1、仿真模拟卷一 仿真模拟卷本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分共 150 分，考试时间 120 分钟第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 Ax|x1，Bx|3x1 BABRCABx|x0 DAB答案 C解析 集合 Bx|3x1，即 Bx|x0，而 Ax|x1，所以 ABx|x1，ABx|x02记复数 z 的共轭复数为 z，若 z(1i)2i(i 为虚数单位)，则|z|()A.2 B1 C2 2 D2解析 由 z(1i)2i，可得 z 2i1i2i1i21i，所以 z1i，|z|2.答案 A3设 a
2、ln13，b20.3，c132，则()AacbBcabCabcDbac解析 由对数函数的性质可知 aln131，又 0c1321，故选 A.答案 A4设 R，则“6 6”是“sin 32”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案 A解析 由6 6可得 03，所以由“6 6”可得“sin 32”，但由“sin 32”推不出“6 6”所以“6 6”是“sin 32”的充分不必要条件5在如图所示的计算 1592021 的程序框图中，判断框内应填入的条件是()Ai2021?Bi2021?Ci0，0，|2的部分图象如图所示，则使 f(ax)f(ax)0 成立的 a 的最
3、小正值为()A.12 B.6 C.4 D.3答案 B解析 由图象易知，A2，f(0)1，即 2sin1，且|1112 21112，得 0，所以 k1，2，所以函数 f(x)2sin2x6，因为 f(ax)f(ax)0，所以函数 f(x)的图象关于 xa 对称，即有 2a6k2，kZ，所以可得 ak2 6，kZ，所以 a 的最小正值为6.9若函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，f14 1，当 x0 时，f(x)log2(x)m，则实数 m()A1 B0 C1 D2解析 f(x)是定义在 R 上的奇函数，f14 1，且 x0，b0)的左、右顶点分别为 A，B，P 为双曲线左支上一点，ABP 为
4、等腰三角形且外接圆的半径为 5a，则双曲线的离心率为()A.155 B.154 C.153 D.152答案 C解析 由题意知等腰ABP 中，|AB|AP|2a，设ABPAPB，F1 为双曲线的左焦点，则F1AP2，其中 必为锐角ABP 外接圆的半径为 5a，2 5a 2asin，sin 55，cos2 55，sin22 55 2 55 45，cos222 552135.设点 P 的坐标为(x，y)，则 xa|AP|cos211a5，y|AP|sin28a5，故点 P 的坐标为11a5，8a5.由点 P 在双曲线上，得11a52a28a52b2 1，整理得b2a223，eca1b2a2 153.
5、12德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet,18051859)在数学领域成就显著.19 世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”：yf(x)1，xQ，0，xRQ，其中 R 为实数集，Q 为有理数集则关于函数 f(x)有如下四个命题：ff(x)0；函数 f(x)是偶函数；任取一个不为零的有理数 T，f(xT)f(x)对任意的 xR 恒成立；存在三个点 A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)，C(x3，f(x3)，使得ABC 为等边三角形其中真命题的个数是()A1 B2 C3 D4答案 C解析 当 x 为有理数时，f(x)1；当 x 为无理数时，f(x)0.当 x 为有理数时，ff(x)f(
6、1)1；当 x 为无理数时，ff(x)f(0)1，无论 x 是有理数还是无理数，均有 ff(x)1，故不正确；有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，对任意 xR，都有 f(x)f(x)，故正确；当 TQ 时，若 x 是有理数，则 xT 也是有理数；若 x 是无理数，则 xT 也是无理数，根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数 T，f(xT)f(x)对 xR 恒成立，故正确；取 x1 33，x20，x3 33，f(x1)0，f(x2)1，f(x3)0，A33，0，B(0,1)，C 33，0，ABC 恰好为等边三角形，故正确，故选 C.第卷本卷包括必考题和选考题两部分第 1321
7、题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13已知 x，y 满足约束条件x3y40，x20，xy0，x，yR，则 x2y2 的最大值为_答案 8解析 画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)x2y2 表示可行域内的点(x，y)到原点距离的平方由图形可得，可行域内的点 A 或点 B 到原点的距离最大，且 A(2，2)，B(2,2)，又|OA|OB|2 2，(x2y2)max8.14设直三棱柱 ABCA1B1C1 的所有顶点都在同一个球面上，且球的表面积是 40，ABACAA1，BAC120，
