1、11.3 相互独立事件同时发生的概率巩固夯实基础 一、自主梳理 1.相互独立事件 事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响,这样的两个事件叫相互独立事件. 2.独立重复实验 如果在一次试验中某事件发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率为Pn(k)=Cknpk(1-p)n-k. 3.关于相互独立事件也要抓住以下特征加以理解 第一,相互独立也是研究两个事件的关系; 第二,所研究的两个事件是在两次试验中得到的; 第三,两个事件相互独立是从“一个事件的发生对另一个事件的发生的概率没有影响”来确定的. 4.互斥事件与相互独立事件的区别 两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同
2、时发生,两事件相互独立是指不同试验下,二者互不影响;两个相互独立事件不一定互斥,即可能同时发生,而互斥事件不可能同时发生. 5.事件A与B的积记作AB,AB表示这样一个事件,即A与B同时发生. 当A和B是相互独立事件时,事件AB满足乘法公式P(AB)=P(A)P(B),还要弄清,的区别.表示事件与同时发生,因此它们的对立事件A与B同时不发生,也等价于A与B至少有一个发生的对立事件即,因此有, 但=. 二、点击双基1.某人射击一次击中目标的概率为0.6,经过3次射击,此人恰有两次击中目标的概率为（ ）A. B. C. D.解析：两次击中的概率P1=C230.62(1-0.6)=, 三次击中的概率
3、P2=0.63=, 至少两次击中目标的概率P=P1+P2=.答案：A2.若目标被击中一次倒下的可能性是0.8,被击中两次则必然倒下.某射手向目标连续射击两次,每次击中该目标的概率为0.7.则该目标倒下的概率为 ( )A.0.448 B.0.752 C.0.826 D.0.732解析：P=20.70.30.8+0.72=0.826.答案：C3箱子里有5个黑球,4个白球,每次随机取出一个球,若取出黑球,则放回箱中,重新取球;若取出白球,则停止取球,那么在第4次取球之后停止的概率为( )A. B.()3 C. D.C14()3解析：由题意知,第四次取球后停止即是当且仅当前三次取的球是黑球,第四次取的
4、是白球的情况.此事件发生的概率为()3.故选B.答案：B4.甲、乙两颗卫星同时监测台风.在同一时刻,甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8、0.75,则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为_.解析：甲、乙都预报准确的概率为0.80.75=0.6;甲预报准确而乙预报不准确的概率为0.8(1-0.75)=0.2;甲预报不准确而乙预报准确的概率为(1-0.8)0.75=0.15. 综上知P=0.6+0.2+0.15=0.95.或用间接法:P=1-(1-0.8)(1-0.75)=0.95.答案：0.955.甲、乙两名篮球运动员投篮的命中率分别为与,设甲投4球恰好投进3球的概率为P1,乙投3球
5、恰好投进2球的概率为P2,则P1与P2的大小关系为_.解析：P1=C34()3=()3,P2=C23()2=()2,所以P1P2.答案：P1P2诱思实例点拨【例1】 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为.(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率;(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,求至少有一个一等品的概率.剖析:(1)将三种事件设出,列方程,解方程即可求出.(2)用间接法比较省时,方便.解:(
6、1)设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件. 此题设条件有 即 由得P(B)=1-P(C),代入,得 27P(C)2-51P(C)+22=0. 解得P(C)=或(舍去). 将P(C)=分别代入可得P(A)=,P(B)=, 即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是,. (2)记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,至少有一个一等品的事件, 则P(D)=1-P()=1-1-P(A)1-P(B)1-P(C)=1-=. 故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,至少有一个一等品的概率为.讲评:本题主要考查概率的基本概念,相互独立事件和互斥事件的计算,而能力方面
7、考查了学生思维的灵活性,考查分析问题、解决问题的能力.链接提示 运用P(A)=,P(A+B)=P(A)+P(B),P(AB)=P(A)P(B)等概率公式时,应特别注意各自成立的前提条件,切勿混淆不清.例如,当A、B为相互独立事件的,运用公式P(A+B)=P(A)+P(B)便错.【例2】 如图,用A、B、C三类不同的元件连接两个系统N1、N2,当元件A、B、C都正常工作时,系统N1正常工作;当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时,系统N2正常工作,已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90.分别求系统N1、N2正常工作的概率P1、P2.剖析:本题考查相互独立事件
8、同时发生和互斥事件有一个发生的概率的计算方法,考查运用概率知识解决实际问题的能力.正确理解相互独立事件与互斥事件,掌握相互独立事件概率的乘法公式是解决本题的关键.解:分别记元件A、B、C正常工作为事件A、B、C,由已知条件知 P(A)=0.80,P(B)=0.90,P(C)=0.90. (1)因为事件A、B、C是相互独立的,所以,系统N1正常工作的概率 P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C) =0.800.900.90=0.648. 故系统N1正常工作的概率为0.648. (2)系统N2正常工作的概率 P2=P(A)1-P() =P(A)1-P()P(), P()=1-P(B)=1-0.
9、90=0.10, P()=1-P(C)=1-0.90=0.10, P2=0.801-0.100.10 =0.800.99=0.792. 故系统N2正常工作的概率为0.792.讲评:(1)相互独立事件是指两个试验中,两事件发生的概率互不影响;相互对立事件是指同一次试验中,两个事件不会同时发生. (2)求相互独立事件的和事件的概率时,由于它们一定不互斥,不能用互斥事件的概率加法公式,因此经常通过求它的对立事件的概率把问题转化为求相互独立事件的积的概率.【例3】甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为,乙每次击中目标的概率为.求:(1)甲恰好击中目标2次的概率;(2)乙至少击中目标2次的概率
10、;(3)乙恰好比甲多击中目标2次的概率.剖析:(1)独立重复试验问题;(2)至少击中2次则包括击中2次和击中3次,而每种情况又是独立试验问题;(3)乙比甲多击中目标2次则分为乙击中2次甲击中0次,和乙击中3次而甲击中1次两种情况.解:(1)甲恰好击中目标2次的概率为C23()3=. (2)乙至少击中目标2次的概率为C23()2+C33()3=. (3)设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A,乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次为事件B1,乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次为事件B2,则A=B1+B2,B1、B2为互斥事件. P(A)=P(B1)+P(B2) =C23()2C03()3+C33
11、()3C13()3 =+=. 所以乙恰好比甲多击中目标2次的概率为.讲评:本题综合考查同学们的概率知识,考查知识点涉及到独立重复试验、随机事件的概率、互斥事件的概率及相互独立事件同时发生的概率等.考查全面,但难度不大.链接聚焦 独立重复试验是指在同样条件下可重复进行的,各次之间相互独立的一种试验,每次试验都只有两种结果(即某种事件要么发生,要么不发生),并且在任何一次试验中,事件发生的概率均相等. 独立重复试验是相互独立事件的特例(概率公式也是如此),就像对立事件是互斥事件的特例一样,只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单,就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样.