1、回扣 4 数 列1.牢记概念与公式等差数列、等比数列等差数列等比数列通项公式ana1(n1)dana1qn1(q0)前 n 项和Snna1an2na1nn12d(1)q1，Sna11qn1qa1anq1q(2)q1，Snna12.活用定理与结论(1)等差、等比数列an的常用性质等差数列等比数列 性质若 m，n，p，qN*，且 mnpq，则 amanapaqanam(nm)dSm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差数列若 m，n，p，qN*，且 mnpq，则 amanapaqanamqnmSm，S2mSm，S3mS2m，仍成等比数列(Sn0)(2)判断等差数列的常用方法定义法：an1and(常数
2、)(nN*)an是等差数列.通项公式法：anpnq(p，q 为常数，nN*)an是等差数列.中项公式法：2an1anan2(nN*)an是等差数列.前 n 项和公式法：SnAn2Bn(A，B 为常数，nN*)an是等差数列.(3)判断等比数列的三种常用方法定义法：an1an q(q 是不为 0 的常数，nN*)an是等比数列.通项公式法：ancqn(c，q 均是不为 0 的常数，nN*)an是等比数列.中项公式法：a2n1anan2(anan1an20，nN*)an是等比数列.3.数列求和的常用方法(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和.(2)形如anbn(其中an为等差数列，bn为
3、等比数列)的数列，利用错位相减法求和.(3)通项公式形如 ancanb1anb2(其中 a，b1，b2，c 为常数)用裂项相消法求和.(4)通项公式形如 an(1)nn 或 ana(1)n(其中 a 为常数，nN*)等正负项交叉的数列求和一般用并项法.并项时应注意分 n 为奇数、偶数两种情况讨论.(5)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成 cnanbn 形式的数列求和问题的方法，其中an与bn是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列.(6)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求 Sn.1.已知数列的前 n 项和求 an，易忽视 n1 的情形，直接用 SnSn1 表示.事实上，当
4、n1时，a1S1；当 n2 时，anSnSn1.2.易混淆几何平均数与等比中项，正数 a，b 的等比中项是 ab.3.等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整体代换进行基本运算.如等差数列an与bn的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn，已知SnTn n12n3，求anbn时，无法正确赋值求解.4.易忽视等比数列中公比 q0，导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解.5.运用等比数列的前 n 项和公式时，易忘记分类讨论.一定分 q1 和 q1 两种情况进行讨论.6.利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项.7.裂项相消法求和时，分裂前后的值要相等
5、，如1nn21n 1n2，而是1nn2121n 1n2.8.通项中含有(1)n 的数列求和时，要把结果写成分 n 为奇数和 n 为偶数两种情况的分段形式.1.已知数列an的前 n 项和为 Sn，若 Sn2an4(nN*)，则 an 等于()A.2n1B.2nC.2n1D.2n2答案 A解析 an1Sn1Sn2a n14(2an4)an12an，再令 n1，S12a14a14，数列an是以 4 为首项，2 为公比的等比数列，an42n12n1，故选 A.2.已知数列an满足 an2an1an，且 a12，a23，Sn 为数列an的前 n 项和，则 S2 016的值为()A.0B.2C.5D.6答
6、案 A解析 由题意得，a3a2a11，a4a3a22，a5a4a33，a6a5a41，a7a6a52，数列an是周期为 6 的周期数列，而 2 0166336，S2 016336S60，故选 A.3.已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a514a6，则 S10 等于()A.35B.70C.28D.14答案 B解析 a514a6a5a614，S1010a1a10210a5a6270.故选 B.4.已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a24，S10110，则使Sn63an取得最小值时 n 的值为()A.7B.7 或 8C.172D.8答案 D解析 a24，S10110a1d4，10a1