8、则此直三棱柱的高是_答案 2 2解析 设 ABACAA1x，在ABC 中，BAC120，则由余弦定理可得 BC 3x.由正弦定理，可得ABC 外接圆的半径为 rx，又球的表面积是 40，球的半径为 R 10.设ABC 外接圆的圆心为 O，球心为 O，在 RtOBO中，有12x 2x210，解得 x2 2，即 AA12 2.直三棱柱的高是 2 2.15七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的如图，在一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是_答案 316解
9、析 由七巧板的构造可知，BICGOH，故黑色部分的面积与梯形 EFOH 的面积相等，而 S 梯形 EFOH34SDOF3414S 正方形 ABDF 316S 正方形 ABDF，所求的概率为 P S梯形EFOHS正方形ABDF 316.16在数列an中，a11，an1Sn3n(nN*，n1)，则数列Sn的通项公式为_答案 Sn3n2n解析 an1Sn3nSn1Sn，Sn12Sn3n，Sn13n123Sn3n13，Sn13n1123Sn3n1，又S13 113123，数列Sn3n1 是首项为23，公比为23的等比数列，Sn3n12323n123n，Sn3n2n.三、解答题：共 70 分解答应写出文
10、字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分 12 分)在ABC 中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 的对边，且 3bcosAsinA(acosCccosA)(1)求角 A 的大小；(2)若 a2 3，ABC 的面积为5 34，求ABC 的周长解(1)3bcosAsinA(acosCccosA)，由正弦定理可得，3sinBcosAsinA(sinAcosCsinCcosA)sinAsin(AC)sinAsinB，即 3sinBcosAsinAsinB，sinB0，tanA 3，A(0，)，A3.(2)A3，a2 3，ABC 的面积为5 34，12bcsinA 34 bc5 34，bc5，由余
11、弦定理可得，a2b2c22bccosA，即 12b2c2bc(bc)23bc(bc)215，解得 bc3 3，ABC 的周长为 abc2 33 35 3.18(本小题满分 12 分)如图，AE平面 ABCD，CFAE，ADBC，ADAB，ABAD1，AEBC2.(1)求证：BF平面 ADE；(2)求直线 CE 与平面 BDE 所成角的正弦值；(3)若二面角 EBDF 的余弦值为13，求线段 CF 的长解 依题意，可以建立以 A 为坐标原点，分别以AB，AD，AE的方向为 x轴、y 轴、z 轴正方向的空间直角坐标系(如图)，可得 A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0，1,
12、0)，E(0,0,2)设 CFh(h0)，则 F(1,2，h)(1)证明：依题意，AB(1,0,0)是平面 ADE 的法向量，又BF(0,2，h)，可得BFAB0，又因为直线 BF平面 ADE，所以 BF平面 ADE.(2)依题意，BD(1,1,0)，BE(1,0,2)，CE(1，2,2)设 n(x，y，z)为平面 BDE 的法向量，则nBD 0，nBE0，即xy0，x2z0，不妨令 z1，可得 n(2,2,1)因此有 cosCE，n CEn|CE|n|49.所以，直线 CE 与平面 BDE 所成角的正弦值为49.(3)设 m(x，y，z)为平面 BDF 的法向量，则mBD 0，mBF0，即x
13、y0，2yhz0，不妨令 y1，可得 m1，1，2h.由题意，有|cosm，n|mn|m|n|42h32 4h213，解得 h87.经检验，符合题意所以线段 CF 的长为87.19(本小题满分 12 分)如图，已知点 F(1,0)为抛物线 y22px(p0)的焦点，过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 C 在抛物线上，使得ABC 的重心G 在 x 轴上，直线 AC 交 x 轴于点 Q，且 Q 在点 F 的右侧记AFG，CQG的面积分别为 S1，S2.(1)求 p 的值及抛物线的准线方程；(2)求S1S2的最小值及此时点 G 的坐标解(1)由题意得p21，即 p2.所以抛物线的准线方程为
14、 x1.(2)设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，重心 G(xG，yG)令 yA2t,2t0，则 xAt2.由于直线 AB 过 F，故直线 AB 的方程为 xt212t y1，代入 y24x，得y22t21ty40，故 2tyB4，即 yB2t，所以 B1t2，2t.又由于 xG13(xAxBxC)，yG13(yAyByC)及重心 G 在 x 轴上，故 2t2tyC0，得C1tt 2，21tt，G2t42t223t2，0.所以直线 AC 的方程为 y2t2t(xt2)，得 Q(t21,0)由于 Q 在焦点 F 的右侧，故 t22.从而S1S212|FG|yA|12|QG|
