1、四川省邻水实验学校2020-2021学年高二数学下学期第一次月考试题 理考试时间：100分钟；命题人：注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题（60分）1已知集合,集合,则( )ABCD2命题“，”的否定是（ ）A，B，C，D，3曲线与直线围成的图形的面积为（ ）AB5C6D4若实数，满足不等式组，且，则（ ）A4B3C2D15函数的大致图象为（ ）ABCD6学校艺术节对、四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲，乙，丙，丁四位同学对这四件参赛作品预测如下：甲说：“是或作品获得一等奖”；乙说：“作品获得一等奖”；丙说：“、两
2、件作品未获得一等奖”；丁说：“是作品获得一等奖”评奖揭晓后，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（ ）A作品AB作品BC作品CD作品D7函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，对于函数，下列说法不正确的是（ ）A的最小正周期为B的图象关于直线对称C在区间上单调递增D的图象关于点对称8已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） 正视图 侧视图 8题图 俯视图 A BCD 9题图9为了配平化学方程式 ，某人设计了一个如图所示的程序框图，则处应分别填入（ ）A， B，C， D，10已知一个球的半轻为3.则该球内接正六棱锥的体积的最大值为（ ）A10BCD11已
3、知函数，若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（ ）ABCD12已知双曲线，点在双曲线上，点在直线上，的倾斜角，且，双曲线在点处的切线与平行，则的面积的最大值为（ ）ABCD第II卷（非选择题）二、填空题（20分）13曲线在点处的切线方程为_14在中，则_.15已知抛物线的焦点为F，点，过点F的直线与此抛物线交于两点，若，且，则_16已知定义在上的函数满足：对任意的，；当时，；若对于任意的两个正实数，不等式恒成立，则实数的最小值是_三、解答题（60分）17已知数列为等比数列，其中，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18如图，四棱锥中，底面是菱形，是棱上的点，是中点
4、，且底面，.（1）求证：；（2）若，求二面角的余弦值.19随着互联网行业、传统行业和实体经济的融合不断加深，互联网对社会经济发展的推动效果日益显著，某大型超市计划在不同的线上销售平台开设网店，为确定开设网店的数量，该超市在对网络上相关店铺做了充分的调查后，得到下列信息，如图所示（其中表示开设网店数量，表示这个分店的年销售额总和），现已知，求解下列问题；（1）经判断，可利用线性回归模型拟合与的关系，求解关于的回归方程；（2）按照经验，超市每年在网上销售获得的总利润（单位：万元）满足，请根据（1）中的线性回归方程，估算该超市在网上开设多少分店时，才能使得总利润最大参考公式；线性回归方程x+，其中2
5、0已知椭圆：的左、右焦点分别是，且经过点，直线与轴的交点为，的周长为（1）求椭圆的标准方程；（2）若是坐标原点，两点（异于点）是椭圆上的动点，且直线与直线的斜率满足，求面积的最大值21已知函数（ 是自然对数的底数）（1）若在内有两个极值点，求实数 a的取值范围；（2）时，讨论关于x的方程的根的个数请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（1）求直线与曲线公共点的极坐标；（2）设过点的直线交曲线于，两点，且的中点为，
6、求直线的斜率23（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数（1）解不等式；（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围数学（理科）答案1C【分析】化简集合和,根据交集定义,即可求得.【详解】 化简可得根据指数函数是减函数 ,即,故 故故选:C.【点睛】本题考查了集合的交集,在集合运算比较复杂时,可以使用数轴来辅助分析问题,属于基础题.2C【分析】利用全称命题的否定可得出结论.【详解】命题“，”为全称命题，该命题的否定为“，”.故选：C.3A【分析】根据定积分计算曲线围成图形的面积即可.【详解】由可得或，故曲线与直线围成的图形的面积为.故选：A4A【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线