7、45d110a12，d2，因此Sn63an2nnn1632nn2632n12，又 nN*，所以当 n8 时，Sn63an取得最小值.5.等比数列an中，a3a564，则 a4 等于()A.8B.8C.8 或8D.16答案 C解析 由等比数列的性质知，a3a5a24，所以 a2464，所以 a48 或 a48.6.已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，a1a352，且 a2a454，则Snan等于()A.4n1B.4n1C.2n1D.2n1答案 D解析 设等比数列an的公比为 q，则a11q252，a1q1q254，解得a12，q12，Snana11qn1qa1qn1 2112n112212n
8、1 2n1.故选 D.7.设函数 f(x)xaax 的导函数 f(x)2x2，则数列 1fn的前 9 项和是()A.2936B.3144C.3655D.4366答案 C解析 由题意得函数 f(x)xaax 的导函数 f(x)2x2，即 axa1a2x2，所以 a2，即 f(x)x22x，1fn1nn212(1n 1n2)，所以 Sn12(113121413151n 1n2)12(112 1n1 1n2).则 S912(112 110 111)3655，故选 C.8.已知等差数列an的公差 d0，且 a1，a3，a13 成等比数列，若 a11，Sn 是数列an前 n项的和，则2Sn16an3(n
9、N*)的最小值为()A.4B.3C.2 32D.92答案 A解析 据题意由 a1，a3，a13 成等比数列可得(12d)2112d，解得 d2，故 an2n1，Snn2，因此2Sn16an3 2n2162n2 n28n1 n122n19n1(n1)9n12，据基本不等式知2Sn16an3(n1)9n122n1 9n124，当 n2 时取得最小值 4.9.等比数列an中，a42，a55，则数列lg an的前 8 项和等于_.答案 4解析 由等比数列的性质有 a1a8a2a7a3a6a4a5，所以 T8lg a1lg a2lg a8lg(a1a2a8)lg(a4a5)4lg(10)44.10.已知
10、数列an满足 an1an2n 且 a12，则数列an的通项公式 an_.答案 n2n2解析 an1an2n，an1an2n，采用累加法可得an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1，2(n1)2(n2)22n2n2.11.若数列an满足 an3an12(n2，nN*)，a11，则数列an的通项公式为 an_.答案 23n11解析 设 an3(an1)，化简得 an3an12，an3an12，1，an13(an11)，a11，a112，数列an1是以 2 为首项，3 为公比的等比数列，an123n1，an23n11.12.数列 113，219，3 127，4 181，5 1243，的前
11、n 项之和等于_.答案 nn12121(13)n解析 由数列各项可知通项公式为 ann13n，由分组求和公式结合等差数列、等比数列求和公式可知前 n 项和为 Snnn12121(13)n.13.设数列an的前 n 项和为 Sn，a11，an1Sn1(nN*，且 1)，且 a1，2a2，a33为等差数列bn的前三项.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)求数列anbn的前 n 项和.解(1)方法一 an1Sn1(nN*)，anSn11(n2).an1anan，即 an1(1)an(n2)，10，又 a11，a2S111，数列an为以 1 为首项，以 1 为公比的等比数列，a3(1)2，4(1)
12、1(1)23，整理得 2210，得 1.an2n1，bn13(n1)3n2.方法二 a11，an1Sn1(nN*)，a2S111，a3S21(11)1221.4(1)12213，整理得 2210，得 1.an1Sn1(nN*)，anSn11(n2)，an1anan，即 an12an(n2)，又 a11，a22，数列an为以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列，an2n1，bn13(n1)3n2.(2)设数列anbn的前 n 项和为 Tn，anbn(3n2)2n1，Tn11421722(3n2)2n1.2Tn121422723(3n5)2n1(3n2)2n.得Tn1132132232n1(3n
13、2)2n13212n112(3n2)2n.整理得 Tn(3n5)2n5.14.已知数列an的各项均为正数，前 n 项和为 Sn，且 Snanan12(nN*)，(1)求证：数列an是等差数列；(2)设 bn1Sn，Tnb1b2bn，若 Tn 对于任意 nN*恒成立，求实数 的取值范围.(1)证明 Snanan12(nN*)，Sn1an1an112(n2).得：ana2nana2n1an12(n2)，整理得：(anan1)(anan1)(anan1)，数列an的各项均为正数，anan10，anan11(n2).当 n1 时，a11，数列an是首项为 1，公差为 1 的等差数列.(2)解 由(1)得 Snn2n2，bn2n2n2nn12(1n 1n1)，Tn2(112)(1213)(1314)(1n 1n1)2(1 1n1)2nn1，Tn 211n，Tn 单调递增，TnT11，1.故 的取值范围为(，1.