15、yC|2t42t223t21|2t|t212t42t223t22t2t2t4t2t41 2t22t41.令 mt22，则 m0，S1S22mm24m321m3m4 212 m3m41 32.当 m 3时，S1S2取得最小值 1 32，此时 G(2,0)20(本小题满分 12 分)设函数 f(x)mexx23，其中 mR.(1)当 f(x)为偶函数时，求函数 h(x)xf(x)的极值；(2)若函数 f(x)在区间2,4上有两个零点，求 m 的取值范围解(1)由函数 f(x)是偶函数，得 f(x)f(x)，即 mex(x)23mexx23 对于任意实数 x 都成立，所以 m0.此时 h(x)xf(
16、x)x33x，则 h(x)3x23.由 h(x)0，解得 x1.当 x 变化时，h(x)与 h(x)的变化情况如下表所示：所以 h(x)在(，1)，(1，)上单调递减，在(1,1)上单调递增所以 h(x)有极小值 h(1)2，极大值 h(1)2.(2)由 f(x)mexx230，得 mx23ex.所以“f(x)在区间2,4上有两个零点”等价于“直线 ym 与曲线 g(x)x23ex，x2,4有且只有两个公共点”对函数 g(x)求导，得 g(x)x22x3ex.由 g(x)0，解得 x11，x23.当 x 变化时，g(x)与 g(x)的变化情况如下表所示：所以 g(x)在(2，1)，(3,4)上
17、单调递减，在(1,3)上单调递增又因为 g(2)e2，g(1)2e，g(3)6e3g(1)，所以当2em13e4或 m6e3时，直线 ym 与曲线 g(x)x23ex，x2,4有且只有两个公共点即当2em13e4或 m6e3时，函数 f(x)在区间2,4上有两个零点21(本小题满分 12 分)某芯片代工厂生产某型号芯片每盒 12 片，每批生产若干盒，每片成本 1 元，每盒芯片需检验合格后方可出厂检验方案是从每盒芯片随机取 3 片检验，若发现次品，就要把全盒 12 片产品全部检验，然后用合格品替换掉不合格品，方可出厂；若无次品，则认定该盒芯片合格，不再检验，可出厂(1)若某盒芯片中有 9 片合格
18、，3 片不合格，求该盒芯片经一次检验即可出厂的概率？(2)若每片芯片售价 10 元，每片芯片检验费用 1 元，次品到达组装工厂被发现后，每片须由代工厂退赔 10 元，并补偿 1 片经检验合格的芯片给组装厂设每片芯片不合格的概率为 p(0p1)，且相互独立若某盒 12 片芯片中恰有 3 片次品的概率为 f(p)，求 f(p)的最大值点 p0；若以中的 p0 作为 p 的值，由于质检员操作疏忽，有一盒芯片未经检验就被贴上合格标签出厂到组装工厂，试确定这盒芯片的最终利润 X(单位：元)的期望解(1)设“该盒芯片经一次检验即可出厂”的事件为 A，则 P(A)C39C3122155.答：该盒芯片可出厂的
19、概率为2155.(2)某盒 12 片芯片中恰有 3 片次品的概率f(p)C312p3(1p)9 当且仅当 3p1p，即 p14时取“”号，故 f(p)的最大值点 p014.由题设知，pp014.设这盒芯片不合格品个数为 n，则 nB12，14，故 E(n)12143，则 E(X)12012303272.这盒芯片的最终利润 X 的期望是 72 元请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号22(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的方程为 x2y24，直线 l 的参数方程为x2t，y3 3 3t(
20、t 为参数)，若将曲线 C1 上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的32，得曲线 C2.(1)写出曲线 C2 的参数方程；(2)设点 P(2,3 3)，直线 l 与曲线 C2 的两个交点分别为 A，B，求 1|PA|1|PB|的值解(1)若将曲线 C1 上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的32，则得到曲线 C2 的直角坐标方程为 x223y 24，整理，得x24y291，曲线 C2 的参数方程为x2cos，y3sin(为参数)(2)将直线 l 的参数方程化为标准形式为x212t，y3 3 32 t(t为参数)，将参数方程代入x24y291，得212t 243 3 32 t 291，整理，得74(
21、t)218t360.|PA|PB|t1t2|727，|PA|PB|t1t21447，1|PA|1|PB|PA|PB|PA|PB|727144712.23(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲已知函数 f(x)|x3|x1|的最小值为 m.(1)求 m 的值以及此时 x 的取值范围；(2)若实数 p，q，r 满足：p22q2r2m，证明：q(pr)2.解(1)依题意，得 f(x)|x3|x1|x3x1|4，故 m 的值为4.当且仅当(x3)(x1)0，即3x1 时等号成立，即 x 的取值范围为3,1(2)证明：因为 p22q2r2m，故(p2q2)(q2r2)4.因为 p2q22pq，当且仅当 pq 时等号成立；q2r22qr，当且仅当 qr 时等号成立，所以(p2q2)(q2r2)42pq2qr，故 q(pr)2，当且仅当 pqr 时等号成立本课结束