1、第十二章 概率与统计(理)网络体系总览考点目标定位 1.离散型随机变量的分布列.离散型随机变量的期望和方差. 2.抽样方法、总体分布的估计、正态分布、线性回归.复习方略指南 在复习中,要注意理解变量的多样性,深化函数的思想方法在实际问题中的应用,充分注意一些概念的实际意义,理解概率中处理问题的基本思想方法,掌握所学概率知识的实际应用. 1.把握基本题型 应用本章知识要解决的题型主要分两大类:一类是应用随机变量的概念,特别是离散型随机变量分布列以及期望与方差的基础知识,讨论随机变量的取值范围,取相应值的概率及期望、方差的求解计算;另一类主要是如何抽取样本及如何用样本去估计总体.作为本章知识的一个
2、综合应用,教材以实习作业作为一节给出,应给予足够的重视. 2.强化双基训练 主要是培养扎实的基础知识,迅捷准确的运算能力,严谨的判断推理能力. 3.强化方法选择 特别在教学中要掌握思维过程,引导学生发现解决问题的方法,达到举一反三的目的,还要进行题后反思,使学生在大脑记忆中构建良好的数学认知结构,形成条理化、有序化、网络化的有机体系. 4.培养应用意识 要挖掘知识之间的内在联系,从形式结构、数字特征、图形图表的位置特点等方面进行联想和试验,找到知识的“结点”.再有就是将实际问题转化为纯数学问题进行训练,以培养利用所学知识解决实际问题的能力.12.1 离散型随机变量的分布列巩固夯实基础 一、自主
3、梳理 1.随机变量的概念 如果随机试验的结果可以用一个变量表示,那么这样的变量叫做随机变量,它常用希腊字母、等表示. (1)离散型随机变量.如果对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,那么这样的随机变量叫做离散型随机变量. (2)若是随机变量,=a+b,其中a、b是常数,则也是随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 (1)概率分布(分布列).设离散型随机变量可能取的值为x1,x2,xi,取每一个值xi(i=1,2,)的概率P(=xi)=pi,则称表x1x2xiPp1p2pi为随机变量的概率分布,简称的分布列. (2)二项分布.如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验
4、中这个事件恰好发生k次的概率是P(=k)=Cknpkqn-k. 其中k=0,1,n,q=1-p,于是得到随机变量的概率分布如下:01knPC0np0qnC1np1qn-1Cknpkqn-kCnnpnq0 我们称这样的随机变量服从二项分布,记作B(n,p),其中n、p为参数,并记Cknpkqn-k=b(k;n,p). 二、点击双基1.抛掷两颗骰子，所得点数之和为，那么=4表示的随机试验结果是（ ）A.一颗是3点，一颗是1点 B.两颗都是2点C.两颗都是4点 D.一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点解析:对A、B中表示的随机试验的结果，随机变量均取值4，而D是 =4代表的所有试验结果.掌握随机变量
5、的取值与它刻画的随机试验的结果的对应关系是理解随机变量概念的关键.答案:D2.设是一个离散型随机变量,其分布列为:-101P0.51-2qq2则q等于( )A.1 B.1 C.1+ D.1-解析：0.5+1-2q+q2=1,q=1. 当q=1+时,1-2q0,与分布列的性质矛盾, q=1-.答案：D3.已知随机变量的分布列为P(=k)=,k=1,2,则P(24)等于( )A. B. C. D.解析:P(24)=P(=3)+P(=4)=+=.答案:A4.某批数量较大的商品的次品率为10%,从中任意地连续取出5件,其中次品数的分布列为_.解析:本题中商品数量较大,故从中任意抽取5件(不放回)可以看
6、作是独立重复试验n=5,因而次品数服从二项分布, 即B(5,0.1).的分布列如下:012345P0.950.50.940.10.930.010.924.50.140.155.某射手有5发子弹,射击一次命中目标的概率为0.9,如果命中就停止射击,否则一直到子弹用尽,则耗用子弹数的分布列为_.解析：可以取1,2,3,4,5, P(=1)=0.9,P(=2)=0.10.9=0.09,P(=3)=0.120.9=0.009,P(=4)=0.130.9=0.000 9,P(=5)=0.14=0.000 1. 分布列为12345P0.90.090.0090.000 90.000 1诱思实例点拨【例1】
7、一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以表示取出的三只球中的最小号码，写出随机变量的分布列.剖析:因为在编号为1,2,3,4,5的球中,同时取3只,所以小号码可能是1或2或3,即可以取1,2,3.解:随机变量的可能取值为1，2，3. 当=1时，即取出的三只球中最小号码为1，则其他两只球只能在编号为2，3，4，5的四只球中任取两只，故有P（=1）=; 当=2时，即取出的三只球中最小号码为2，则其他两只球只能在编号为3，4，5的三只球中任取两只，故有P（=2）=; 当=3时，即取出的三只球中最小号码为3，则其他两只球只能在编号为4，5的两只球中任取两只，故有P（=3）=.
8、因此，的分布列如下表所示：123P讲评:求随机变量的分布列,重要的基础是概率的计算,如古典概率、互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率、n次独立重复试验有k次发生的概率等.本题中基本事件总数,即n=C35,取每一个球的概率都属古典概率(等可能性事件的概率).【例2】(2005北京高考,理)甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为,乙每次击中目标的概率为.(1)记甲击中目标的次数为,求的概率分布及数学期望E;(2)求乙至多击中目标2次的概率;(3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.剖析:(1)甲射击有击中目标与击不中目标两个结果,且3次射击是3次独立重复试验.B(3,).(2)“乙至
9、多击中目标2次”的对立事件是“乙击中目标3次”.(3)“甲恰好比乙多击中目标2次”即“甲击中2次乙没击中目标或甲击中目标3次乙击中1次”.解:(1)P(=0)=C03()3=; P(=1)=C13()3=; P(=2)=C23()3=; P(=3)=C33()3=. 的概率分布如下表:0123P B(3,), E=3=1.5. (2)乙至多击中目标2次的概率为1-C33()3=. (3)设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标0次为事件B1,甲恰好击中目标3次且乙恰好击中目标1次为事件B2,则A=B1+B2,B1、B2为互斥事件,P(A)=P(B1)+P(B2)=
10、+=. 甲恰好比乙多击中目标2次的概率为.讲评:求离散型随机变量的概率分布的步骤为:(1)找出随机变量的所有可能的值xi(i=1,2,);(2)求出各值的概率P(=xi)=pi;(3)列成表格.【例3】(2005广东高考)箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球,黄、白乒乓球的数量比为st.现从箱中每次任意取出一个球,若取出的是黄球则结束,若取出的是白球,则将其放回箱中,并继续从箱中任意取出一个球,但取球的次数最多不超过n次.以表示取球结束时已取到白球的次数.(1)求的分布列;(2)求的数学期望.解:(1)的可能取值为0,1,2,n. 的分布列为012n-1nP (2)的数学期望为 E=0+1+2+(n-1)+n. E=+. -,得E=+-.讲评:本题是几何分布问题,其中用到数列的错位相减法求和,注意运算的严谨性.