7、，平移该直线得最大值和最小值，从而得结论【详解】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中，在直线中，表示直线的纵截距作出直线并平移，数形结合知当平移后的直线经过点时，取得最小值，且；当平移后的直线经过点时，取得最大值，且所以.故选：A5D【分析】易知是偶函数，结合导数判断单调性与极值点范围即可得结果【详解】由可知是偶函数，排除A；当时，则，可知在上单调递增，且，则存在，使得，当时，单调递减；当时，单调递增，且是在上唯一极小值点，故选：D6B【分析】若A为一等奖，则甲、乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意；若B为一等奖，则乙、丙的说法正确，甲、丁的说法错误，满足题意；若C为一等奖，则甲、
8、丙、丁的说法均正确，不满足题意；若D为一等奖，则乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意；综上所述，故B获得一等奖7C【分析】将函数转化为，再由平移变换得到，然后逐项判断.【详解】因为其图象向右平移个单位长度后得到函数的图象所以的最小正周期为，故A正确；当时，所以的图象关于直线对称，故B正确；当时，所以在间上不单调，故C错误；当时，所以函数的图象关于点对称，故D正确故选：C8C【分析】先利用三视图判断对应的直观图以及长度关系，再利用空间几何体的体积公式计算组合体的体积即可.【详解】由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱与一个半圆锥的组合体，直三棱柱的底面是底边长为8，底边上的高为3的等腰三角形，高为3
9、，圆锥的底面半径为4，高为3，如图，所以其体积为故选：C.9D【分析】比较方程的两边，由元素守恒可得的数量关系【详解】结合元素守恒易知，.【点睛】本题考查程序框图，考查推理论证能力.10C【分析】如图，设六棱锥球心为，底面中心为，设，则，令可得，利用导数可求出其最大值.【详解】如图，设六棱锥球心为，底面中心为，设，则，令，则，可得时，单调递增；时，单调递减，故该球内接正六校锥的体积的最大值为.故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查几何体的外接球问题，解题的关键是将体积用函数表示，利用导数进行计算.11B【分析】将不等式进行恒等变形，则原问题转化为函数单调性的问题，据此求解a的取值范围即可【详解】
10、，所以在上恒成立，等价于在上恒成立，因为时，所以只需在上递减，即，恒成立，即时，恒成立，即恒成立，只需所以，故选：B12D【分析】设，求得，得到联立方程组，求得，求得点到直线的距离，进而求得，得到，利用基本不等式，即可求得面积的最大值.【详解】由题意，不妨设在第一象限，则双曲线在点处的切线方程为，所以，即又因为，所以联立可得，所以点到直线的距离，因为，所以，所以令，则，因为，所以，所以，可得，当且仅当，即时，面积取得最大值故选：D.【点睛】解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）
11、函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.13【分析】利用导数的几何意义求曲线的切线方程.【详解】本题考查导数的几何意义因为，所以又，故曲线在点处的切线方程为，即故答案为：14【分析】在中，根据，利用正弦定理结合二倍角正弦公式求解.【详解】在中，因为，所以，即，解得，故答案为：156【分析】设的方程为，联立直线的方程和抛物线方程，化简写出根与系数关系，计算得，故，根据求得，进而求得，从而求得，利用列方程，解方程求得的值
12、.【详解】设的方程为，则由得，又为锐角，不妨设，如图，作轴，垂足为H，过M作直线轴，垂足为，则，故故答案为：6【点睛】直线和圆锥曲线相交所得弦长有关计算问题，要注意熟练应用弦长公式.16【分析】对，进行灵活赋值，可得到，利用单调性的定义确定的单调性，结合，将恒成立转化为恒成立，然后分离参数、换元、构造函数，利用函数的单调性求解即可【详解】取，则，解得或，若，则对任意的，与条件不符，故对任意的，若存在使得，则，与矛盾，所以对任意的，假设对任意的，且，因为，所以，则，即，所以函数在上单调递增又，所以，从而，则，令，则，设函数所以易得在上单调递减，在上单调递增，从而，所以，则，所以实数的最小值为，【
13、点睛】关键点睛：求解本题的关键是利用函数的单调性去“”，进而分离参数，构造函数，并利用函数的单调性进行求解17（1）；（2）.【分析】（1）设数列的公比为，求出等比数列的即得解；（2）求出，再利用裂项相消法求解.【详解】（1）设数列的公比为，因为，所以，因为是和的等差中项，所以.所以化简得，因为公比，所以，所以.所以.（2）因为，所以，.所以.即.【点睛】方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）分组求和法；（3）错位相减法；（4）裂项相消法；（5）倒序相加法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.18（1）证明见解析；（2）.【分析】(1)由底面是菱形，可得为等边三角形，再加上点是中点
