐标系方程讨论位置关系时，可以先化为
9、直角坐标方程；(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性.跟踪训练3(2016广州调研)在极坐标系中，求直线sin()2被圆4截得的弦长.由 sin(4)2，得 22(sin cos)2 可化为 xy2 20.圆 4 可化为 x2y216，由圆中的弦长公式得：2r2d22422 22 24 3.故所求弦长为 4 3.解答 4课时作业1.(2015广东)已知直线 l 的极坐标方程为 2sin4 2，点 A 的极坐标为2 2，74，求点 A 到直线 l 的距离.依题可知直线 l：2sin4 2和点 A2 2，74 可化为 l：xy10和 A(2，2)，所以点 A 到直线
10、l 的距离为 d|221|1212 5 22.12345678910解答 2.在极坐标系(，)(02)中，求曲线(cos sin)1与(sin cos)1的交点的极坐标.联立方程组xy1，yx1，得x0，y1，则交点为(0,1)，对应的极坐标为1，2.解答 曲线(cos sin)1化为直角坐标方程为xy1，(sin cos)1化为直角坐标方程为yx1.123456789103.在极坐标系中，已知圆3cos 与直线2cos 4sin a0相切，求实数a的值.解答 圆3cos 的直角坐标方程为x2y23x，即x322y294，直线2cos 4sin a0的直角坐标方程为2x4ya0.因为圆与直线相
11、切，所以|23240a|224232，解得 a33 5.12345678910以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，则曲线2cos 的直角坐标方程为(x1)2y21，且圆心为(1,0).直线 4的直角坐标方程为 yx，因为圆心(1,0)关于yx的对称点为(0,1)，所以圆(x1)2y21关于yx的对称曲线为x2(y1)21.4.在极坐标系中，求曲线 2cos 关于直线 4对称的曲线的极坐标方程.解答 所以曲线 2cos 关于直线 4对称的曲线的极坐标方程为 2sin.123456789105.在极坐标系中，P 是曲线 C1：12sin 上的动点，Q 是曲线 C2：12cos(6)上的动点
12、，求|PQ|的最大值.12345678910解答 6.在极坐标系中，O 是极点，设 A(4，3)，B(5，56)，求AOB 的面积.如图所示，AOB2356 56，OA4，OB5，故 SAOB1245sin 56 5.12345678910解答 设P点的极坐标为(，).POP3.23 33或 23 3.又 5，P点的极坐标为(5，3)或(5，).123456789107.已知 P(5，23)，O 为极点，求使POP为正三角形的点 P的坐标.解答 POP为正三角形，如图所示，8.在极坐标系中，判断直线cos sin 10与圆2sin 的位置关系.解答 直线 cos sin 10 可化成 xy10
13、，圆 2sin 可化为 x2y22y，即 x2(y1)21.圆心(0,1)到直线 xy10 的距离 d|011|201.故直线与圆相交.123456789109.在极坐标系中，已知三点 M2，3、N(2,0)、P2 3，6.解答 由公式xcos，ysin 得 M 的直角坐标为(1，3)；N 的直角坐标为(2,0)；P 的直角坐标为(3，3).(1)将M、N、P三点的极坐标化为直角坐标；12345678910解答 kMN321 3，kNP3032 3.(2)判断M、N、P三点是否在一条直线上.kMNkNP，M、N、P三点在一条直线上.12345678910(1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；10.在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C 的极坐标方程为 cos(3)1，M，N 分别为 C 与 x 轴、y 轴的交点.解答 12345678910(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程.解答 M点的直角坐标为(2,0).N 点的直角坐标为(0，2 33).所以 P 点的直角坐标为(1，33).则 P 点的极坐标为(2 33，6)，所以直线 OP 的极坐标方程为 6(R).10123456789