14、可证，进而可得，再由底面，可得，结合线面垂直的判定定理及性质定理，即可求证所求证； (2)由题意及(1)可以，以点为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，再利用向量法即可求解.【详解】证明：在菱形中，为等边三角形.又为的中点，./，.底面，平面，.，平面，平面.是棱上的点，平面.（2）解：底面，建立如图所示空间直角坐标系，设，则.，.由，得.设是平面的法向量，由，得令，则，则.又平面的法向量为，.由题知，二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线线垂直的证明及空间向量法求二面角，考查考生的逻辑推理能力、空间想象能力、运算求解能力及方程思想，属于中档题.19（1）；（2）
15、开设8或9个分店时，才能使得总利润最大【分析】（1）先求得，再根据提供的数据求得，写出回归直线方程；（2）由（1）结合，得到，再利用二次函数的性质求解.【详解】（1）由题意得，所以（2）由（1）知，所以当或时能获得总利润最大20（1）；（2）【分析】（1）根据椭圆且经过点及的周长为，用待定系数法求标准方程；（2）设直线的方程为，用“设而不求法”表示出，找到k、m的关系，从而把面积表示成m的函数，利用均值不等式求最值.【详解】（1）的周长为，将代入，得，解得椭圆的标准方程是（2）由题意知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，将与联立并消去，整理得，则，化简得，或（舍去）当时，则，得，原点到直线
16、的距离，当且仅当，即时取等号，经验证，满足题意面积的最大值是【点睛】（1）待定系数法求二次曲线的标准方程；（2）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题；（3）方法技巧：圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，主要有两种解题方法：一是几何法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数法，即把要求最值的几何量或代数式表示为某个（些）参数的函数，然后利用函数、不等式的知识等进行求解，如本题第（2）问将的面积用含的式子表示，并利用基本不等式求面积的最大值21（1）；（2）答案见解析.【分析】（1）若在内有两个极值点，则在内有两个不相
17、等的变号根，等价于在上有两个不相等的变号根令，分类讨论有两个变号根时的范围；（2）化简原式可得：，分别讨论和时的单调性，可得的最小值，分类讨论最小值与0的关系，结合的单调性可以得到零点个数.【详解】（1）由题意可求得，因为在内有两个极值点，所以在内有两个不相等的变号根，即在上有两个不相等的变号根 设，则，当时，所以在上单调递增，不符合条件 当时，令得，当，即时，所以在上单调递减，不符合条件； 当，即时，所以在上单调递增，不符合条件； 当，即时，在上单调递减，上单调递增，若要在上有两个不相等的变号根，则，解得 综上所述， （2）设，令，则，所以在上单调递增，在上单调递减（）当时，则，所以因为，所
18、以，因此在上单调递增 （）当时，则，所以因为即，又 所以，因此在上单调递减 综合（）（）可知，当时，当，即时，没有零点，故关于x的方程根的个数为0， 当，即时，只有一个零点，故关于x的方程根的个数为1， 当，即时，当时，要使，可令，即；当时，要使，可令，即，所以当时，有两个零点，故关于x的方程根的个数为2，综上所述：当时，关于x的方程根的个数为0，当时，关于x的方程根的个数为1，当时，关于x的方程根的个数为2【点睛】本题考查已知极值点的个数求参数，以及分类讨论求函数的零点个数问题，属于难题.关键点点睛：分类讨论求函数的零点时，（1）先从函数有无零点得到参数的一个范围；（2）函数有零点时，再判断函数零点是否在给定区间内，得到参数下一步的范围.22【答案】（1）直线与曲线公共点的极坐标为，；（2）【解析】（1）曲线的普通方程为，直线的普通方程为，联立方程，解得或，所以，直线与曲线公共点的极坐标为，（2）依题意，设直线的参数方程为（为倾斜角，为参数），代入，整理得因为的中点为，则所以，即直线的斜率为已知a0，b0，函数f(x)|2xa|2|x|1的最小值为2.23【答案】（1）；（2）【解析】（1），可化为，即或或，解得或或；不等式的解集为（2）在恒成立，由题意得，所以